Механика сплошных сред (стр. 6 )

Таким образом, если при разностном представлении уравнений (7.11.3) задаются законы механики (исходя из которых и получаются уравнения Навье - Стокса), то естественно ожидать, что между областями зависимости разностных и дифференциальных уравнений будет соблюдаться правильное соответствие. В представлении (7.11.4) обычно используется равномерная пространственная сетка.

Переход к интегральным законам сохранения (7.11.3) требует, по существу, аппроксимации производных на единицу меньшего порядка по сравнению с прямыми методами численного решения уравнений Навье – Стокса.

Нетрудно заметить, что по своей сущности метод потоков обладает свойством консервативности по массе, импульсу и полной энергии на каждом временном слое [6], причем консервативность здесь имеет место как локально (для каждой ячейки разностной сетки), так и интегрально, т. е. для всей расчетной области. Как следует из (7.11.3), свойство консервативности обеспечивается тем, что данный подход основан на разностной аппроксимации законов сохранения, выписанных для каждой ячейки расчетной сетки в терминах поверхностных интегралов от векторов плотностей потоков , т. е. закон сохранения используется в форме, справедливой для произвольного объема газа.

Действительно, при решении конкретной задачи поверхностные интегралы в (7.11.4) вычисляются на отдельных участках поверхностей , являющихся границами между двумя соседними объемами . В зависимости от направления векторов потоков значения изменяются (в одних ячейках увеличиваются, а в других уменьшаются) на величины, определяемые потоками массы, импульса и полной энергии через совпадающие участки границы. Такой способ вычислений не может привести с точностью до ошибок округления к потере или образованию количеств из-за вычислительных процедур, что и свидетельствует о консервативности. Здесь проводится перенос (а, следовательно, и аппроксимация) «комплексов» функций – плотностей распределения количеств массы, импульса и энергии, что отвечает физике явления. В основу указанного подхода заложена общность факторов переноса (откуда и название – метод потоков). Анализ схемы с точки зрения выполнения законов сохранения представляется важным, так как известно, что расчетная схема дает наиболее точные результаты, когда она строго сохраняет те величины, которые сохраняются в рассматриваемом физическом процессе.

7.11.3. Конечно – разностные схемы метода потоков

Рассмотрим принципы построения конечно – разностных схем метода потоков. Будем искать решение задачи внешнего обтекания двумерного прямоугольного выступа эйлеровым газом.

7.11.3.1. Постановка и решение задачи

Пусть необходимо найти распределение газодинамических параметров газа при обтекании бесконечного прямоугольного выступа потоком набегающего газа (см. рис. 7.27). В связи с тем, что выступ является бесконечным по одной из осей, нет необходимости решать трехмерную задачу. Достаточно выделить отрезок выступа единичной длины и решать для него двумерную задачу. Силой тяжести можно пренебречь. Решение такой задачи будем искать в области между обтекаемым выступом и границей , достаточно удаленной от самого выступа для уменьшения погрешности, вызванной ограниченностью расчетной области L.

Согласно п. 7.11.2 разобьем расчетную область на прямоугольные ячейки с линейными размерами и . Взяв по оси абсцисс , а по оси ординат ячеек, получим, что линейные размеры расчетной области равны . Стороны ячейки образованы линиями

, . (7.11.5)

В качестве характерных внутренних точек объемов, к которым будем относить переменные поля, выберем на плоскости точки с координатами

, . (7.11.6)

Рис. 7.27. Расчетная область поля течения

- расчетная область; - граница расчетной области; - скорость набегающего потока; - расчетная ячейка с индексами и ; - граница между ячейками и ; - линейные размеры расчетной области; - линейные размеры обтекаемого тела; - расстояние от левой границы расчетной области до левого края выступа.

Через будем обозначать объем, содержащий точку .

Вычисление потоков соответствующих величин в (7.11.4) осуществляется через четыре участка внешней поверхности , которые обозначим соответственно через , так что разделяет ячейки и и т. д. с использованием квадратурной формулы прямоугольников с центральной узловой точкой. Координаты узла на границе , например, равны

. (7.11.7)

Такая квадратурная формула требует определения в узловых точках переменных поля и первых производных от составляющих вектора скорости и удельной внутренней энергии. Эти величины в дальнейшем будем обозначать с помощью полуцелых индексов, например: на .

В предлагаемом варианте метода потоков в основу вычислительного алгоритма положены нестационарные уравнения (7.11..3). Если в момент времени известны значения , где - шаг интегрирования по времени, то в момент эти величины с погрешностью могут быть вычислены следующим образом:

, , (7.11.8) .

7.11.3.2. Обтекание прямоугольного выступа эйлеровым газом

Будем искать решение задачи обтекания выступа эйлеровым газом при условии постоянства температуры в системе. Это позволит не вычислять поток внутренней энергии через границы ячейки, т. к. внутренняя энергия в таком случае постоянна. Таким образом, на каждом шаге расчета для каждой стороны ячейки необходимо вычислять плотность потока массы и две компоненты плотности потока импульса . Запишем выражения для плотности потока массы и импульса для эйлерова газа:

, . (7.11.9)

. (7.11.10)

Здесь Р – гидростатическое давление; – символ Кронекера. Следует заметить, что в литературе встречаются выражения (7.11.9), в которых перед давлением стоит знак (+). Такое различие связано с тем, что можно по разному понимать давление: как силу, действующую на сжатие (-), или как силу, действующую на растяжение (+) элементарного объема при выводе выражения для плотности потока импульса.

Необходимо записать конечно–разностные выражения для (7.11.9) и (7.11.10). Для примера запишем эти выражения для площадки . Они имеют тот же вид, что и (7.11.9) и (7.11.10), только параметры поля заменяются на вычисленные значения на границе между ячейками:

, (7.11.11)

, (7.11.12)

. (7.11.13)

Индексы означают, что соответствующие параметры вычисляются на границе между и . Теперь распишем формулы для вычисления каждого параметра из (7.11.11-13). Согласно соображениям, приведенным в п. 7.11.3.2, массовую плотность необходимо аппроксимировать по несимметричной формуле, учитывающей направление потока:

(7.11.14)

Скорости на границе ячейки вычисляются по симметричным формулам:

, . (7.11.15)

Давление можно получить из уравнения состояния идеального газа, записанного для конечно – разностных аналогов параметров газа:

, (7.11.16)

где - универсальная газовая постоянная; - температура системы; - молярная масса газа.

Следует заметить, что существует определенная неоднозначность выбора аппроксимаций для термодинамических параметров. Причем некоторые из этих аппроксимаций являются аналогичными с точки зрения точности. Предпочтительность каких-то конкретных вариантов необходимо определять опытным путем. Например, численные эксперименты показали, что с точки зрения устойчивости расчета в (7.11.16) для определения давления лучше использовать среднее арифметическое плотностей граничащих ячеек, а не плотность, вычисленную по формуле (7.11.14). Формулы (7.11.11-16) имеют второй порядок точности.

Аналогичным способом записываются выражения для оставшихся трех границ ячейки.

Необходимо остановиться на процедуре задания граничных условий. Граничные условия можно разделить на два типа:

1.  граничные условия на внешней границе;

2.  граничные условия на твердом теле.

Необходимость задания первого типа условий вызвана тем, что расчетная область ограничена. На внешней границе расчетной области должны быть заданы условия, не оказывающие существенного влияния на решение вблизи обтекаемого тела. Внешние границы расчетной области должны располагаться достаточно далеко от обтекаемого тела. Потому что граничные условия оказывают влияние на решение вблизи границы. Данное обстоятельство вызвано тем, что условия на внешней границе выбираются, исходя из параметров набегающего потока. Если же внешняя граница расположена близко к обтекаемому телу, то возмущения поля течения, вызванные наличием обтекаемого тела, не успевают затухнуть, и возникает большой перепад параметров у внешней границы, что нарушает картину течения и вносит дополнительную погрешность. Можно использовать различные варианты организации этих условий. Например, вводить слой приграничных ячеек и для обеспечения отсутствия скачкообразного изменения параметров вычислять их значение как среднее между условиями набегающего потока и ближайшей ячейкой внутри области, или аппроксимировать с различной точностью изменения параметров в соседних ячейках внутри области и экстраполировать их на приграничные ячейки. Как правило, наиболее удачным является выбор комбинации различных вариантов организации граничных условий. К примеру, с «наветренной» (см. рис. 7.) стороны выступа для приграничных ячеек можно использовать усреднение между соседними ячейками внутри области и условиями набегающего потока. С «подветренной» стороны можно экстраполировать на приграничные ячейки параметры ячеек, расположенных внутри расчетной области. Данный способ учитывает преимущественное направление возмущений потока. С «наветренной» стороны эти возмущения «сдуваются» струей набегающего потока (поэтому в граничных условиях для этой стороны и фигурируют условия набегающего потока), а с «подветренной» стороны возмущенный поток газа движется в сторону правой границы (поэтому проводится экстраполяция изнутри расчетной области). Несмотря на все вышесказанное можно использовать вариант для «наветренной» стороны и для всей области. Просто необходимо будет отодвинуть правую границу дальше от тела на такое расстояние, где «след», оставляемый телом, исчезает, и поток можно считать невозмущенным.

Второй тип условий отражает физическую модель взаимодействия газа с обтекаемым телом. Эти граничные условия делятся на два вида:

1.  условие непротекания,

2.  условие прилипания.

Условие непротекания означают, что газ не может попасть в твердое тело и накапливаться с течением времени на его поверхности, и выражается в равенстве нулю нормальной к поверхности тела компоненты скорости газа. Условие прилипания означают, что на границе с твердым телом газ полностью тормозится и имеет нулевую скорость. В этом случае вектор скорости газа на границе газ - твердое тело равен нулю. Условие прилипания бессмысленно формулировать для невязкого (эйлеровского) газа, т. к. в этом случае отсутствует механизм, который позволил бы другим слоям газа (не прилегающим к поверхности) «чувствовать» торможение около твердого тела. В методе потоков для обеспечения условий на границе с твердым телом необходимо задавать плотности потоков импульса.

7.11.3.3. Этапы вычислительного цикла

Расчетная программа содержит следующие этапы:

1.  Задаются начальные условия (как правило, в невозмущенный поток газа мгновенно помещается тело).

2.  Аппроксимируются параметры потока в приграничных ячейках (на свободной границе). Причем, с одной стороны, значения параметров внутри зоны известны, а, с другой, известны условия набегающего потока.

3.  Для каждой ячейки внутри расчетной зоны вычисляются плотности потоков через каждую площадку. Здесь следует учитывать условия на границе с телом, это осуществляется за счет задания потоков импульса (и энергии, в общем случае) через площадку, примыкающую к твердому телу.

4.  Для каждой ячейки, зная плотности потоков, умножая их на шаг по времени и на соответствующую площадь (в двумерном случае длину) и суммируя по всем границам, вычисляется изменение соответствующих количеств (массы, компонент импульса и т. д.).

5.  По известному изменению количеств за временной шаг, пересчитывается масса, импульс и, если необходимо, энергия газа в каждой ячейке.

6.  Пункты 2-5 повторяются до тех пор, пока по какому-либо критерию не будет принято решение, что расчет закончен.

Блок схема алгоритма расчета приведена на рис. 7.28.

При организации граничных условий газ – твердое тело необходимо модифицировать расчетные формулы (7.11.14). Это связано с тем, что при расчете плотности в приграничной ячейке в формуле (7.11.14) для этой ячейки могут использоваться плотности газа в ячейках, которые находятся внутри твердого тела, а для них плотность газа не определена. Поэтому, например, в случае ячейки, граничной с твердым телом, которое прилегает к стороне и в случае, если плотность на определяется по формуле:

. (7.11.17)

Кроме того, для организации условия непротекания необходимо задавать нулевые плотности потока импульса через границу газ – твердое тело.

Рис. 7.28. Блок-схема алгоритма программы расчета внешнего обтекания

7.11.4. Результаты расчета

В двух численных экспериментах использовались геометрические параметры расчетной зоны, приведенные в таблицt 7.1, а в таблице 7.1 – параметры газового потока гексафторида урана.

Таблица 7.1

Параметры расчетной области при обтекании прямоугольного выступа эйлеровым газом

№ эксперимента	, м	, м	, м	, м	, м	, м	, м
1	3	1,5	0,03	0,05	0,45	0,75	0,6
2	5	1,5	0,025	0,05	0,375	0,75	2,5

Таблица 4.2

Параметры газа при обтекании прямоугольного выступа эйлеровым газом

№ эксперимента	, Па	, м/с	, кг/м3	, К	, кг/моль
1	1333	1	0,188	300	0,352
2	1333	200 ( 2)	0,188	300	0,352

На рис. 7.29 приведено полученное в численном эксперименте № 1 поле скоростей, а на рис. 7.30 – поле давления. При обтекании выступа эйлеровым газом при заданных условиях образуется две зоны циркуляции: сверху над выступом и справа от выступа. На рис. 7.30 можно видеть, что в тех местах, где возникают зоны циркуляции потока (рис. 7.29), давление заметно уменьшается. И напротив, слева от выступа, где поток набегающего газа «упирается» в стенку, давление возрастает.

В увеличенном масштабе эти зоны вихревого движения изображены над выступом на рис. 7.31, а за выступом на рис.7.32. Как видно на рис. 7.31, в отсутствии сил вязкости вблизи твердой стенки над выступом поток гексафторида урана циркулирует в двух вихрях: по набегающему потоку в передней части по часовой стрелке и против направления набегающего потока в задней части против часовой стрелки, в которую наблюдается заброс среды из глобального вихря за выступом, как видно на рис. 7.31 и 7.32.

Рис. 7.29. Распределение скоростей индивидуальных частиц

в расчетной области (эксперимент № 1)

Рис.Распределение давления в расчетной области

(эксперимент № 1)

Рис. 7.31. Поле скоростей над верхней поверхностью выступа

(эксперимент № 1)

Рис. 7.32. Глобальный вихрь за выступом

При обтекании прямоугольного выступа сверхзвуковым потоком газа (эксперимент №2 в табл. 7.1, 7.2) образуется ударная волна перед выступом (рис 7.33 и 7.34). На рисунках видно, что перед пластинкой образуется ударная волна, давление в которой почти в 5 раз превышает давление в набегающем потоке, а за пластинкой образуется обширная разреженная зона, давление в которой в 1.5 раза меньше давления в набегающем потоке.

Рис. 7.33. Поле скоростей перед выступом (эксперимент № 2)

Рис. 7.34. Ударная волна в сверхзвуковом потоке идеального газа

при обтекании выступа (эксперимент № 2)

Таким образом, при обтекании выступа сверхзвуковым потоком идеального газа перед ним возникает ударная волна – скачок уплотнения плотности. Во фронтальной и кормовой областях поля течения возникает разность давлений, которая тем больше, чем выше скорость набегающего потока. Эта разность давлений является источником возрастания энтропии в сверхзвуковом потоке идеального газа.

ЛИТЕРАТУРА:

1.  Белоцерковский моделирование в механике сплошных сред.- М.: Наука, 1984.

2.  Марчук вычислительной математики.- М.: Наука, 1977.

3.  Самарский разностных схем.- М.: Наука, 1977.

4.  Бёрд Дж. Молекулярная газовая динамика.- М.: Мир, 1965.

5.  , Росляков методы газовой динамики.- М.: Высш. Шк., 1987.

6.  Бабаков моделирование некоторых задач аэрогидродинамики.-М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 56.