Основные понятия математической статистики. Математическая статистика как наука (стр. 1 )

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА КАК НАУКА.

Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования. Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения случайной величины;

- оценка неизвестной функции распределения случайной величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т. д.

Случайную величину будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности являются статистические данные, т. е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор независимых в совокупности случайных величин , где соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число называется объёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёма .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

2. ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВЫБОРОК.

По способу отбора (способу формирования) выборки единиц из генеральной совокупности распространены следующие виды выборочного наблюдения:

простая случайная выборка (собственно-случайная);

типическая (стратифицированная);

серийная (гнездовая);

механическая;

комбинированная;

ступенчатая.

Простая случайная выборка (собственно-случайная) есть отбор единиц из генеральной совокупности путем случайного отбора, но при условии вероятности выбора любой единицы из генеральной совокупности. Отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Типическая (стратифицированная) выборка предполагает разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц.

Для серийной (гнездовой) выборки характерно то, что генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии (единицы внутри серий связаны по определенному признаку), из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение.

Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т. д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице.

Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.

Многоступенчатая выборка есть образование внутри генеральной совокупности вначале крупных групп единиц, из которых образуются группы, меньшие по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы или отдельные единицы, которые необходимо исследовать.

Выборочный отбор может быть повторным и бесповторным. При повторном отборе вероятность выбора любой единицы не ограничена. При бесповторном отборе выбранная единица в исходную совокупность не возвращается.

Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные показатели (средние или относительные) и в дальнейшем результаты выборочного исследования распространяются на всю генеральную совокупность.

Основной задачей при выборочном исследовании является определение ошибок выборки. Принято различать среднюю и предельную ошибки выборки. Для иллюстрации можно предложить расчет ошибки выборки на примере простого случайного отбора.

Расчет средней ошибки повторной простой случайной выборки производится следующим образом:

cредняя ошибка для средней

cредняя ошибка для доли

Расчет средней ошибки бесповторной случайной выборки:

средняя ошибка для средней

средняя ошибка для доли

Расчет предельной ошибки  повторной случайной выборки:

предельная ошибка для средней

предельная ошибка для доли

где t - коэффициент кратности;

Расчет предельной ошибки бесповторной случайной выборки:

предельная ошибка для средней

предельная ошибка для доли

Следует обратить внимание на то, что под знаком радикала в формулах при бесповторном отборе появляется множитель, где N - численность генеральной совокупности.

Что касается расчета ошибки выборки в других видах выборочного отбора (например, типической и серийной), то необходимо отметить следующее.

Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий, т. е.

При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:

Серийная выборка, как правило, проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет вид

где - межсерийная дисперсия; s - число отобранных серий; S - число серий в генеральной совокупности.

Все вышеприведенные формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.

При расчете ошибок малой выборки необходимо учесть два момента:

1) формула средней ошибки имеет вид

2) при определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

В статистических исследованиях с помощью формулы предельной ошибки можно решать ряд задач.

1. Определять возможные пределы нахождения характеристики генеральной совокупности на основе данных выборки.

Доверительные интервалы для генеральной средней можно установить на основе соотношений

где - генеральная и выборочная средние соответственно; - предельная ошибка выборочной средней.

Доверительные интервалы для генеральной доли устанавливаются на основе соотношений

 

2. Определять доверительную вероятность, которая означает, что характеристика генеральной совокупности отличается от выборочной на заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией от t, где

Доверительная вероятность по величине t определяется по специальной таблице.

3. Определять необходимый объем выборки с помощью допустимой величины ошибки:

Чтобы рассчитать численность п повторной и бесповторной простой случайной выборки, можно использовать следующие формулы:

(для средней при повторном способе);

(для средней при бесповторном способе);

(для доли при повторном способе);

(для доли при бесповторном способе).

3. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД. ВИДЫ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного обобщения.

Выразительность, доходчивость, лаконичность, универсальность, обозримость графических изображений сделали их незаменимыми в исследовательской работе и в международных сравнениях и сопоставлениях социально - экономических явлений.

Значение графического метода в анализе и обобщении данных велико. Графическое изображение, прежде всего, позволяет осуществить контроль достоверности статистических показателей, так как, представленные на графике, они более ярко показывают имеющиеся неточности, связанные либо с наличием ошибок наблюдения, либо с сущностью изучаемого явления. С помощью графического изображения возможны изучение закономерностей развития явления, установление существующих взаимосвязей. Простое сопоставление данных не всегда дает возможность уловить наличие причинных зависимостей, в то же время их графическое изображение способствует выявлению причинных связей, в особенности в случае установления первоначальных гипотез, подлежащих затем дальнейшей разработке. Графики также широко используются для изучения структуры явлений, их изменения во времени и размещения в пространстве. В них более выразительно проявляются сравниваемые характеристики и отчетливо видны основные тенденции развития и взаимосвязи, присущие изучаемому явлению или процессу.

При построении графического изображения следует соблюдать ряд требований. Прежде всего, график должен быть достаточно наглядным, так как весь смысл графического изображения как метода анализа в том и состоит, чтобы наглядно изобразить статистические показатели. Кроме того, график должен быть выразительным, доходчивым и понятным. Для выполнения вышеперечисленных требований каждый график должен включать ряд основных элементов: графический образ; поле графика; пространственные ориентиры; масштабные ориентиры; экспликацию графика.

Пространственные ориентиры графика задаются в виде системы координатных сеток. Система координат необходима для размещения геометрических знаков в поле графика. Наиболее распространенной является система прямоугольных координат для построения статистических графиков используется обычно только первый и изредка первый и четвертый квадраты. В практике графического изображения применяются также полярные координаты. Они необходимы для наглядного изображения циклического движения во времени.

По способу построения статистические графики делятся на диаграммы и статистические карты.

Диаграммы - наиболее распространенный способ графических изображений. Это графики количественных отношений. Виды и способы их построения разнообразны. Диаграммы применяются для наглядного сопоставления в различных аспектах (пространственном, временном и др.) независимых друг от друга величин: территорий, населения и т. д. При этом сравнение исследуемых совокупностей производится по какому-либо существенному варьирующему признаку.

Статистические карты - графики количественного распределения по поверхности. По своей основной цели они близко примыкают к диаграммам и специфичны лишь в том отношении, что представляют собой условные изображения статистических данных на контурной географической карте, т. е. показывают пространственное размещение или пространственную распространенность статистических данных. Геометрические знаки как было сказано выше, это либо точки, либо линии или плоскости, либо геометрические тела. В соответствии с этим различают графики точечные, линейные, плоскостные и пространственные (объемные).

При построении точечных диаграмм в качестве графических образов применяются совокупности точек; при построении линейных - линии. Основной принцип построения всех плоскостных диаграмм сводится к тому, что статистические величины изображаются в виде геометрических фигур и, в свою очередь, подразделяются на столбиковые, полосовые, круговые, квадратные и фигурные.

В зависимости от круга решаемых задач выделяют диаграммы сравнения, структурные диаграммы и диаграммы динамики.

Особым видом графиков являются диаграммы распределения величин, представленных вариационным рядом. Это гистограмма, полигон, огива, кумулята.

Гистограмма - это представление данных в столбиковой форме. Каждый столбик представляет

величину отдельного уровня исследуемого статистического ряда. Таким образом, сравнение статистических показателей возможно потому, что все сравниваемые показатели выражены в одной единице измерения.

При построении столбиковых диаграмм необходимо начертить систему прямоугольных координат, в которой располагаются столбики. На горизонтальной оси располагаются основания столбиков, величина основания определяется произвольно, но устанавливается одинаковой для всех.

Шкала, определяющая масштаб столбиков по высоте, расположена по вертикальной оси. Величина каждого столбика по вертикали соответствует размеру изображаемого на графике статистического показателя. Таким образом, у всех столбиков, составляющих диаграмму, переменной величиной является только одно измерение.

Полигон - это вид диаграммы в которой при помощи отрезков соединяются точки середин координат сторон прямоугольника. Полигон обязательно пересекает ось Х по краям в точках принятых в масштабе на величину интервалов от середины крайних прямоугольников, половины крайних координат. Если с лева отрезок должен уйти за край оси Y, то есть приобрести отрицательный характер, то начало левого отрезка будет совпадать с началом координат на диаграмме.

Кумулята - это линейное построения диаграммы по накопленным частотам, которые определяются последовательным суммированием частот. Накопление частоты показывают сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше чем рассматриваемое значение.

Огива - это обратная кумуляты то есть система координат кумуляты меняет оси и становится огивой. Огива так же как и кумулята является линейной то есть строится на основании отрезков соединяя координаты. По сути огива это перевернутая акумулята, за счет чего получает новый вид. Огива может использоваться тогда когда может нахватать места для построения графика так же позволяет увидать рост в другом положении, координаты (другой оси) воспринимаются зрительно, хотя отличий по точкам координат при построении огивы и акумуляты по одной задаче не будет.

4. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА И ЕЕ СВОЙСТВА.

Определение вариационного ряда.
Вариационный ряд - это числовые значения признака, представленные в ранговом порядке с соответствующими этим значениям частотами.

 Основные обозначения вариационного ряда
V — варианта, отдельное числовое выражение изучаемого признака;
р — частота ("вес") варианты, число ее повторений в вариационном ряду;
n — общее число наблюдений (т. е. сумма всех частот, n = Σр);
Vmax и Vmin — крайние варианты, ограничивающие вариационный ряд (лимиты ряда);
А — амплитуда ряда (т. е. разность между максимальной и минимальной вариантами, А = Vmax — Vmin)

 Виды вариацией
а) простой — это ряд, в котором каждая вариата встречается по одному разу (р=1);
6) взвешенный — ряд, в котором отдельные варианты встречаются неоднократно (с разной частотой).

 Назначение вариационного ряда
Вариационный ряд необходим для определения средней величины (М) и критериев разнообразия признака, подлежащего изучению (σ, Сv).

 Средняя величина — это обобщающая характеристика размера изучаемого признака. Она позволяет одним числом количественно охарактеризовать качественно однородную совокупность.

 Применение средних величин

для оценки состояния здоровья — например, параметров физического развития (средний рост, средняя масса тела, среднее значение жизненной емкости легких и др.), соматических показателей (средний уровень сахара в крови, средняя величина пульса, средняя СОЭ и др.); для оценки организации работы лечебно-профилактических и санитарно-противоэпидемических учреждений, а также деятельности отдельных врачей и других медицинских работников (средняя длительность пребывания больного на койке, среднее число посещений на 1 ч приема в поликлинике и др.); для оценки состояния окружающей среды.

 Методика расчета простой средней арифметической

1.  Суммировать варианты: V1+V2+V3+...+Vn = Σ V;

2.  Сумму вариант разделить на общее число наблюдений: М = Σ V / n

 Методика расчета взвешенной средней арифметической (табл. 1)

1.  Получить произведение каждой варианты на ее частоту — Vp

2.  Найти сумму произведений вариант на частоты: V1p1 + V2p2+ V3p3 +...+ Vnpn = Σ Vp

3.  Полученную сумму разделить на общее число наблюдений: М = Σ Vp / n

Применение среднеквадратического отклонения

для суждения о колеблемости вариационных рядов и сравнительной оценки типичности (представительности) средних арифметических величин. Это необходимо в дифференциальной диагностике при определении устойчивости признаков; для реконструкции вариационного ряда, т. е. восстановления его частотной характеристики на основе правила "трех сигм". В интервале М±3σ находится 99,7% всех вариант ряда, в интервале М±2σ — 95,5% и в интервале М±1σ — 68,3% вариант ряда; для выявления "выскакивающих" вариант (при сопоставлении реального и реконструированного вариационных рядов); для определения параметров нормы и патологии с помощью сигмальных оценок; для расчета коэффициента вариации; для расчета средней ошибки средней арифметической величины.

5. ДИСПЕРСИЯ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА И ЕЕ СВОЙСТВА.

Дисперсией   вариационного   ряда  называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней:

Для характеристики рассеяния часто бывает удобнее иметь величину, которая выражается в тех же единицах, что и значения признака.

Ее мы получим, вычислив корень квадратный из  дисперсии.

Определение 7. Арифметическое значение корня квадратного из  дисперсии  называется средним квадратическим отклонением

2)  Свойства   дисперсий 

Теорема. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно  и то же число k раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в k 2 раз.

Действительно

Теорема. Увеличение или уменьшение вариантов на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии

6. ОШИБКИ ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ.

При любом наблюдении могут происходить ошибки при регистрации единиц. В зависимости от объекта, субъекта и способа наблюдения эти ошибки могут возникнуть из-за сообщения ошибочных сведений объектом, неточной фиксации сообщаемых сведений субъектом наблюдения, неточного подсчета или измерения фиксируемых признаков при непосредственном наблюдении.

Основные недостатки

Полученные данные всегда содержат в себе ошибку, о результатах наблюдения можно судить лишь с определенной степенью достоверности. Но по сравнению с другими видами наблюдения это достоинство выборочного метода.

Для его проведения требуются квалифицированные кадры.

 Вся совокупность единиц, из которых производится отбор, называется генеральной. Совокупность единиц отобранных называется выборочной.

 Обычно частота обозначается как, а относительная численность единиц выборочной совокупности, обладающая данным признаком, называется частостью. При несплошном наблюдении, в частности при выборочном, кроме ошибок регистрации возможны так называемые ошибки репрезентативности (представительности), которые возникают в связи с тем, что отобранная для обследования часть совокупности имеет по изучаемому признаку иную структуру, чем совокупность в целом.

При выборочном обследовании их источником является нарушение принципа случайности отбора, его тенденциозность. Случайные же ошибки возможны и при совершенно правильно организованном отборе за счет того, что случайно могут отказаться отобранными единицы с характеристиками, в среднем отличными от всей совокупности. Таким образом, ошибка наблюдения (eнв) является при выборочном наблюдении суммой ошибки регистрации (eрв) и ошибки репрезентативности (eпв), а при сплошном наблюдении ошибка наблюдения (eнс) равна ошибке регистрации (eрс). Чтобы оценить степень точности выборочного наблюдения, необходимо оценить величину ошибок, которые могут возникнуть в процессе проведения выборочного наблюдения. Основное внимание уделяется случайным ошибкам репрезентативности.

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают из-за неправильных или неточных сведений. Источниками таких ошибок могут быть непонимание существа вопроса, невнимательность регистратора, пропуск или повторный счет некоторых единиц совокупности, описки при заполнении формуляров и т. д.
Среди ошибок регистрации выделяются систематические, обусловленные причинами, действующими в каком-то одном направлении и искажающими результаты работы (например, округление цифр, тяготение к полным пятеркам, десяткам и т. д.), и случайные, проявляющиеся в различных направлениях, уравновешивающие друг друга и лишь изредка дающие заметный суммарный итог.

Расхождение между значениями изучаемого признака выборочной и генеральных совокупностей является ошибкой репрезентативности (представительности). Она может быть случайной и систематической. Случайная возникает в силу того, что выборочное статистическое наблюдение является несплошным наблюдением, и выборка недостаточно точно воспроизводит (репрезентирует) генеральную совокупность.

Систематические ошибка репрезентативности возникают из-за неправильного, тенденциозного отбора единиц, при котором нарушается основной принцип научно организованной выборки - принцип случайности.

При определении величины репрезентативной ошибки предполагается, что ошибка регистрации равна нулю. Определение ошибки производится по формулам ошибки выборочной доли и ошибки выборочной средней. Систематическая ошибка репрезентативности возникает вследствие нарушения правил отбора единиц генеральной совокупности, в частности принципа беспристрастного, непреднамеренного отбора. Систематическая ошибка может привести к полной непригодности результатов наблюдений.

Рассмотрим на примере, насколько отличаются выборочные и генеральные показатели по данным об успеваемости студентов (две 10%-е выборки):

Оценка	Число студентов, чел
	Генеральная совокупность	Первая выборка	Вторая выборка
2 3 4 5	100 300 520 80	9 27 54 10	12 29 52 7
Итого	1000	100	100

Средний балл для генеральной совокупности

по первой выборке

по второй выборке

Доля студентов, получивших оценки "4" и "5":

по генеральной совокупности

по первой выборке

по второй выборке

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности является случайной ошибкой репрезентативности (ошибкой выборки).

Средняя ошибка выборки

Мерой колеблемости возможных значений выборочной средней является средний квадрат отклонений вариантов выборочной средней от генеральной, взвешенной по их вероятностям, т. е. дисперсия выборочной средней.

Отсюда видно, что средняя ошибка выборки прямо пропорциональна среднему квадратическому отклонению и обратно пропорциональна квадратному корню из численности выборки.

Если выборка используется для определения доли признака, то средняя ошибка выборки определяется по следующей формуле:

Когда значение и значение неизвестны, то значение принимается равным.

Предельная ошибка выборки

Средняя ошибка выборки используется для определения возможных отклонений показателей выборочной совокупности от соответствующих показателей генеральной совокупности.

С определенной вероятностью можно утверждать, что эти отклонения не превысят заданной величины, которая называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка связана со следующим равенством:

- коэффициент, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки выборки. Применительно к выборочному методу из теоремы Черышева следует, что с увеличением значений величина вероятности быстро приближается к единице.

В связи с этим, увеличивая численность выборки, можно отклонение выборочной средней от генеральной довести до сколь угодно малых размеров, причем это результат можно гарантировать с вероятностью сколь угодно близкой к единице.

7. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ.

Доверительный интервал в математической статистике — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он накрывает данный параметр с заданной вероятностью.

Определение

Пусть есть выборка из распределения , где  — неизвестный параметр. Пусть также задана достоверность (желаемая вероятность попадания) . Тогда случайный интервал [L,U], где

есть некоторые статистики имеющейся выборки, такой, что

,

называется α-доверительным интервалом для параметра θ.

Если

,

то доверительный интервал называется точным.

Параметр α называется степенью доверия или доверительной вероятностью интервала [L,U]. Часто вместо α используется . Например, термины 0.95-доверительный интервал и -доверительный интервал равнозначны.

Доверительная вероятность — вероятность того, что значение параметра генеральной совокупности находится в построенном для него доверительном интервале. Доверительная вероятность обычно обозначается (1 — α) и выбирается из значений 0,9; 0,95; 0,99 и т. п.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ - интервал, который строится по данным выборочного исследования для оценивания параметра генеральной совокупности. Предполагается, что значение параметра с заданной доверительной вероятностью находится в этом интервале. Доверительная вероятность, которую принято обозначать (1 - α), выбирается из стандартных значений 0,9; 0,95; 0,99 и т. п. Вероятность того, что значение параметра находится вне пределов данного интервала (α), составляет, соответственно, 0,1; 0,05; 0,01 и т. п.

Д. И. вычисляется на основе значения соответствующей статистики выборочной с учетом свойств ее распределения. В частности, Д. И. для математического ожидания (среднего арифметического по генеральной совокупности) имеет вид:

,

где x - среднее арифметическое значение переменной, вычисленное по выборке;

s - стандартное отклонение переменной, вычисленное по выборке (см. Показатели разброса данных);

n - объем выборки;

z1-α/2 - доверительный коэффициент, соответствующий доверительной вероятности (1 - α); для α = 0,1 доверительный коэффициент z0,95 = 1,64; для α = 0,05 z0,975 = 1,96; для α = 0,01 z0,995 = 2,58.

Например, если для переменной "время, затрачиваемое на дорогу от дома до работы" по выборке из 100 человек (n = 100) среднее арифметическое составило x = 40мин и стандартное отклонение s = 10мин, то при доверительной вероятности (1 - α) = 0,95 и соответствующем ей доверительном коэффициенте z0,975 = 1,96 ≈ 2 Д. И. примет вид:

∙ 10/√100; 40 + 2 ∙ 10/√100) = (38; 42).

Он интерпретируется следующим образом: среднее время, затрачиваемое на дорогу от дома до работы, по генеральной совокупности с вероятностью 95% составляет от 38 до 42 минут.

8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И СХЕМЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

9. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОГО ОБЪЕМА ВЫБОРКИ.

10. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ.

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина X, распределение которой неизвестно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них: