Статистика (стр. 2 )

Различают следующие формы общих индексов: агрегатный, арифметический и гармонический.

Агрегатный индекс является основной формой общих индексов, а арифметический и гармонический получают путем преобразования агрегатного индекса и применяются в тех случаях, когда отсутствуют необходимые данные для прямого расчета агрегатного индекса.

При анализе деятельности предприятия связи чаще всего используется следующие агрегатные индексы:

 

Индекс физического объема продукции

где q1 и q0 – количество продукции в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах соответственно;

P0 – сопоставимая цена единицы продукции.

Разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса физического объема продукции характеризует абсолютные увеличения или уменьшения объема продукции в денежном выражении в отчетном периоде по сравнению с объемом продукции в базисном периоде за счет изменения физического объема отдельных видов продукции.

индекс себестоимости продукции

где - С1 и С0 – себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах;

q1 – количество продукции в натуральном выражении в отчетном периоде

Д1 – доходы предприятия связи в отчетном периоде.

Разность между числителем и знаменателем индекса показывает зависимость абсолютного размера экономии или перерасхода затрат от изменения уровня себестоимости.

Индекс производительности труда,

где П1 и П0 – производительность труда в отчетном и базисном периодах;

Т1 – среднесписочная численность работников в отчетном периоде.

Разность между числителем и знаменателем индекса определяет прирост объема продукции в отчетном периоде за счет роста производительности труда.

Индекс заработанной платы.

где З1 и З0 – средняя з/плата в отчетном и базисном периодах;

Т1 – затраты времени отчетного периода (среднесписочная численность работников).

Разность между числителем и знаменателем индекса определяет изменение в отчетном периоде затрат на выплату з/платы коллективу при постоянном его составе за счет изменения средней з/платы.

Аналогично индексы используются для оценки выполнения установленного задания. Например, индекс выполнения задания по снижению себестоимости продукции будет иметь вид:

При использовании индексов для определения планового задания уровень, установленный по плану, принимается в качестве уровня отчетного года.

При отсутствии необходимых данных для прямого расчета агрегатного индекса применяются арифметический и гармонический индексы.

Арифметический индекс представляет собой среднюю арифметическую величину и для показателя производительности труда имеет следующий вид:

где i – индивидуальный индекс производительности труда.

S Т1 – затраты труда в текущем периоде по отдельным структурным подразделениям.

Пример. Определить, как в целом по предприятию изменилась производительность труда по данным, представленным в таблице 6.1

Таблица 6.1

Цеха предприятия	Среднесписочная численность работников (чел.)	Рост производительности труда в %
Цех №1	50	103,2
Цех №2	25	102,8
Цех №3	100	110,3

Индекс производительности труда равен:

Производительность труда в целом по всем 3-х цехах возросла на 7,2%.

Число высвобождаемых работников за счет роста производительности труда.

Формула гармонического индекса используется для определения изменения себестоимости и имеет следующий вид:

где i – индивидуальные индексы себестоимости;

Э1 – затраты на производство и эксплуатацию средств связи в отчетном периоде.

 Пример. На основании данных, приведенных в таблице определить, как изменилась себестоимость в целом по предприятию.

Таблица 6.2

Цеха предприятия	Затраты на производство, тыс. руб.	Процент снижения себестоимости
№1	12400	2,1
№2	33500	1,5
№3	25100	0,8

Индекс себестоимости равен

Себестоимость в целом по предприятию уменьшилась на 1,4%.

Экономия затрат за счет снижения себестоимости составит

В процессе экономического анализа явлений за несколько периодов (например, за истекшие 5 лет) индексы могут быть вычислены либо путем поочередного сравнения уровней явления каждого из рассматриваемых периодов с уровнем явления в периоде, принятом за базисный

либо сравнением уровней явления в каждом периоде с уровнем явления в предшествующем его периоде

в первом случае индексы называются базисными, во втором – цепными. Для индивидуальных индексов произведение цепных индексов дает соответствующий базисный индекс и, наоборот, частное от деления двух базисных индексов дает цепной индекс.

В таблице приводится пример расчета базисных и цепных индексов и их взаимосвязь

Годы	1990 базис.	2004	2005	2006	2007
Количество радиоточек (тыс. ед.)	100	104	120	110	130
Базисные индексы, Iкб	1	104/100=1,04	120/100=1,2	110/100=1,1	130/100=1,3
Цепные индексы, Iку	1	104/100=1,04	120/104=1,54	110/120=0,917	130/110=1,181
Iкб=I1 I2…Iк-1 Iк	1	1 1,04=1,04	1 1,04 1,154=1,2	1 1,04 1,154 0,917=1,1	1 1,04 1,154 0,917 1,181=1,3
Iку=Iк/Iк-1	1	1,04/1=1,04	1,2/1,04=1,154	1,1/1,2=0,917	1,3/1,1=1,181

Индексы взаимосвязаны между собой, как взаимосвязаны между собой и изучаемые экономические явления.

Известно, что уровни производительности труда определяются делением объема продукции Q на численность работников Т, т. е.

 

Связь между этими показателями в динамике можно установить через индексы

Таким образом, индекс изменения производительности труда является результатом взаимодействия индексов 2-х факторов: индекса изменения объема продукции I0 и численности работников Iт.

Модуль 2 Статистика

Тема 7 Анализ распределения

7.1 Построение вариационных рядов. Величины и интервалы

Рядом распределения в статистике называют упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому либо варьирующему признаку. В зависимости от того является ли признак, взятый за основу группировки, количественным или качественным, различают соответственно два типа распределения: атрибутивные и вариационные. Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными рядами.

В вариационном ряду различают два элемента: варианты и частоты. Вариантами называются отдельные значения группового признака, которые он принимает в вариационном ряду. Числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения, называются частотами.

Вариационные ряды по способу построения бывают дискретными и интервально-вариационными рядами. Дискретные вариационные ряды характеризуются тем, что варианты в них имеют значения целых чисел. Пример дискретного вариационного ряда представлен в таблице 7.1.1

Таблица 7.1.1

Распределение работников цеха предприятия АПК по квалификации

Разряд работников АПК	Число работников
III IV V VI	3 15 10 7
Итого:	35

Интервально-вариационные ряды – это такие ряды, где значения вариантов даны в виде интервалов. При построении интервальных рядов распределения необходимо прежде всего установить число групп (интервалов), на которые разбиваются все единицы изучаемой совокупности, а затем величины интервала.

 Число групп приближенно определяется по формуле:

где N - число единиц изучаемой совокупности.

Величина интервала определяется по следующей формуле:

где R - размах вариации, который определяется по формуле:

исправить на «-«

Например, имеются данные о стаже работы на предприятии связи 20 работников (лет):

7, 4, 1. 2, 20, 15, 22, 4, 5, 0, 3, 25, 19, 10, 9, 10, 1, 3, 11.

Количество групп интервального вариационного ряда будет равно:

Число групп равно 5.

Величина интервала составит:

В результате получается ряд распределения работников по стажу работы (таблица 7.1.2).

Таблица 7.1.2.

Стаж работы (лет)	Количество работников
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25	9 3 3 2 2
Итого:	20

7.2. Графическое распределение рядов распределения

7.

Для графического изображения дискретного применяют полигон распределения. Чтобы построить полигон распределения на оси абсцисс отмечают точки, соответствующие величине вариантов значений признака, из них восстанавливаются перпендикуляры, длина которых соответствует частоте этих вариантов по принятому масштабу на оси ординат. Вершины перпендикуляров соединяются отрезками прямой. Графическое изображение дискретного ряда приведенного в таблице 7.1.1, представлен на рис 7.1

Рис. 7.1

Для графического изображения интервальных вариационных рядов используется гистограмма. Она строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются равные отрезки, которые в принятом масштабе соответствуют величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строятся прямоугольники, площади которых пропорциональны частотам интервала.

Графическое изображение интервально-вариационного ряда, приведенного в таблице 7.1.2, представлен на рис 7.2

Рис. 7.2

7.3. Внутригрупповая и межгрупповая дисперсия

 В случае, если некоторая совокупность единиц делится на группы, то наряду с общей дисперсией находятся дисперсии для каждой отдельной группы. Дисперсия для каждой группы определяется по формуле:

Далее находится средняя из групповых дисперсий:

Кроме того, вычисляется межгрупповая дисперсия:

Поставить х среднюю

где X0- общая средняя, которая определяется по формуле:

Общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

7.4. Критерии Согласия

Для того, чтобы установить, верно ли предложение о том, что эмпирическое распределение подчинено закону нормального распределения, оно сравнивается с теоретическим распределением. Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому нормальному распределению пользуются специальными показателями, которые называются критериями Согласия. Они разработаны К. Пирсоном, А. Колмогоровым, Е. Ястремским и В. Романовским.

а) Критерий согласия Пирсона (Х - квадрат).

Вычисление критерия согласия Х2 Пирсона связано с показателем, который называется числом степеней свободы. Под числом степеней свободы K понимается количество независимых величин, которые могут принимать произвольные значения, не изменяющие заданные характеристики. Число степеней свободы определяется по формуле:

K= m-r-1

где m - число групп,

r - число параметров,

1 - обозначает условие, что S m должна быть равна S m’ т. е. S m=S m’

По специальной таблице (приложение 2) находится значение x^2 - соответствующее данному числу степеней свободы и заданной вероятности.

Фактическое значение критерия определяется по формуле:

Если фактическое значение критерия Х^2 меньше табличного, то отклонения между эмпирическими и теоретическими частотами является случайными, несущественными и можно сделать вывод о том, что теоретическое распределение хорошо воспроизводит эмпирическое и наоборот, если фактическое значение больше табличного, то отклонения является существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

Расчет фактического значения Х^2 приводится в таблице 7.7.1.

Таблица 7.7.1

Расчетная таблица

Номер группы	Эмпирические частоты m	Теоретические частоты m’	m-m’	(m-m’)^2	(m-m’)^2/m’
1 2 3 4 5 6 7	2 15 26 32 12 9 4	4 12 25 29 20 8 2	-2 3 1 3 -8 1 2	4 9 1 9 64 1 4	1 0,75 0,04 0,31 3,2 0,12 2
итого	100	100			7,42

Следовательно, фактическое значение критерия Согласия составляет Х^2= 7.42.

Число степеней свободы составит К = 7-2-1 = 4.

В данном примере выделено 7 групп рабочих, функция нормального

распределения имеет два параметра :X и s. При заданной вероятности Р = 0,95

k =4 табличное значение Х^2= 9,49.

Таким образом, фактическое значение критерия Согласия меньше табличного, а это означает, что с' вероятностью 0,96 можно утверждать, что распределение работников по степени выполнения норм подчиняется закону нормального распределения.

б) Критерий Согласия Колмогорова ( )

Критерий Согласия Колмогорова рассматривает близость эмпирического и теоретического распределения путем сравнения накопленных частот. Данный критерий определяется по формуле:

Где Д - максимальная разность накопленных эмпирических и теоретических частот,
n - объем совокупности.

По специальным таблицам (приложение 3) находится вероятность, с которой можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является несущественным, случайным, т. е. фактическое распределение подчиняется закону нормального распределения.

Расчет критерия согласия рассмотрим на предыдущем примере (таблица 7.7.2)

Таблица 7.7.2

Расчетная таблица

№ группы	Эмпирические частоты	Теоретические частоты	Накопленные частоты	отклонение
Эмпирические	Теоретические
1 2 3 4 5 6 7	2 15 26 32 12 9 4	4 12 25 29 20 8 2	2 17 43 75 87 96 100	4 16 41 70 90 98 100	2 1 2 5 3 2 -

Д=5, n =100, таким образом, составит

По таблице находим, что = 0,5 соответствует Р = 0,964.

Следовательно, с вероятностью 0,964 можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является случайным, т. е. распределение работников по степени выполнения норм выработки подчиняется закону нормального распределения.

Тема 8 Выборочное наблюдение

8.1 Понятие о выборочном наблюдении

Выборочное наблюдение является одним из видов несплошного наблюдения. При выборочном наблюдении обследованию подвергаются не все единицы изучаемой совокупности, а только часть их, отобранная в случайном порядке. Полученные обобщенные показатели распространяются на всю изучаемую совокупность.

При проведении выборочного наблюдения возникают ошибки выборки в связи с тем, что обследованию подвергаются только часть единиц совокупности, которая по структуре может отличаться от всей совокупности. Выборочные характеристики в виде средних и относительных величин отличаются от аналогичных характеристик в генеральной совокупности на величину ошибки выборки.

При организации выборочного наблюдения стремятся к тому, чтобы ошибка выборки была минимальной. Размер ошибки выборки зависит от объема выборки, от вариации значений признаков, а также от способа отбора единиц, образующих выборочную совокупность.

Задачи, которые возникают при организации выборочного обследования можно разделить на два вида:

1. Определение среднего размера признака.

2. Определение доли единиц, обладающих данным признаком.

Выборка бывает бесповторной и повторной. Если отобранная единица или целая серия не возвращается в совокупность, то она называется бесповторной. Если одна и та же единица попадает в выборку несколько раз, такая выборка называется повторной.

По способу отбора единиц для обследования различают следующие виды выборки : собственно-случайная, типическая, серийная, механическая.

Собственно-случайная, типическая и серийная выборки могут быть повторными и бесповторными.

8.2. Собственно-случайный способ отбора

Абсолютная ошибка выборки при собственно-случайном способе отбора определяется по формуле:

а) повторная выборка σ =tm

- при определении среднего размера изучаемого признака

где σ - предельная ошибка выборки;

m - средняя ошибка выборки;

t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t - кратную среднюю ошибку. Конкретные значения вероятностей при разной величине коэффициента доверия показаны в приложении 4.

Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

где σ 2 - дисперсия в выборке;

n - численность выборки;

при определении доли данного признака предельная ошибка определяется по формуле:

б) бесповторная ошибка

- при определении среднего размера изучаемого признака

-при определении доли данного признака:

N - численность генеральной совокупности

W - доля данного признака в выборке;

w(1-w) - дисперсия доли в выборочной совокупности.

Средняя доля в генеральной совокупности находится в следующих пределах

P - доля данного признака в генеральною совокупности

Для оценки величины ошибки часто пользуются показателем относительной ошибки, которая определяется по формуле:

При организации выборочного наблюдения большое значение придается необходимой численности выборки, при которой ошибка выборки не превышала бы заранее установленной величины.

Необходимый объем выборки при собственно-случайном способе отбора определяется по следующим формулам:

а) для повторной выборки

б) для бесповторной выборки

8.3 Типический способ отбора

При данном способе отбора изучаемая генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы и из каждой такой группы в случайном порядке отбирается количество единиц пропорционально удельному весу группы по всей совокупности.

Для определения ошибок типической выборки используются формулы:

при повторной выборке

при бесповторной выборке

Средняя из групповых дисперсий определяется по формуле:

Если определяется доля данного признака, то ошибка выборки определяется по следующей формуле:

при повторной выборке

при бесповторной выборке

8.4. Механический способ отбора

 При данном способе отбора вся генеральная совокупность разбивается на равные по объему группы. Из каждой группы в заранее обусловленном порядке отбирают одну единицу. Механическая выборка бывает только бесповторной.