Методические указания и задания к контрольным работам для студентов заочной формы обучения дисциплины «техническая механика» (стр. 6 )

III раздел “Статика сооружений”

Методические указания по решению задач.

К задаче № 1.

Условия задачи: Построить эпюры М и Q для шарнирно - консольной многопролетной балки (см. рис. 11а).

Решение: Чтобы рассчитать такую балку, необходимо построить “этажную схему” взаимодействия элементов, разрезов балку по местам расположения шарниров (см. рис. 11б) на “простые”. Причем очень важно при этом следить, чтобы каждая простая балка имела две опоры (не больше). Расставив на этажной схеме порядок расчета (сверху-вниз) пронумеровав каждую цифрами, можно считать, что шарнирная балка подготовлена к расчету. (Под “этажной” схемой оставить свободное место для эпюр Q и М.)

Далее начинают расчет, согласно “этажной” схеме, с верхней балки, рассматривая ее отдельно. Определяют для нее реакции в опорах и строят эпюры Q и М. Затем рассматривают балки 2 и 3 (см. рис. 12, 13,14).

При этом необходимо помнить, что нагрузки с вышележащей балки передаются на нижележащую через опорные реакции вышележащей балки: численно равные, но противоположно направленные.

Пример:рис.11

Примечания к рисунку:

1.  На этажной схеме все опоры с заданной схемы (А, В, С, D) должны быть на одном уровне.

2.  Для построения общих эпюр (Q и М) для шарнирной балки, необходимо эпюры, полученные для каждой “простой” балки в отдельности, расположить на одной оси (базисе) вычертив в одном масштабе (см. рис.11 в, г).

Порядок расчета:

Балка 1

а) Определение опорных реакций: Так как нагрузка симметрична;

VA=Vm=F/2=18/2=9 кН

б) Построение эпюры Q:

QAпр=VA=9 кН QKлев=9 кН

QKпр=9-F=-9 кН

в) Построение эпюры М:

Мк=V2 х 2,5=9 х 2,5=22,5 кНм, МА = 0, МБ = 0.

Рис.12

Балка 2.

а)Определение опорных реакций:

С первой балки переносим реакциюVm=9кН - с обратным направлением

∑МВ=0

-Vm2+(q7) 1,5-Vn5=0

Vn=[-92+(107) 1,5]/5=17,4кН

(знак Vм поменяли)

∑Мn=0

-Vm7-(q7) 3,5+VB5=0

VB=[97+(107) 3,5]/5=61,6 кН

X

Проверка: ∑У=0

рис. 13

-Vm+VB-(q7)+Vn=0

-9+61,6-70+17,4=0

б) Построение эпюры Q «Проходим балку слева направо»

Qmпр=-Vm=-9кН,

QBлев=-Vm-(q2)=-9-20=-29 кН

QBпр=-29+VB=-29+61,6=32,6 кН

Qnлев=-Vn=-17,4 кН

Т. к. эпюра Q имеет точку пересечения с осью (базисом эпюры) необходимо выполнить привязку точки пересечения к ближайшей ординате, т. е. найти расстояние “Х”. Под этой точкой на эпюре моментов будет максимальное значение.

Чтобы найти расстояние “Х” достаточно разделить ординату, к которой выполнена привязка на интенсивность распределения: если Х=32,6/10=3,26 (м);

Примечание: В сумме эти расстояния должны дать длину участка по горизонтали.

в) Построение эпюры М

Мm=0; т. к. сила Vm лежит в сечении, плечо равнр 0;

МВ=-Vm2-(q2) 1=-18-20=-38 (кНм)

Перенести на балку точку пересечения эп. Q и поставить точку L. Момент определять с любой стороны. МL=Vn x 1,74-(q1,74) 0,87=17,4 x 1,74-(101,74) 0,87=15,2 (кНм). Балка 3 (C балки 2 перенесем реакцию Vn с противоположным направлением.)

а) Определение опорных реакций

∑MC=0;

- Vn1-(q1) 0.5-VD3=0;

VD=[-17,41-(101) 0,5]/3=-7,5 кН

∑МD=0;

-Vn4 -(q1) 3,5+VC3=0;

VC=[17,44+(101) 3,5]/3=34,9 кН

Проверка:

∑Y=0;

-Vn -(q1)+VC+Vd=0

-17,4-(101)+34,9+(-7,5)=0

б) Построение эпюры Q. Проходим балку слева на право.

Qnправ= - Vn=-17,4 кН

Qcлев= - Vn - (q1)= -17,4 -(101)= - 27,4 кН

Qcправ= - 27,4+VC =-27,4+34,9=7,5кН

QDлев=VD=7,5 кН

в) Построение эпюры М:

Мn=0; (т. к. сила Vn “лежит “ в сечении, плечо=нулю)

МС= - VD3= -7,53= -22,5 кНм

После построения всех эпюр, переносим их на общую ось (рис. 12 в, г).

К задаче № 2

Условие задачи: Для консольной статически определимой рамы (рис. 15 а) построить эпюры Q, M, N . Проверить равновесие жестких узлов.

Примечания:

1.  Для рамы консольного типа эпюры Q, M, N могут быть построены без определения реакций в жестком защемлении но при этом вести построение со стороны свободного конца, отбрасывая сторону где опора.

2.  Условно для построения эпюр размещаемся внутри контура рамы, поворачиваясь лицом к рассматриваемому элементу. В этом случае при определении внутренних силовых факторов для рам становится возможным пользоваться правилами, применяемыми при построения эпюр для балок.

Решение:

Построение эпюры Q.

За базис эпюры принимают продольные оси рассматриваемых элементов и перпендикулярно им мысленно проводят сечения. Сумму поперечных сил определяют с одной стороны от сечения.

Плюс откладывать снаружи по контуру (размерные линии на раме проводить так, чтобы они не касались конструкций рамы).

Эту раму надо читать только “справа”, т. к. “слева” находится опора (рис. 15б).

1) Ригель: ВС - ход справа налево. Qc=0;

QDпр = + q22=+22= 4 кН

QDлев=+ q22+ F=4+5= 9 кН

Qв= =+ q22+ F=4+5= 9 кН

2) Стойка: - АВ; - ход справа налево (развернуться лицом к стойке)

QB= - F2 = 10 кН;

QA= q1´6 - F2 =5´6-10 =20 кН

По найденным значениям строим эпюру. Так как линия эпюры на стойке под равномерно распределенной нагрузкой пересекает нулевую линию, ищем положение точки пересечения (т. К)

ВК = 10/5 =2м

б) Построение эпюры М (рис. 16в):

Так же ходом “справа”, отбрасывая левую сторону. “Плюс” откладывать внутрь контура, “минус” - снаружи.

1) Ригель ВС;

Мс=0; МD= -(q22) 1= -(22) 1= -4 кНм

МВ= -(q22) 3 –F12= -(22) 3 - 52= - 22 кНм

2) Стойка - АВ (повернуться лицом к стойке).

В жестком узле (т. В) момент МВ передается с ригеля на стойку:

МВ= -22кНм

Мк= F2´2- q1´2´1-(q22) 3 –F12= 10´2- 5´2´1-(22) 3 - 52= -12кНм

МА= F2´6- q1´6´3-(q22) 3 –F12=10´6- 5´6´3-(22) 3 - 52= -52кНм

в) Построение эпюры N (рис. 15г):

Определяя продольную силу в элементах, находим внешние параллельные рассматриваемому элементу, силы. Ход со свободного конца. 1) Ригель - ВС;

N=-F2 = -10кН; сжат

2) Стойка - АВ; (справа)

N= - F1-(q22)= -5- 4= -9 кН; сжата

Ординату эпюры откладывать симметрично по обе стороны от оси

рис.15

Проверка Правильность равновесия эпюр проверяют равновесием жесткого узла (В) рис. 16.

Для этого вырезаем узел:

из схемы видно, что ригель от узла

находится справа, а стойка - слева.

а) Проведем тонкие линии перпендикулярно элементам. Это линии действия поперечных сил. После этого читаем эпюру Q в узле В:

- на стойке АВ – в узле ордината -10, направление вправо – вращение против часовой стрелки вокруг узла ;

- на ригеле ВС - в узле ордината + 9, направление вниз, вращение по часовой стрелке вокруг узла;

б) Проводим тонкие линии параллельно элементам. Это линии действия продольных сил. После этого читаем эпюру N в узле В:

·  стойка АВ - работает на сжатие, это значит внутренние усилия направлены в узел. Так определяем направление вектора. Проводим его ярче и обозначаем N=9 кН.

·  ригель ВС - работает на сжатие, усилие N=10 кН направлено к узлу.

в) Проводим две тонкие дуги: слева и справа от узла и читаем эпюру М:

Момент в узле отрицательный, значит, слева дуга будет против часовой стрелки, а справа - по часовой. Проводим их ярче и обозначаем: М=22 кНм.

Для равновесия узла должны соблюдаться следующие условия:

∑Fx=0;

∑Fy=0;

∑FB=0 (относительно узла)

Условие выполнено, следовательно, внутренние силовые факторы определены правильно.

К задаче № 3

Условие задачи.

Подобрать сечение из равнополочной уголковой стали наиболее нагруженного стержня статически определимой фермы, определив усилия в стержнях методом построения диаграммы Максвелла –Кремоны. Сталь С-235, Rсж= 235 МПа, γс= 1.

Решение.

Вычерчиваем геометрическую схему фермы в масштабе 1:100 (рис. 17 а). Обозначаем поля, обходя ферму по часовой стрелке:

внешние: a, b, c, d, e;

внутренние: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Определяем опорные реакции фермы:

а) выбираем масштаб сил: в 1см – 100 кН;

б) строим силовую линию a - b - c - d из внешних сил (рис.17, б); для этого откладывают все внешние силы поочередно в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы по часовой стрелке. Теперь каждая сила будет обозначаться двумя полями (буквами), между которыми она расположена;

Рисунок 17.

в) для определения опорных реакций, разделим силовую линию пополам. Середина ее находится между точка b и c и совпадает с точкой е, которой обозначено поле, расположенное между опорными реакциями. Отрезок е – а, измеренный в масштабе сил, представляет собой левую опорную реакцию, а отрезок d - e - правую опорную реакцию. Длины отрезков равны 4,5 см, поэтому каждая опорная реакция равна 450 кН.

4. Строим диаграмму усилий

а) мысленно вырезаем узел А, в котором сходятся два стержня. Назовем их а – 1 и 1 – е. На силовой линии уже есть точки а и е. Проведем через точку а линию параллельную стержню а – 1, а через точку е линию параллельную стержню 1 – е. Точку их пересечения обозначим цифрой 1. Длина линии а – 1 на диаграмме 2,8 см, это значит, что усилие в стержне а – 1 равно 2,8 · 100 = 280 кН. Длина линии 1 – е равна 4,9 см, т. е. усилие в стержне 1 – е равно 490 кН. Определим знак усилия а – 1; на диаграмме усилий движение от точки а к точке 1 направлено сверху вниз. Перенесем это движение на стержень а – 1 – оно направлено к узлу А, т. е. стержень сжат. Определим знак усилия 1 – е; на диаграмме усилий движение от точки 1 к точке е направлено сверху вниз. Перенесем это движение на стержень 1 – е - оно направлено от узла А, т. е. стержень растянут.

б) вырезаем узел М. В нем сходятся три стержня: е – 1, 1 – 2 и 2 – е. Усилие в стержне е – 1 уже определено при рассмотрении узла А. На диаграмме уже есть точки 1 и е. Проведем через точку 1 линию, параллельную стержню 1 – 2, а через точку е – линию, параллельную стержню 2 – е, до взаимного пересечения. Точку пересечения обозначим цифрой 2. Усилие в стержне 1 – 2 равно 4,8 ·100= 480кН, а в стержне 2 – е – 4,3 · 100 = 430 кН. Стержень 1 – 2 сжат, а стержень 2 – е растянут.

в) вырезаем узел L. В этом узле сходятся три стержня: е – 2, 2 – 3 и 3 – е, причем усилие в стержне е – 2 определено. Ищем положение точки 3. Из точки 2 проводим линию, параллельную стержню 2 – 3, а из точки е – линию, параллельную стержню 3 – е. Линии пересекаются в точке 2, то есть положение точки 2 и 3 совпадает. Следовательно, усилие в стержне 2 – 3 равно нулю. Усилие в стержне 3 – е равно 4,3 · 100 = 430 кН, стержень растянут.

г) вырезаем узел С, в котором сходятся пять стержней: в – 4, 4 – 3, 3 – 2, 2 – 1 и 1 – а. Усилия в стержнях 3 – 2, 2 – 1 и 1 – а уже определены. Все точки, кроме четвертой, нанесены на диаграмму, ищем положение точки 4. Из точки В проводим линию параллельную стержню в – 4, а из точки 3 проводим линию параллельную стержню 4 – 3, до взаимного пересечения. Точку пересечения обозначим цифрой 4. Усилие в стержне в – 4 равно 5,2 · 100 = 520кН, стержень сжат. Усилие в стержне 4 – 3 равно 1,1· 100 =110кН – растянут.

д) вырезаем узел Д, в котором сходятся три стержня: с – 5, 5 – 4 и 4 – в. Усилие в стержне 4 – в определено при рассмотрении узла С. Ищем положение точки 5. Из точки с проводим линию, параллельную стержню с – 5, а из точки 4 – линию, параллельную стержню 5 – 4, до взаимного пересечения. Точка пересечения – это точка 5. Усилие в стержне 5 – 4 равно 1,9· 100 = 190кН, стержень сжат.

На этом можно закончить построение диаграммы, так как усилия в симметричных стержнях одинаковы.

5).Выполним проверку величины усилий в стержнях методом вырезания узлов.

Вырежем узел А (рис. 18)

Определим величину угла α на схеме фермы; tgα = ОД / ОА = 7/1 = 7, α = 81°52´. Определим угол β; tgβ = ОМ/ОА = 2/3 = 0,6667, β = 33° 42´.

Угол γ = 90° - α = 8° 08´. (рис. )

Ось Х совместим с усилием S1.

Рис. 18

∑Y = 0

-S2·cos 25°34´ + Vа·cos 8° 08´= 0

S2 = 493,9 кН растянут.

∑X = 0

S1 + S2·cos 64°26 ´+ Vа·cos 81° 52´= 0

S1 = -279 кН, сжат.

Сравним полученные значения с усилиями, определенными графическим методом.

Усилия в узле А определены верно.

Заполним таблицу усилий.

Стержень	а – 1	1 – е	1 – 2	2 – е	2 – 3	3 – е	в – 4	4 – 3	5 – 4
Усилие по диаграмме, кН	280 сжат	490 раст.	480 сжат	430 раст.	0	430 раст.	520 сжат	110 раст.	190 сжат
Усилие по проверке, кН	279 сжат	493,9 раст

6). Подбираем площадь наиболее нагруженного стержня из условия:

А ≥ N/γсR

А ≥ 520 · 10-3/1·235 = 0,0022 м2 = 22 см2

Площадь одного уголка ≥ 11см2

По сортаменту подбираем равнополочный уголок № 7,5; А = 11,5 см2

Проверяем напряжение

σ = N/A ≤ γсR

σ =520·10-3/23·10-4=226МПа < γсR=235МПа,

недонапряжение составило 3,8 %, что меньше 5%.

Задачи для контрольной работы №2:

Задача 1. Для шарнирной многопролетной балки составить схему взаимодействия элементов и построить эпюры: М и Q. Данные для задачи своего варианта взять в таб. 5, а схему на рис.19.

Задача 2. Построить эпюры М; Q; N для статически определимой консольной рамы. Проверить равновесие жестких узлов. Данные для задачи своего варианта взять в таб. 6, рис.20.

Задача 3. Подобрать сечение из равнополочной уголковой стали наиболее нагруженного стержня статически определимой фермы, определив усилия в стержнях методом построения диаграммы Максвелла –Кремоны. Проверить найденные усилия методом вырезания узлов. Данные для задачи своего варианта взять в таб. 7, а схему на рис. 21

таб. 5

Вари-ант	№ схемы	F1, кН	F2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м	Вари-ант	№ схемы	F1, кН	F2, кН	q1, кН/м	q2, кН/м
1	I	18	40	15	10	19	II	15	24	10	0
2	II	16	25	20	0	20	III	45	25	10	6
3	III	12	30	12	18	21	IV	60	25	12	4
4	IV	25	10	15	12	22	V	25	0	10	12
5	V	30	0	5	18	23	VI	35	0	20	0
6	VI	12	0	22	0	24	VII	30	35	10	4
7	VII	15	20	20	8	25	VIII	45	60	12	15
8	VIII	10	18	5	12	26	IX	25	40	8	12
9	IX	15	30	18	10	27	IX	30	60	4	12
10	VIII	20	40	8	20	28	VIII	35	40	6	10
11	VII	35	20	10	5	29	VII	30	50	10	8
12	VI	40	0	12	0	30	VI	30	0	18	0
13	V	20	0	10	5	31	V	45	0	12	10
14	IV	25	15	10	15	32	IV	55	50	15	8
15	III	40	50	5	8	33	III	40	35	10	12
16	II	20	15	12	0	34	II	35	10	20	0
17	I	50	20	12	5	35	I	40	25	8	5
18	I	40	35	10	14	36	IX	25	45	10	6

таб.6