Механика сплошных сред (стр. 2 )

В современных приборах для измерения скорости полета самолета - указателях скорости используется принцип работы трубки Пито. Однако, в них вместо жидкостного манометра используется гофрированный цилиндрический сильфон, длина которого изменяется в зависимости от разности давлений . Смещение подвижной плоскости сильфона через рычажно-зубчатую систему передач передается вращающейся на оси стрелке прибора, которая после калибровки показывает так называемую приборную скорость полёта, соответствующую плотности и давлению Pµ газа (воздуха) на данной высоте полёта. Но давление уменьшается с увеличением высоты полёта. Это уменьшение учитывается применением анероидной коробочки в виде запаянного с обеих сторон гофрированного цилиндрического сильфона с вакумноплотно изолированным воздухом при давлении 760 мм ртутного столба. С увеличением высоты полёта длина коробочки увеличивается, а смещение её подвижного торца обеспечивает с помощью механической системы дополнительный поворот стрелки прибора, увеличивая значение приборной скорости на некоторую величину-поправку на высоту полёта. Приборную скорость с поправкой на высоту полёта называют истинной скоростью. В современных указателях скорости имеется две стрелки, показывающие приборную и истинную скорости. Первая из них позволяет летчику контролировать минимально-допустимую скорость полёта при пилотировании самолёта, а вторая - выдерживать время движения по маршруту полёта.

7.3. Влияние сжимаемости среды

Как видно из соотношения (7.2.15), давление в критической точке больше, чем давление жидкости вдали от тела, на величину скоростного напора . Таким образом, индивидуальная частица газа или жидкости при движении по критической линии тока испытывает сжатие. При этом её плотность увеличивается. Это явление изменения плотности будет наблюдаться и для частиц, движущихся по другим линиям тока. Однако наиболее значительное изменение, очевидно, будет наблюдаться для частиц на критической линии тока. Поэтому, если учесть сжимаемость среды, то давление в критической точке должно иметь некоторое другое значение, учитывающее, что плотность среды вдали от тела и в критической точке не равны, как это предполагалось при выводе формулы (7.2.15).

Оценим влияние сжимаемости среды на давление в критической точке. Если среда несжимаема, то давление в критической точке определяется согласно (7.2.15). Для сжимаемой среды необходимо воспользоваться уравнением Бернулли в форме (7.2.2) в отсутствии поля тяжести и, учитывая изменение энтальпии единицы массы, запишем его для критической линии тока в виде

(7.3.1)

Будем полагать, что сжатие индивидуальных частиц, движущихся по критической линии тока с достаточно большой скоростью, происходит адиабатически, т. е. без теплообмена с другими частицами. В этом случае, как было показано в п.7.1.1, имеем

Так как адиабатическое сжатие индивидуальной частицы на критической линии тока описывается уравнением Пуассона (или уравнением адиабаты), то очевидны следующие преобразования при вычислении энтальпии h единицы массы:

(7.3.2)

Здесь - показатель адиабаты. Интегрируя с точностью до несущественной произвольной постоянной интегрирования, получим:

(7.3.3)

Подставляя значение (7.3.3) в уравнение Бернулли (7.3.1), имеем

(7.3.4)

Отношение плотностей возможно найти из уравнения Пуассона, подстановка которого в (7.3.4) позволяет определить :

(7.3.5)

Полагая, что второе слагаемое мало по сравнению с единицей, представим (7.3.5) как бином Ньютона:

.

Следовательно, давление сжимаемой среды в точке полного торможения равно:

(7.3.6)

Сравнивая полученное выражение с формулой (7.2.13), можно сделать следующее заключение: если справедливо соотношение

(7.3.7)

то формула (7.3.6) переходит в формулу (7.2.15) для несжимаемой среды. Таким образом, при выполнении неравенства (7.3.7) необходимо среду (жидкость, газ) рассматривать несжимаемой.

Как показано в п.6.12, скорость адиабатического распространения продольных волн сжатия в ньютоновских средах равна . Но согласно (5.2.7) адиабатический модуль , поэтому имеем:

(7.3.8)

Для идеальной среды в адиабатическом процессе производную можно найти из уравнения адиабаты , после подстановки которой в (7.3.8) получим:

(7.3.9)

Скорость называют скоростью звука, т. е. скорость звука является скоростью распространения продольных волн сжатия в среде. Тогда неравенство (7.3.7) можно записать в следующем виде

(7.3.10)

Таким образом, если скорость движения среды значительно меньше скорости звука в ней, то ее можно рассматривать как среду несжимаемую. Например, если воздух ( м/сек) движется со скоростью = 70 м/сек, то максимальная поправка к давлению в критической точке составит %, что можно не учитывать в большинстве инженерных расчётов и теоретических рассмотрений.

7.4. Вихревое движение

7.4.1. Сохранение циркуляции скорости. Теорема Томсона

Циркуляцией некоторого вектора А по замкнутому контуру ( l ) называют интеграл вида:

(7.4.1)

где dl- элемент контура интегрирования.

Рассмотрим изменение во времени циркуляции скорости баротропного движения идеальной жидкости в поле потенциальных сил по некоторому индивидуальному контуру, охватывающему одни и те же индивидуальные частицы жидкости. В процессе движения контур может деформироваться, т. е. изменять свою форму и длину. Имеем:

(7.4.2)

т. к. элемент длины контура может быть представлен как разность радиусов векторов близких точек контура, т. е. Проведем дифференцирование под знаком интеграла:

(7.4.3)

Известно, что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала некоторой функции равен нулю. Поэтому второе слагаемое в (7.4.3) равно нулю. В уравнении (7.4.3) полную производную от скорости по времени можно заменить, используя уравнение Эйлера для баротропного движения в поле потенциальных сил (7.1.5). Тогда, если воспользоваться формулой Стокса, получим

(7.4.4)

так как в соответствии с известным соотношением из векторной алгебры

Таким образом, результат (7.4.4) является основным содержанием теоремы Томсона, которая формулируется следующим образом:

Циркуляция скорости движения идеальной жидкости по замкнутому контуру, охватывающему одни и те же частицы, в поле потенциальных сил при баротропных движениях сохраняется, т. е. она не зависит ни от координат, ни от времени.

Из уравнения (7.4.4) следует

(7.4.5)

Рассмотрим линию тока. В некоторой ее точке построим малый индивидуальный () контур площадью , охватывающей эту линию тока. Очевидно, при своем стационарном движении контур будет всегда охватывать эту линию тока. Предположим, что в какой-то её точке . Тогда, согласно теоремы Томсона ротор скорости будет равен нулю и во всех последующих точках линии тока, поскольку по определению линии тока такой контур не может быть сжат в точку при своем движении, т. к. , а в (7.4.5) должен сохраняться, т. е. равняться нулю при любой ориентации . Если движение идеальной жидкости в некоторый момент времени потенциально, например, начинается из состояния покоя , то оно будет потенциальным и во все последующие

моменты времени движения.

Однако эти рассуждения имеют ограниченную применимость даже и для идеальной жидкости. Они, очевидно, неприменимы для линий тока, проходящих в непосредственной близости к поверхности обтекаемого тела, хотя бы потому, что для такой линии тока невозможно провести замкнутый контур, охватывающий ее, который при своем движении не пересекал бы поверхность тела. Скорость движения идеальной жидкости на поверхности обтекаемого тела, а также на некоторых поверхностях в жидкости за ним может претерпевать разрыв, что означает появление на этих поверхностях ротора скорости, несмотря на то, что набегающий поток может быть потенциальным.

Для реальных же жидкостей, обладающих вязкостью, теорема Томсона не имеет места в силу непотенциальности вязких сил, действующих в жидкости. И если вдали от тела действие этих сил может практически не проявляться, то вблизи поверхности обтекаемого тела они могут играть существенную роль. Поэтому, если в жидкости образуются вихри, то они образуются, прежде всего, вблизи поверхностей обтекаемых тел.

7.4.2. Вихревая трубка. Теорема Гельмгольца

Аналогично линии тока можно ввести понятие вихревой линии. Вихревая линия - это линия, касательная к которой в данной точке определяет направление ротора скорости в этой точке. Очевидно, уравнение вихревой линии имеет вид:

(7.4.6)

Здесь - i-я компонента ( i = x, y, z ) угловой скорости мгновенного поворота.

Аналогично трубке тока можно построить вихревую трубку. Рассмотрим некоторый контур, охватывающий малую площадку DS. Через каждую точку этого контура проведем вихревую линию. Тогда совокупность этих линий ограничит вихревую трубку. Скалярное произведение называют интенсивностью вихревой трубки.

Теорема Гельмгольца утверждает, что интенсивность вихревой трубки неизменна по её длине и не зависит от времени.

Рассмотрим некоторую вихревую трубку (рис.7.6). Вычислим поток вектора через поверхность S, ограничивающую некоторый объём V трубки. Используя теорему Гаусса-Остроградского, можно записать

, (7.4.7)

т. к. из векторной алгебры известно, что div rot º 0. Разделим интеграл по поверхности на две части: интеграл по боковой поверхности и интеграл по торцевым площадкам . Очевидно, что по определению вихревой трубки интеграл по боковой поверхности равен нулю. Интеграл по элементарным

Рис.7.6

торцевым площадкам можно записать в виде суммы двух слагаемых: Принимая во внимание направление единичных нормальных векторов к этим площадкам, получим Можно было бы вдоль трубки тока построить не две, а несколько площадок и, следовательно, можно затем записать:

(7.4.8)

Из последнего соотношения следует, что интенсивность вихревой трубки постоянна вдоль трубки, т. е. не зависит от радиуса вектора . В силу же теоремы Томсона можно записать

(7.4.9)

Следовательно, для интенсивности вихревой трубки имеем:

(7.4.10)

т. е. интенсивность вихревой трубки не зависит от времени.

Таким образом, интенсивность вихревой трубки сохраняется в пространстве и с течением времени. Если в начальный момент времени интенсивность вихревой трубки была равна нулю , то она будет равна нулю и во все последующие моменты времени. Если же в начальный момент времени интенсивность вихревой трубки не равна нулю , то она сохраняется и во все последующие моменты времени. То есть, вихревое движение в идеальной жидкости не возникает и не уничтожается, что и составляет содержание теоремы Гельмгольца.

Рис.7.7

Следовательно, вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться внутри жидкости. Они должны быть или замкнутыми, или начинаться и заканчиваться на поверхности твёрдых тел или на свободной поверхности жидкости.

Так как теорема Томсона справедлива лишь для баротропных движений в поле потенциальных сил, то источником возникновения вихревых движений могут, очевидно, быть или не потенциальные силы вязкости, или не баротропность движения.

7.4.3. Прямолинейная одиночная вихревая нить

Прямолинейной вихревой нитью называют область пространства, в которой среда вращается относительно неограниченно длинной прямолинейной оси симметрии. Рассмотрим такую нить, ось которой перпендикулярна плоскости (рис.7.8). Интенсивностью прямолинейной вихревой нити называют предел следующего вида

(7.4.11)

Наличие вихря приводит к появлению некоторого поля скоростей среды вокруг центра нити. Для неограниченно длинной прямолинейной нити поле скоростей, очевидно, будет обладать цилиндрической симметрией. Движение жидкости одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных нити. В этих плоскостях частицы двигаются по окружностям, центром которых является след нити на плоскости. Такое движение среды называют плоским вихрем. Закон изменения скорости частиц в плоском вихре в зависимости от расстояния от нити можно получить, если воспользоваться определением циркуляции скорости (7.4.1) и теоремой Томсона:

(7.4.12)

Из (7.4.12) видно, что движение в таком вихре имеет особенность в точке r = 0, где u ® ¥.

Рис.7.8

Рассмотрим один из примеров пло-ского вихря с постоянной циркуляцией (рис.7.8). Пусть индивидуальная частица вращается в плоском вихре на расстоянии r от центра вихря со скоростью . Запишем выражение из векторной алгебры для в цилиндрической системы координат:

(7.4.13)

Если частица в плоском вихре (см. рис.7.8) вращается по часовой стрелке, то согласно определению направлен в сторону, откуда вращение частицы наблюдается против движения часовой стрелки, т. е. направлен за плоскость чертежа (от наблюдателя). Поэтому ненулевым является только единственный орт направления оси z, а именно , а . Поэтому в (7.4.13) первое и второе слагаемое равны 0. Поскольку для плоского вихря составляющие скорости , а определяется в соответствии с (7.4.12), то очевидно, что и третье слагаемое в (7.4.13) также равно нулю, т. к. .

Таким образом, в плоском вихре (рис.7.8) = 0. Это означает, что движение среды в таком плоском вихре является безвихревым, т. е. потенциальным, и индивидуальные частицы вращаются по окружности с различными радиусами r без вращения вокруг осей, проходящих через них. Схематично такое движение частиц изображено на рис.7.9. В природе такое движение можно наблюдать при истечении жидкости из сосуда с отверстием в его дне, т. е. при наличии воронки на поверхности жидкости.

Рис.7.9 Рис.7.10

Рассмотрим теперь случай, когда жидкость вращается как абсолютно твёрдое тело. Причем, индивидуальная частица, находящаяся на расстоянии от оси вихря (рис. 7.8), вращается с линейной скоростью , где есть угловая скорость вращения. Запишем i - компоненту ротора скорости движения индивидуальной частицы, используя тензорную запись в виде:

Если в первом символе Леви-Чивита дважды переставить индекс , то его знак не изменится, т. е. . Далее, запишем скалярное произведение двух символов Леви-Чивита через разность скалярных произведений соответствующих символов Кронекера согласно шестого свойства символа Леви-Чивита (см. п. 6.5) и проведем простейшие преобразования. В результате имеем:

(7.4.14)

Следовательно, i-я компонента ротора линейной скорости движения индивидуальной частицы в плоском вихре в среде, вращающейся как абсолютно твёрдое тело, определяется i-ой компонентой угловой скорости мгновенного поворота самой частицы. Поэтому при одном повороте такой индивидуальной частицы в плоском вихре вокруг некоторой оси она совершает один оборот вокруг оси, проходящей через неё (рис. 7.10). Таким образом, движение среды в плоском вихре как абсолютно твёрдого тела является движением вихревым, не потенциальным.

Рассмотрим ещё один случай, когда частицы двигаются прямолинейно вдоль некоторой плоской поверхности в направлении оси х с градиентом скорости по нормали к поверхности (ось у). Пусть профиль скорости определяется линейным законом (рис. 7.11). Запишем ротор скорости в виде матрицы:

Рис 7.11

Отличной от нуля является только z-компонента ротора , которая равна

Таким образом, стационарное движение идеальной среды вдоль поверхности с некоторым профилем скорости является вихревым, поскольку с течением времени индивидуальная частица за счёт разности скоростей верхней и нижней её границ изменяет свою форму, вращаясь относительно проходящей через неё оси.

Не следует отождествлять вихревое движение только с движением частиц по окружности: не всякое движение по окружности является вихревым и не всякое вихревое движение есть движение по окружности. Движение называют безвихревым (потенциальным с ) только тогда, когда индивидуальные частицы двигаются без вращения относительно некоторых осей, проходящих через сами частицы. В противном случае движение называют вихревым, не потенциальным с .

7.4.4. Примеры вихревых движений

Вихревое движение интересно наблюдать на вихревых кольцах. Чаще всего они демонстрируются с помощью ящика, в передней стенке которого имеется отверстие, а задняя стенка достаточно гибкая. Наполняя ящик дымом и ударяя рукой по задней стенке, можно наблюдать, как из отверстия вслед за ударом вылетают вихревые кольца, которые благодаря частичкам дыма хорошо видны. Такие кольца обладают любопытными свойствами. Они могут отталкиваться друг от друга, притягиваться, отражаться от твердой стенки, попеременно обгонять друг друга и т. д. Эти свойства объясняются движением, которое такие кольца стимулируют в окружающем воздухе. Линии тока такого движения в некоторый момент времени примерно можно изобразить в виде концентрических окружностей (рис. 7.12), хотя эксперименты показывают, что линии тока представляют собой спиралевидные линии. Ясно, что, если встречаются два кольца,

Рис 7.12

у которых внутренние потоки направлены навстречу друг другу (например, из разных ящиков), то такие кольца должны отталкиваться. Если же при одинаковом направлении движения быстрее движущееся кольцо догоняет впереди идущее, то оно будет втянуто в первое, пройдет внутри него и даже ускорится его внутренним потоком. В свою очередь предыдущее кольцо по - лучит от последующего некоторую «за-

крутку»( индуцирует дополнительную втягивающую силу), которая заставит его двигаться быстрее. Впоследствии оно может догнать обогнавшее кольцо, и кольца поменяются ролями. Это явление называют «чехардой» колец. После прохождения достаточного промежутка времени вихри затухают вследствие вязкости любой реальной среды. Энергия вихревого движения, в конечном счёте, переходит в тепло.

Зеркальное отражение колец от твердой стенки также можно понять, рассматривая взаимодействие внутреннего движения воздуха в кольце с твердой поверхностью. В начале прошлого столетия английский учёный Томсон пытался построить модель электрона в виде вихревого кольца некоторой субстанции. Действительно, такая модель обладает некоторыми свойствами заряженных частиц (притяжение разноименных зарядов и отталкивание одноименных).

В природе вихревые движения чаще всего наблюдаются в виде смерчей. Смерч возникает вдали от поверхности земли в результате интенсивных встречных вертикальных движений воздуха. Нисходящие потоки воздуха образуются под грозовыми тучами вследствие охлаждения его дождём или градом. Если такая туча надвигается на сильно прогретую местность с интенсивными восходящими потоками нагретого воздуха, то возникает взаимодействие этих резко разграниченных потоков. В результате на фронте тучи возникает вихревая трубка (рис. 7.13), концы которой в полном соответствии с теоремой Гельмгольца должны затем опуститься на землю. На земле эти вихри наносят большие разрушения в силу локализации воздействия: разрушаются постройки, валится лес, полегают посевы и т. д.

Рис. 7.13

Нетрудно видеть (рис. 7.13), что если смотреть сверху, то в левой ветви смерча на земле воздух будет вращаться, например, по часовой стрелке, тогда как в правой ветви - против часовой стрелки. Расстояние между концами вихревой трубки на земле иногда достигает десятков и сотен километров. Поэтому наблюдателю виден чаще всего лишь один его конец, который кажется «сошедшим» с неба. Однако, как следует из теоремы Гельмгольца, на земле на некотором расстоянии обязательно существует и второй его конец. Так, если в каком-то месте обнаруживается поваленный по часовой стрелке лес, то обязательно (в лесистых районах) существует место, где лес повален против часовой стрелки.

Ясно, что при вихревом движении внутри вихря в результате действия центробежных сил образуется область пониженного давления, в которую по поверхности воды или земли может интенсивно всасываться воздух и перемещаться дальше по оси вихря. Поэтому мелкие, легкие предметы, захваченные этим потоком (листья, белье, щепки и т. д.) могут быть перенесены по оси вихря, как по трубе, на значительные расстояния, и для местного наблюдателя кажутся «упавшими с неба». История знает немало таких чудес, когда «с неба» падали лягушки, рыбы и даже монеты.

Естественно, что вихревое движение в смерчах с течением времени должно затухать и исчезать вследствие диссипации энергии, т. к. реальная жидкость всегда обладает определенной вязкостью. Таким образом, вихревое движение в природе возникает из-за не потенциальных вязких сил и исчезает из-за диссипации механической энергии движения вихря вследствие вязкости реальных сред. Однако модель идеальной жидкости позволила нам изучить основные законы вихревого движения и понять роль вязкости в вихревом движении реальных сред.

7.5. Потенциальное движение

7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия

Движение идеальной среды называют потенциальным, если в любой точке пространства, занятого движущейся средой, . Поэтому скорость может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции называемой потенциалом скорости, т. е.

(7.5.1)

Действительно, если скорость может быть представлена в виде градиента скалярной функции, то движение потенциально, т. к.

Для потенциального движения циркуляция по любому замкнутому индивидуальному или неиндивидуальному контуру в односвязной области течения равна нулю, т. е.

Это означает, что при потенциальном движении не может быть замкнутых линий тока, т. к. в противном случае (линия тока совпадает с замкнутым контуром интегрирования) циркуляция скорости была бы отлична от нуля.

Баротропное нестационарное движение в поле сил тяжести описывается уравнением Эйлера (7.1.9, 7.2.8)

(7.5.2)

Но для потенциального движения идеальной среды согласно (7.5.1) имеем

Поэтому из (7.5.2) следует уравнение вида

(7.5.3)

Постоянная в правой части уравнения (7.5.3) при нестационарном движении может зависеть от времени, однако в данный момент времени она одинакова для всех точек пространства, занятого средой. Поскольку конечной целью является нахождение скорости движения среды, а скорости определяются производными от потенциала по координатам согласно (7.5.1), то любая функция времени, добавленная к потенциалу, не изменит результата при вычислении скоростей. Заменяя на в левой части (7.5.3), получаем в правой части уравнения (7.5.3) нуль. Поэтому без ограничения общности рассмотрения можно в уравнении (7.5.3) функцию положить равной нулю.

Для стационарного движения и из уравнения (7.5.3) следует обычное уравнение Бернулли с постоянной в правой части, не зависящей ни от координат, ни от времени.

Ранее было показано, что для идеальной среды, которая является несжимаемой, должно выполняться условие div u = 0. Но согласно (7.5.1) это условие дает уравнение

(7.5.4)

Таким образом, при стационарном потенциальном движении несжимаемой среды необходимо найти лишь одну скалярную функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (7.5.4). Поскольку при нестационарном движении потенциал скорости должен быть функцией не только координат, но и времени, согласно (7.5.3), а уравнение Лапласа содержит лишь производные по координатам, то отсюда следует, что время в может быть введено только через граничные условия.

Граничные условия для идеальной среды в каждой точке поверхности обтекаемого тела имеют вид