Механика сплошных сред (стр. 3 )

Здесь - нормальная к поверхности обтекаемого тела компонента скорости среды, - нормальная компонента скорости движения элемента поверхности тела (если поверхность неподвижна, то ). Для потенциального движения граничные условия можно записать в виде:

(7.5.5)

Величина должна быть задана как функция координат и времени, т. е.

Таким образом, потенциал в любой точке несжимаемой среды зависит от времени так же, как и потенциал на поверхности обтекаемого тела. Так, если при движении тела в идеальной несжимаемой среде создаваемое им движение является потенциальным, то в каждый момент времени потенциал во всех точках среды зависит лишь от скорости движения тела в тот же момент времени.

Физически это можно понять, если принять во внимание, что возмущение, а следовательно, и взаимодействие между различными частями несжимаемой среды распространяется с бесконечной скоростью. Поэтому изменение скорости в какой-либо точке на поверхности ведёт к мгновенному изменению скоростей во всех точках поля течения идеальной несжимаемой среды.

7.5.2. Функция тока для плоского движения идеальной среды

Движение среды называют плоским, если все характеристики движения зависят только от двух координат или плоское движение - это такое движение, при котором во всех плоскостях, параллельных координатной плоскости , его характеристики одинаковы.

Для описания плоского потенциального движения несжимаемой среды удобно ввести ещё одну функцию - функцию тока. Эту скалярную функцию определяют следующим образом:

(7.5.6)

Можно показать, что функция тока условию несжимаемости удовлетворяет автоматически по ее определению (7.5.6). Действительно, имеем

, .

Для плоского потенциального движения имеем:

, , , (7.5.7)

Таким образом, при плоском потенциальном движении несжимаемой среды, как потенциал скорости , так и функция тока должны удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. они являются гармоническими функциями. При непотенциальном движении функция тока должна удовлетворять уравнению, которое можно получить, подставляя (7.5.6) в уравнение Громека (7.1.10). Очевидно, что функция тока может быть введена только для плоского движения среды.

7.5.3. Свойства функции тока

Функция тока обладает рядом свойств, которые оправдывают её введение:

1. Линии тока - это линии, которые удовлетворяют уравнению .

Действительно, уравнение линии тока имеет вид:

, , , , .

2. Если на плоскости между двумя точками, лежащими на двух различных линиях тока, провести некоторую произвольную кривую, то поток среды через эту кривую будет определяться разностью значений функций тока для этих линий тока.

Действительно, расход жидкости Q через линию 1-2, а точнее через площадку единичной ширины в направлении оси z со стороной dl в плоскости (x,y) (рис.7.14), равен:

Далее, из рис 7.14 очевидны соотношения: Подставляя полученные соотношения в формулу для расхода Q и используя определение функции тока (7.5.6), получим:

(7.5.8)

3. Линии тока и линии равного потенциала взаимно ортогональны в каждой точке поля течения.

Направления нормальных единичных векторов к этим линиям определяются соотношениями:

Скалярное произведение этих единичных векторов равно:

Рис.7.14

Но согласно определения потенциала скорости j (7.5.1) и функции тока y (7.5.6) легко видеть, что и последнее соотношение равно нулю. Действительно:

(7.5.9)

Таким образом, линии семейства и линии семейства в точках пересечения взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом под прямым углом.

7.6. Некоторые методы решения газодинамических задач для идеальной жидкости

Для решения задач о движении идеальной жидкости разработаны специальные методы математического анализа. Рассмотрим применение некоторых из этих методов при решении конкретных задач.

7.6.1. Метод конформных отображений

В соответствии с определениями потенциала скорости j (7.5.1) и функции тока y (7.5.6) для плоского, потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости компоненты и скорости индивидуальной частицы равны:

(7.6.1)

Но соотношения (7.6.1) для функций j и y представляют собой известные условия Коши - Римана для комплексной функции вида

w = j + iy, w = w(z),

где комплексная функция w является аналитической функцией комплексного аргумента z = x + iy, т. е. функция w(z) в каждой точке комплексной плоскости имеет определенную производную

(7.6.2)

Функцию w(z) называют комплексным потенциалом, а производную - комплексной скоростью.

Таким образом, используя теорию функций комплексного переменного, имеется возможность иметь дело не с двумя функциями j и y от двух аргументов x и y, а лишь с одной комплексной функцией w от одного комплексного переменного z.

Кроме того, начиная с решения какой-либо тривиальной задачи, методами конформных отображений можно получить решение целого ряда более сложных задач, прямое решение которых часто бывает затруднительно.

7.6.2. Обтекание плоской пластинки идеальной несжимаемой жидкостью

Рассмотрим потенциальное ()обтекание неограниченно широкой плоской пластины однородным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Очевидно, что картина обтекания будет идентична во всех плоскостях, перпендикулярных пластинке. Поэтому достаточно рассмотреть движение жидкости в одной из плоскостей.

Рис.7.15

Пусть пластинка длиной (рис.7.15) расположена вдоль оси комплексной плоскости . Пусть далее скорость набегающего потока на пластинку вдали от нее постоянна, равна и направлена вдоль оси . Картина обтекания в данном случае очевидна. Действительно, т. к. идеальная жидкость может беспрепятственно скользить вдоль пластинки, то пластинка вообще не оказывает никакого

воздействия на поток, т. е. потенциальный плоскопараллельный набегающий поток останется таковым вблизи пластинки и после неё. Тогда линии тока () такого обтекания будут линиями, параллельными оси , а линии равного потенциала () - перпендикулярными к ней. Принимая во внимание вышесказанное, имеем:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, . (7.6.3)

Из первого равенства (7.6.3) имеем:

, . (7.6.4)

Из второго равенства (7.6.3) следует очевидный факт, что потенциал скорости , которая не зависит от , а функция тока , которая не зависит от . Поэтому эти функции не зависят ни от , ни от и несущественны, т. к. определяются лишь началом отсчёта и можно их положить равными нулю.

Составим комплексный потенциал :

, (7.6.5)

Здесь - комплексная переменная в плоскости .

Далее используем конформное отображение точек комплексной плоскости в точки комплексной плоскости с переменной в виде

(7.6.6)

Из (7.6.6) следует

Рассмотрим, как точки области плоскости преобразуется в точки плоскости . Пластинка в плоскости x1oy1 описывается уравнениями . Тогда предыдущее равенство принимает вид:

Таким образом, уравнение пластинки в плоскости xoy имеет вид:

. (7.6.7)

Это уравнение есть уравнение окружности радиуса . Причем, точки плоскости , имеющие или , как нетрудно показать, попадают вне круга.

Таким образом, если в комплексной плоскости имеет место обтекание пластинки шириной 4r0 однородным плоскопараллельным потоком среды, то в плоскости z при помощи конформного отображения (7.6.6) оно преобразуется в поперечное обтекание этим же потоком бесконечного цилиндра радиусом r0 Причем, общие свойства конформных отображений гарантируют, что в точках, удалённых на бесконечность, сохраняется направление линий j = const и y = const и их ортогональность в любой точке пересечения.

7.6.3. Обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью

Рассмотрим картину обтекания цилиндра в плоскости xoy (рис.7.16). Най-дём комплексный потенциал w в точке с радиус-вектором r в полярной системе координат ():

Умножая числитель и знаменатель дроби выражения в скобках на комплексно сопряженное число, получаем:

Из этого определения w следуют следующие формулы для и :

, . (7.6.8)

Из любого определения (7.6.8) для или можно теперь вычислить компоненты и скорости в точке :

, (7.6.9)

Рис.7.16

Пользуясь полученными выражениями (7.6.8), нетрудно построить линии тока () и линии равного потенциала - потенциальные линии (). Если ввести безразмерный модуль радиус-вектора и безразмерный расход , где есть расход жидкости вдали от обтекаемого цилиндра через площадку высотой и единичной длины, то второе уравнение (7.6.8) приводится к виду

Задавая величины , где m и n имеют целочисленные значения, и углы , возможно по известной квадратурной формуле вычислить значения и r , а затем построить линии тока. Аналогично строятся и линии равного потенциала. На рис 7.17 изображена примерная картина расположения линий тока и линий равного потенциала при обтекании цилиндра. В силу симметрии изображена лишь верхняя половина течения.

Рис. 7.17

Из (7.6.9) видно, что полученное решение удовлетворяет граничным условиям для идеальной жидкости: при Компоненты скорости и в любой точке поля течения вычисляются по формулам (7.6.9), а значение модуля скорости индивидуальной частицы может быть определено по формуле:

(7.6.10)

На поверхности цилиндра модуль скорости равен Очевидно, скорость имеет максимальное значение на поверхности цилиндра при углах При этом абсолютное значение максимальной скорости равно Из формулы (7.6.10) видно также, что в критических точках на поверхности цилиндра (q = 0, p) модуль скорости равен нулю.

Подбирая соответствующее конформное отображение , можно из простейшей задачи обтекания пластинки получить, например, обтекание эллипса, некоторого профиля крыла и других плоских тел, имеющих более сложную форму. В такой математической формализации и заключается эффективность применения теории функций комплексного переменного к решению задач о плоском, потенциальном движении идеальной жидкости.

7.6.4. Распределение давления на поверхности цилиндра.

Парадокс Даламбера

Вычислим силу, действующую на единицу длины цилиндра со стороны движущейся среды Для этого вычислим распределение давления по его по-

верхности. Воспользуемся уравнением Бернулли для какой-либо линии тока

. (7.6.11)

Для линии тока, идущей по поверхности цилиндра (r = r0), с учетом

(7квадрат скорости в любой точке на поверхности цилиндра равен

(7.6.11а)

Из (7.6.11) следует распределение давления в любой точке поля течения около цилиндра P(r) и на его поверхности цилиндра P(r = r0):

. (7.6.12)

Из формулы (7.6.12) видно, что давление максимально при углах q = 0 и p (см. рис.7.18), т. е. в критических точках А (180°) и В(0°) , и равно ( как это и следовало ожидать для точек полного торможения потока).

Давление P в точках С и D на поверхности цилиндра равно давлению в набегающем потоке при условии:

т. е. в точках С(150°) и D(30°) (см. рис.7.18). Если для наглядности

вдоль радиусов, проведённых из центра полукруга под различными углами q, отложить величину , принимая её положительной и направленной по нормали к внешней стороне поверхности на интервалах 0 <q < 300 и 150 <q < 1800, а на интервале 30 <q < 1500 - отрицательной и направленной по нормали к внутренней стороне поверхности, то получим эпюру распределения относительной разности давлений, изображенную на рис.7.18.

Таким образом, на участках АС и ВД единичные площадки на поверхности испытывают сжатие под действием сил давления, а на участке СД - растяжение, т. е. силы давления, действующие на поверхность цилиндра, стремятся

Рис.7.18

деформировать (растянуть) его вдоль оси, перпендикулярной набегающему потоку. Если бы для измерения скорости воспользоваться цилиндром вместо трубки Пито, то отверстие, которое должно воспринимать давление в набегающем потоке вдали от тела, должно быть сделано в одной из точек или .

Вычислим силу F , с которой поток идеальной среды действует на единицу длины цилиндра в направлении оси z, перпендикулярной скорости набегающего потока, или силу лобового сопротивления. Для этого достаточно просуммировать силы давления, действующие на элементы поверхности цилиндра. По определению (3.2.1) имеем:

Но для идеальной среды . Если ось i совпадает с осью x, то сила лобового сопротивления Fx равна:

(7.6.13)

Данный результат и составляет содержание парадокса Даламбера. Полученный вывод справедлив не только для цилиндра, но и для тела произвольной формы. При обтекании тел идеальной несжимаемой средой, если движение среды потенциально, сила лобового сопротивления равна нулю. Из симметрии движения очевидно, что и подъёмная сила также равна нулю,

(7.6.14)

Этот удивительный результат был предметом длительной дискуссии Даламбера и Эйлера. Даламбер говорил в 1744 г.: «Странный парадокс, объяснение которого предоставляю математикам». Слово «парадокс» (по-гречески неожиданный) в науке означает неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям. Объясняя этот парадокс, русский ученый Эйлер предполагал в 1755 г., что реальная жидкость не похожа на идеальную. Эйлер писал: «Если некоторые люди увлекутся и будут думать, что можно продвигать тела через жидкость, не встречая сопротивления, т. к. сила, с которой жидкость действует на переднюю часть тела, будет уничтожаться действием такой же силы на заднюю часть, что не имеет места при движении действительных жидкостей, то такой вывод будет неправилен». Уже в то время Эйлер отмечал влияние трения реальных жидкостей на происхождение сопротивления тел. Таким образом, парадокс Даламбера не должен иметь места при движении реальных, хотя бы и маловязких жидкостей.

В каких случаях идеальной жидкости парадокс Даламбера не имеет места?

1. В общем случае сила сопротивления может возникать при движении тела в идеальной среде с разрывом скоростей на некоторых поверхностях, отходящих от поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании цилиндра модель идеальной среды допускает существование за телом некоторой застойной зоны неподвижной среды, ограниченной линиями АВ и СD разрыва скорости (рис. 7.19).

Рис. 7. 19

Очевидно, что для существования застойной зоны идеальной среды давление в ней должно быть однородным и равным неизменному давлению вдоль линий разрыва АС на рисТогда давление в застойной зоне должно быть равно давлению на поверхности тела в точке возникновения разрыва А или С. Но, как следует из предыдущего параграфа давление в точке А или С меньше давления в любой точке передней

части обтекаемого тела. Поэтому сила, с которой среда действует на переднюю часть тела, больше, чем сила, действующая на его заднюю часть, т. е. возникает некоторая сила сопротивления. Этот прием, т. е. рассмотрение некоторых разрывных течений идеальной жидкости, используется при вычислении подъемной силы и силы сопротивления крыла самолета, а также в других задачах гидродинамики.

2. Парадокс Даламбера не имеет места при движениях тела в среде с образованием волны. Например, при движении частично погруженного тела на поверхности среды, находящейся в поле тяжести, образуются волны, которые являются источниками так называемого волнового сопротивления.

3. Парадокс Даламбера отсутствует и при движении тела со сверхзвуковыми скоростями в сжимаемой идеальной среде, когда в ней образуются ударные волны (см. раздел «Газовая динамика»).

7.7. Суперпозиция потенциальных потоков

7.7.1. Обтекание бесконечного цилиндра с циркуляцией

При потенциальном движении идеальной, несжимаемой среды потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа (7.5.7)

Уравнение Лапласа является линейным уравнением относительно потенциала скорости . Следовательно, сумма любых его решений также является его решением. Поэтому, суммируя известные простейшие решения уравнения Лапласа, можно получить решения, имеющие во многих случаях вполне реальный смысл и практическое значение. Очевидно:

(7.7.1)

Таким образом, скорость сложного движения определяется суммой векторов скоростей простых движений.

Наложим на потенциальное движение среды со скоростью при обтекании цилиндра плоский вихрь с интенсивностью (или циркуляцией) , вращающийся против часовой стрелки

(7.7.2)

Суммируя согласно (7.7.1) скорости простых движений, получим скорость сложного движения с компонентами, которые с учетом (7.6.9), (7.7.1) и (7.7.2) равны:

(7.7.3)

Для построения линий тока найдем положение критических точек на поверхности цилиндра при . В критических точках А и В на поверхности цилиндра (см. рис. 7.18). Следовательно, должны обращаться в нуль как , так и компоненты скорости . Радиальная компонента скорости на поверхности цилиндра в любой точке равна нулю. Касательная же компонента скорости равна нулю в точках, определяемых соотношением (7.7.3) для , т. е.

(7.7.4)

Возможны следующие случаи:

1. Если (обтекание цилиндра без циркуляции), то имеет место прежний результат (см. п. 7.6.4) и

2. Если , то критические точки А и В находятся на верхней половине поверхности цилиндра, т. к. лежит в пределах

3. Если , то обе точки сливаются в одну при .

4. При не существует при , и критических точек на поверхности цилиндра не существует; они могут быть расположены только в поле течения среды..

Картина линий тока для этих случаев представлена на рис. 7.20а, б, в, г.

7.7.2. Распределение давления. Подъемная сила

Вычислим результирующие силы, действующие со стороны среды на единицу длины поверхности цилиндра при обтекании его потоком идеальной среды с циркуляцией. Для этого найдём распределение давления по поверхности цилиндра в соответствии с первым уравнением (7.6.12), имея ввиду, что при r = r0 и :