Основные понятия математической статистики. Математическая статистика как наука (стр. 2 )

$\mathbb{P}$

$H:\;\{\mathbb{P}= \mathbb{P}_0\}$

$\mathbb{P}_0$

простой

$\mathbb{P}$

$H:\;\{\mathbb{P}\in \mathcal{P}\}$

$\mathcal{P}$

сложной

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу H0. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H1, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ фиксированного объема $n\geq 1$ из распределения $\mathbb P$ . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной.

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса:

1. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.

2. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Нулевая гипотеза H_0: F_n(x) = F(x) , где - эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) - гипотетическая функция распределения вероятностей.

Группы общих критериев согласия:

гистограммой

Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и эмпирической гистограммы

11. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.

Так как все предположения о характере того или иного распределения – это гипотезы, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью критериев согласия, которые дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными, т. е. случайными, а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду.

Существует ряд критериев согласия. Чаще применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона – один из основных:

где k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,
– наблюдаемая частота признака в i-й группе,
– теоретическая частота.
Для распределения составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия для выбранного уровня значимости и степеней свободы df.(или )
Уровень значимости – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т. е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистике пользуются тремя уровнями:

a= 0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях их 100 может быть отвергнута правильная гипотеза); a= 0,05, тогда Р=0,95; a= 0,01, тогда Р=0,99.

Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k –z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т. е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты.
Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи:
; ; .
Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df = k –3.
Для оценки существенности расчетное значение сравнивается с табличным .
При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений , в противном случае >0. Если >, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем.
В случае, если , заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью Р=(1-a) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.
Критерий согласия Пирсона используется, если объем совокупности достаточно велик , при этом частота каждой группы должна быть не менее 5.

12. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТИ.

В природе многие явления и процессы взаимосвязаны между собой. В физической культуре и спорте, в спортивной команде и в организме спортсмена тоже существует много взаимосвязей между различными признаками. Например, с повышением количества занимающихся в каком-либо виде спорта повышаются результаты в этом виде; осложнения во взаимоотношениях между игроками одной команды ухудшает ее результативность; с повышением интенсивности нагрузки у спортсмена повышается пульс, увеличивается скорость кровотока в работающих мышцах, уменьшаются в них энергетические ресурсы; регулярность тренировок, оптимально подобранные нагрузки по их виду, объему и интенсивности улучшают результаты спортсмена и т. д.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Влияние одних признаков на другие может быть положительным и отрицательным. Грамотный специалист должен хорошо разбираться в таких взаимосвязях в своей области, устранять или уменьшать негативное влияние и уметь своевременно и в достаточной мере использовать полезные взаимосвязи.

Некоторые методы математической статистики могут помочь любому специалисту выявить взаимосвязи, раскрыть их особенности. Одним из таких методов и является метод корреляционного анализа. Он направлен на то, чтобы на основе статистического материала выявить факт влияния одного признака на другой, установить полезность или вред этого влияния и оценить уверенность в полученных выводах. При этом различают два вида зависимости — функциональную и статистическую (корреляционную).

Понятие функциональной зависимости

Будем говорить, что между двумя признаками X и Y существует функциональная зависимость (взаимосвязь), при которой каждому значению одного из них соответствует одно или несколько строго определенных значений другого.

Например, в функции у = 2 * х каждому значению х соответствует в два раза большее значение у . В функции каждому значению у соответствует 2 определенных значения х . Графически это выглядит так (рис. 6, 7 соответственно):

Понятие корреляционной зависимости и ее направленности

Будем говорить, что между двумя признаками Х и У существует корреляционная зависимость (взаимосвязь), при которой с изменением одного признака изменяется и другой, но каждому значению признака Х могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения признака У, и наоборот.

Для различия направленности влияния одного признака на другой введены понятия положительной и отрицательной связи.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном увеличиваются (уменьшаются) значения другого, то такая корреляционная связь называется прямой или положительной.

Если с увеличением (уменьшением) одного признака в основном уменьшаются (увеличиваются) значения другого, то такая корреляционная связь называется обратной или отрицательной.

2. Корреляционные поля и их использование в предварительном анализе корреляционной связи

При постановке вопроса о корреляционной зависимости между двумя статистическими признаками Х и У проводят эксперимент с параллельной регистрацией их значений.

13. ОБЩИЕ И ГРУППОВЫЕ СРЕДНИЕ.

14. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.

15. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

16. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЕГРЕССИИ И ИХ СВОЙСТВА.

17. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА.

18. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ.

19. ПОНЯТИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭММ.

20. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.

21. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ.

22. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.
Пусть дана задача
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждое из ограничений (2.12), (2.13) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость — выпуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (2.11) — (2.13) есть выпуклое множество.
Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП — непустое множество, например многоугольник .

Выберем произвольное значение целевой функции . Получим . Это уравнение прямой линии. В точках прямой NМ целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение . Считая в равенстве (2.11) параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).
Найдём частные производные целевой функции по и :
, (2.14)
. (2.15)
Частная производная (2.14) (так же как и (2.15)) функции показывает скорость ее возрастания вдоль данной оси. Следовательно, и — скорости возрастания соответственно вдоль осей и . Вектор называется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

Вектор указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антиградиентом.
Вектор перпендикулярен к прямым семейства .
Из геометрической интерпретации элементов ЗЛП вытекает следующий порядок ее графического решения.
1. С учетом системы ограничений строим область допустимых решений .
2. Строим вектор наискорейшего возрастания целевой функции — вектор градиентного направления.
3. Проводим произвольную линию уровня .
4. При решении задачи на максимум перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении.
5. Определяем оптимальный план и экстремальное значение целевой функции .

23. СИМПЛЕКС МЕТОД. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРИ ОТЫСКАНИИ ОПТИМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ.

Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного плана;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.
Пусть ЗЛП представлена системой ограничений в каноническом виде:
.
Говорят, что ограничение ЗЛП имеет предпочтительный вид, если при неотрицательной правой части левая часть ограничений содержит переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения равенства - с коэффициентом, равным нулю.
Пусть система ограничений имеет вид

Сведем задачу к каноническому виду. Для этого прибавим к левым частям неравенств дополнительные переменные . Получим систему, эквивалентную исходной:
,
которая имеет предпочтительный вид
.
В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю .
Пусть далее система ограничений имеет вид
.
Сведём её к эквивалентной вычитанием дополнительных переменных из левых частей неравенств системы. Получим систему
.
Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть (при ) с коэффициентами, равными –1. Поэтому, вообще говоря, базисный план не является допустимым. В этом случае вводится так называемый искусственный базис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные . В целевую функцию переменные , вводят с коэффициентом М в случае решения задачи на минимум и с коэффициентом - М для задачи на максимум, где М - большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеет предпочтительный вид.
Пусть исходная ЗЛП имеет вид
, (2.16)
, (2.17)
, (2.18)
причём ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. М-задача запишется так:
(2.19)
(2.20)
, , (2.21)
Задача (2.имеет предпочтительный план. Её начальный опорный план имеет вид

Если некоторые из уравнений (2.17) имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные.
Теорема. Если в оптимальном плане
(2.22)
М-задачи (2.все искусственные переменные , то план является оптимальным планом исходной задачи (2.
Для того чтобы решить задачу с ограничениями, не имеющими предпочтительного вида, вводят искусственный базис и решают расширенную М - задачу, которая имеет начальный опорный план

Решение исходной задачи симплексным методом путем введения искусственных переменных называется симплексным методом с искусственным базисом.
Если в результате применения симплексного метода к расширенной задаче получен оптимальный план, в котором все искусственные переменные , то его первые n компоненты дают оптимальный план исходной задачи.
Теорема. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия несовместны.
Признаки оптимальности.
Теорема. Пусть исходная задача решается на максимум. Если для некоторого опорного плана все оценки неотрицательны, то такой план оптимален.
Теорема. Если исходная задача решается на минимум и для некоторого опорного плана все оценки неположительны, то такой план оптимален.

24. АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ.

Алгоритм симплекс-метода

Усиленная постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

$c^Tx \to max, Ax\leqslant b, x\geqslant 0.$

Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z, где:

$\begin{bmatrix} 1 & -c^T & 0\\ 0 & A & E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z\\ x\\ x_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ b \end{bmatrix}, x,x_s\geqslant 0$

Здесь x — переменные из исходного линейного функционала, xs — новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство переходит в равенство, c — коэффициенты исходного линейного функционала, Z — переменная, которую необходимо максимизировать. Полупространства $x\geqslant 0$ и $x_s\geqslant 0$ в пересечении образуют многогранник, представляющий множество допустимых решений. Разница между числом переменных и уравнений даёт нам число степеней свободы. Проще говоря, если мы рассматриваем вершину многогранника, то это число рёбер, по которым мы можем продолжать движение. Тогда мы можем присвоить этому числу переменных значение 0 и назвать их «непростыми». Остальные переменные при этом будут вычисляться однозначно и называться «простыми». Полученная точка будет вершиной в пересечении соответствующих непростым переменным гиперплоскостей. Для того, чтобы найти т. н. начальное допустимое решение (вершину, из которой мы начнём движение), присвоим всем изначальным переменным x значение 0 и будем их считать непростыми, а все новые будем считать простыми. При этом начальное допустимое решение вычисляется однозначно : $\mathbf{x}_{s i}=\mathbf{b}_i$ .

Алгоритм

Теперь приведём шаги алгоритма. На каждом шаге мы будем менять множества простых и непростых векторов (двигаться по рёбрам), и матрица будет иметь следующий вид:

$\begin{bmatrix} 1 & c_B^TB^{-1}A - c^T & c_B^TB^{-1}\\ 0 & B^{-1}A & B^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Z\\ x\\ x_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} c^T_BB^{-1}b\\ B^{-1}b \end{bmatrix},$

где cB — коэффициенты вектора c соответствующие простым переменным (переменным xs соответствуют 0), B — столбцы $[\mathbf{A}\mathbf{E}]$ , соответствующие простым переменным. Матрицу, образованную оставшимися столбцами обозначим D. Почему матрица будет иметь такой вид поясним в описании шагов алгоритма.

Первый шаг.

Выбираем начальное допустимое значение, как указано выше. На первом шаге B — единичная матрица, так как простыми переменными являются xs. cB — нулевой вектор по тем же причинам.

Второй шаг

Покажем, что в выражении $(c^T_BB^{-1}A - c^T)x+(c_B^TB^{-1})x_s$ только непростые переменные имеют ненулевой коэффициент. Заметим, что из выражения Ax+xs=b простые переменные однозначно выражаются через непростые, так как число простых переменных равно числу уравнений. Пусть x ' — простые, а x ' ' — непростые переменные на данной итерации. Уравнение Ax+xs=b можно переписать, как Bx '+Dx ' '=b. Умножим его на B − 1 слева: x' + B − 1Dx'' = B − 1b. Таким образом мы выразили простые переменные через непростые, и в выражении B − 1Ax + B − 1xs, эквивалентному левой части равенства, все простые переменные имеют единичные коэффициенты. Поэтому, если прибавить к равенству Z − cTx = 0 равенство $c^T_BB^{-1}Ax+c_B^TB^{-1}x_s$ , то в полученном равенстве все простые переменные будут иметь нулевой коэффициент — все простые переменные вида x сократятся, а простые переменные вида xs не войдут в выражение $c_B^TB^{-1}x_s$ .

Выберем ребро, по которому мы будем перемещаться. Поскольку мы хотим максимизировать Z, то необходимо выбрать переменную, которая будет более всех уменьшать выражение

$(c^T_BB^{-1}A - c^T)x+(c_B^TB^{-1})x_s$ .

Для этого выберем переменную, которая имеет наибольший по модулю отрицательный коэффициент. Если таких переменных нет, то есть все коэффициенты этого выражения неотрицательны, то мы пришли в искомую вершину и нашли оптимальное решение. В противном случае начнём увеличивать эту непростую переменную, то есть перемещаться по соответствующему ей ребру. Эту переменную назовём входящей.

Третий шаг

Теперь необходимо понять, какая простая переменная первой обратится в ноль по мере увеличения входящей переменной. Для этого достаточно рассмотреть систему:

$\begin{bmatrix} B^{-1}A B^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ x_s \end{bmatrix}=B^{-1}b$

При фиксированных значениях непростых переменных система однозначно разрешима относительно простых, поэтому мы можем определить, какая из простых переменных первой достигнет нуля при увеличении входящей. Эту переменную назовем выходящей. Это будет означать, что мы натолкнулись на новую вершину. Теперь входящую и выходящую переменную поменяем местами — входящая «войдёт» в простую, а выходящая из них «выйдет» в непростые. Теперь перепишем матрицу B и вектор cB в соответствии с новыми наборами простых и непростых переменных, после чего вернёмся ко второму шагу. x''

Поскольку число вершин конечно, то алгоритм однажды закончится. Найденная вершина будет являться оптимальным решением.

25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ЛП.

Общая схема построения двойственной задачи

Общая схема построения двойственной задачи. Приведенное выше определение задачи, двойственной по отношению к канонической ЗЛП, может быть распространено на случай общей задачи линейного программирования.

F Если задана общая задача ЛП

f(x) = c1x1 + ... + сjхj + сj+1хj+1 + ... + сnxn → max, x D, (1.50)

где D определяется системой уравнений и неравенств:

то двойственной по отношению к ней называется общая задача ЛП

где D* определяется системой уравнений и неравенств:

Правила построения задачи, двойственной по отношению к ОЗЛП, наглядно представлены схемой, показанной на рис. 1.9.

Как следует из приведенной схемы при переходе от прямой задачи ЛП к двойственной:

1. Тип оптимума меняется на противоположный, т. е. максимум на минимум, и наоборот.

2. Вектор коэффициентов целевой функции с и столбец ограничений b меняются местами.

3. Матрица ограничений задачи A транспонируется.

4. Множество индексов переменных, на которые наложено условие неотрицательности в прямой задаче (например, хj ≥ 0 или uj ≥ 0), определяют номера ограничений, имеющих форму неравенств в двойственной задаче (aju ≥ сj или aix ≤ bj).

5. Множество номеров ограничений, имеющих форму неравенств в прямой задаче (например, aix ≤ bj или aju ≥ сj), определяют множество индексов переменных, на которые накладывается условие неотрицательности, в двойственной задаче (ui ≥ 0 или xi ≥ 0).

F Из приведенного определения вытекает важное свойство — симметричность отношения двойственности, т. е. задача, двойственная по отношению к двойственной, совпадает с прямой (исходной) задачей:

Тем самым имеет смысл говорить о паре взаимно двойственных задач.

В матричной форме пара двойственных общих задач линейного программирования может быть кратко записана как:

Рассмотрим процесс построения двойственной задачи на конкретном примере. Пусть задана ОЗЛП (D, f):

тогда двойственной к ней будет задача (D*, f*):

26. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ И ЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Теорема. Для любых допустимых планов и прямой и двойственной ЗЛП справедливо неравенство , т. е.
(2.29)
– основное неравенство теории двойственности.
Теорема (критерий оптимальности Канторовича).
Если для некоторых допустимых планов и пары двойственных задач выполняется неравенство , то и являются оптимальными планами соответствующих задач.
Теорема (малая теорема двойственности).
Для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.
Теорема. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций равны: . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.
Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти планы были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки, обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т. е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы.
Теорема (о дополняющей нежесткости)
Для того, чтобы планы и пары двойственных задач были оптимальны, необходимо и достаточно выполнение условий:
(2.30)
(2.31)
Условия (2.30), (2.31) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.
Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его i-я компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Отсюда следует вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полностью) имеет нулевую оценку.
Теорема (об оценках). Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования, точнее
(2.32)