Механика сплошных сред (стр. 4 )

Подставляя в (7.6.19) скорость на поверхности цилиндра (7.6.17), получим:

(7.7.6)

Силу сопротивления и подъёмную силу возможно вычислить согласно (7.6.13) и (7.6.14):

(7.7.7)

После подстановки (7.7.6) в (7.7.7) и интегрировании по углу в пределах от до следует:

(7.7.8)

Как и прежде, для силы лобового сопротивления имеет место парадокс Даламбера, т. е. . Однако циркуляция стимулирует возникновение подъёмной силы, которая направлена в сторону, противоположную направлению оси y (рис. 7.20), и равна

(7.7.9)

7.7.3. Эффект Магнуса

При , как и в предыдущей задаче, подъёмная сила исчезает. Возникновение подъемной силы при обтекании цилиндра с циркуляцией называют эффектом Магнуса. Эффект Магнуса является частным случаем общей теоремы известного русского гидродинамика о подъёмной силе крыла. Согласно теореме Жуковского для вычисления подъёмной силы крыла при обтекании его реальной средой необходимо вычислить лишь циркуляцию скорости вокруг крыла. Жуковским, а затем его учеником академиком были разработаны специальные методы вычисления такой циркуляции при разрывных течениях среды около крыла.

Происхождение подъёмной силы при обтекании цилиндра с циркуляцией легко понять, если обратиться к уравнению Бернулли (7.6.11). Как видно на

рис 7.20, в верхней части поля течения скорость обтекания цилиндра плоским потоком и циркуляционная скорость (например, при θ = π/2) вычитаются, а в нижней (при θ = 3π/2) - складываются. Поэтому результирующая скорость суммарного движения в верхней половине цилиндра оказывается меньше, чем в нижней. Из уравнения же Бернулли следует, что действующее на верхнюю половину цилиндра давление, больше, чем на нижнюю. В результате (см. 7.7.8) возникает результирующая подъемная сила, направленная вниз (рис. 7.20).

Жуковским было предложено простое правило определения направления действия главного вектора сил давления на поверхность цилиндра:

- поместить вектор скорости набегающего потока при обращенном движении в центр неподвижного цилиндра, повернуть его на 900 в сторону, противоположную скорости циркуляционного движения; это и даст направление главного вектора F.

Приведём несколько примеров, демонстрирующих эффект Магнуса. Если легкий бумажный цилиндр скатывается с наклонной поверхности стола (рис.7.21а), то его вращение при падении со стола существенно изменяет траекторию движения. Если без вращения его траектория описывалась бы кривой 1, то вращение делает траекторию более крутой. Действительно, при движении цилиндра по наклонной плоскости после отрыва вблизи поверхности цилиндра за счёт сил вязкости реального газа образуется вращающийся по часовой стрелке приповерхностный слой, в котором индивидуальные частицы участвуют в сложном поступательно-вращательном движении. Это сложное движение в соответствии с законом суперпозиции может быть представлено в виде суммы двух простейших движений идеального газа: плоского поступательного и вращательного с постоянной циркуляцией. Поэтому в верхнем полупространстве над цилиндром скорости двух движений вычитаются и согласно уравнению Бернулли здесь давление больше, а в нижнем - складываются и давление меньше. В результате возникает результирующая подъёмная сила, которая в соответствии с правилом Жуковского делает траекторию цилиндра более крутой.

а) б) в)

Рис. 7.21

Известно, что должным образом закрученные шарик пинг-понга, теннисный, волейбольный и футбольный мячи могут описывать довольно сложные траектории. Так, например, чтобы траектория шарика пинг-понга над столом была круче, то игроку при не сильной подаче необходимо закрутить его по часовой стрелке (рис. 7.21б). Возникающая в этом случае подъёмная сила «прогнёт» траекторию полёта вниз и шарик, достигнув апогея над сеткой на другой площадке, при падении вниз будет двигаться по более крутой траектории, чем без закрутки. При сильной подаче теннисного мяча профессионалом и закрутке его против часовой стрелки противнику кажется, что мяч ударится в сетку. Однако возникающая подъёмная сила «поднимет» мяч над сеткой и сделает траекторию более пологой с крутым падением его в конце площадки. Аналогичного эффекта добиваются и футболисты-профессионалы при подаче крученых штрафных мячей, огибающих стенку из футболистов-соперников перед воротами.

В 1924 г. английским ученым Флеттнером было сконструировано и построено роторное судно, использующее рассматриваемый эффект. На судне были установлены два легких, обтянутых парусиной цилиндра, которые приводились во вращение моторами. Диаметр цилиндров был 2.8 м, высота 18 м. Такое судно развивало скорость около 15 км/час. Причем естественно, что максимальная скорость развивалась при боковом ветре, когда «подъемная» сила направлена вдоль корпуса судна от кормы к носовой части. Однако это изобретение не получило своего дальнейшего развития в связи с быстрым строительством дизельных двигателей. Эффект Магнуса является также одной из причин отклонения траектории вращающегося снаряда из вертикальной плоскости, проходящей через ось ствола орудия (явление деривации).

Снова обратим внимание на то, что в идеальной среде, лишённой трения, нельзя, вращая цилиндр, создать в ней вращательное движение. Только благодаря вязкости реальной среды вращающийся цилиндр создает вокруг себя вращательное движение, которое вдали от тела можно считать потенциальным. Отвлекаясь от причин, создавших вращательное потенциальное движение, удаётся в рамках модели идеальной среды рассмотреть и объяснить многие явления, наблюдаемые в реальных средах.

Рассмотренный метод суперпозиции потенциальных потоков, как и метод конформных отображений, позволяет составлять из известных простейших движений идеальной среды такие движения, которые были бы близки по свойствам к движениям среды в реальных задачах, имеющих практическое значение.

7.8. Графоаналитический метод

7.8.1. Постановка задачи и сущность метода

Суперпозицию плоских потенциальных потоков можно осуществлять и графически. Представим себе, что на плоскости нанесены линии тока каких-либо двух плоских потоков (рис. 7.22). Можно в точках пересечения линий тока построить в одинаковом масштабе вектора скоростей движений среды в обоих потоках. Очевидно, скорость результирующего движения в этих точках изобразится диагональю параллелограмма, построенного на векторах, изображающих скорости отдельных движений. Причем такое построение будет тем точнее, чем чаще нанесены линии тока рассматриваемых потоков.

Рассмотрим вопрос о масштабах изображения слагаемых потоков. Для этого обратимся к рис. 7.23. В пределах малых участков линий тока их можно считать прямыми. Для того чтобы отрезки и изображали модули скоростей и в одинаковых масштабах, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Из подобия прямоугольных треугольников получаем:

(7.8.1.22)

Рис. 7.22

Рис. 7.23

Но произведение определяет расход среды между двумя соседними линиями тока ψ1 первого потока, а произведение расход среды между двумя соседними линиями тока ψ2 второго потока. Поэтому, для того чтобы масштабы изображений складываемых потоков были одинаковыми, необходимо, чтобы расходы среды между двумя соседними линиями тока в обоих движениях были равны, т. е.

(7.8.2.23)

Рис. 7.24

Рассмотрим в качестве примера суперпозицию двух потоков - прямолинейного поступательного потока и плоского источника. Очевидно, что в плоском источнике линии тока представлены радиусами, проведёнными из точки, в которой расположен источник (рис. 7.24). Эквипотенциальные линии () представляют собой окружности с центром в источнике. Если мощность источника равна , то,

принимая во внимание, что в таком движении скорость среды в любой точке направлена вдоль радиусов, проведённых из центра источника, скорость потока на расстоянии r от источника равна:

(7.8.3.24)

Будем предполагать, что оба потока изображены в одном масштабе, т. е. расход жидкости между двумя соседними линиями тока прямолинейного поступательного потока равен расходу жидкости между соседними линиями тока плоского источника (рис. 7.25).

Рассмотрим линию тока ОО1 прямолинейного поступательного потока, проходящую через центр плоского источника О. Так как скорость этого потока

Рис. 7.25

постоянна и равна , а скорость вдоль линии тока плоского источника возрастает неограниченно с приближением к его центру согласно (7.6.24), то на линии ОО1 всегда найдется точка А, в которой результирующая скорость равна нулю. Откладывая затем в точках пересечения линий тока двух потоков значения скоростей и , модуль которой вычислен согласно (7.6.24); для заданного угла по найденному графически или расчётному значению r можно по правилу параллелограмма вычислить скорость суммарного движения. Причем эти суммарные вектора скоростей являются касательными к линии тока ВА.

Линия АВ разграничивает среду, вытекающую из источника О, от набегающего потока. Так как при обтекании идеальной средой поверхность тела также является граничной линией тока, через которую среда не протекает, то можно линию АB отождествить с линией, которая описывает контур некоторой твердой поверхности, обтекаемой прямолинейным поступательным потоком. Вычисляя скорости отдельных движений в каждой точке пересечения линий тока двух потоков, можно найти в этих точках скорость результирующего движения. Воспользовавшись формулой Бернулли, можно вычислить давление в каждой точке потока, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, изображаемой на плоскости линией АB. Суммируя силы давления, действующие на элементы поверхности тела, можно найти результирующую силу, действующую на обтекаемое тело.

Таким образом, комбинация плоскопараллельного поступательного потока с источниками и стоками позволяет получить картину обтекания некоторого замкнутого контура, форма которого может быть довольно сложной в зависимости от интенсивности отдельных слагаемых движений. Добавление еще нескольких источников и стоков различной мощности позволит представить картину обтекания тела практически любой формы. Конечно, все операции сложения потенциальных потоков можно провести и аналитически. Однако во многих случаях графический метод может дать достаточно точный, а главное наглядный результат, необходимый для решения некоторой конкретной практической задачи.

7.9. Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде

7.9.1. Постановка задачи и методика решения

При решении задач о движении идеальной среды можно обратиться и непосредственно к уравнениям движения с соответствующими граничными условиями. В качестве примера рассмотрим движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой среде (рис. 7.26). Заметим, что такое движение можно рассматривать как плоское. Будем также полагать, что движение среды, вызываемое движением в

Рис. 7.26

нем цилиндра, является потенциальным. Существенное отличие поставленной задачи от задачи обтекания неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком заключается в том, что рассматриваемое движение не является стационарным в неподвижной системе координат. Действительно, по мере продвижения цилиндра в неподвижной среде скорость индивидуальной частицы в каждой фиксированной точке

пространства изменяется с течением времени. Вдали от цилиндра (на бесконечности0 будем полагать среду неподвижной. Несмотря на то, что задача является нестационарной, потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа, не содержащему времени явно, т. е. .

Так как на бесконечности , но , то производные по координатам должны на бесконечности обращаться в нуль. Известно, что такими производными для цилиндрических задач являются производные по координатам, начиная с первого порядка и выше, т. е. или . Так как есть скалярная функция, а есть вектор, то общее выражение для искомого потенциала скорости должно иметь вид:

(7.9.1)

Здесь вектор есть некоторый независящий от координат вектор, который может быть связан только с единственным, имеющимся в нашем распоряжении вектором, от которого может зависеть решение - вектором скорости движения цилиндра . Эта связь может быть установлена из граничных условий на поверхности цилиндра:

(7.9.2)

Поскольку , то из (7.9.1) следует

(7.9.3)

Используя (7.9.3), можно определить градиент потенциала скорости в виде

(7.9.4)

После подстановки (7.9.3) в (7.9.2) можно получить

(7.9.5)

Таким образом, потенциал скорости j определяется соотношением

(7.9.6)

Скорость движения индивидуальной частицы среды по определению равна

(7.9.7)

Из определения вектора скорости согласно (7.9.7) и рис.7.26 легко найти компоненты скорости и :

(7.9.8)

Данные значения компонент скоростей определены в системе координат, двигающейся со скоростью . В этой системе координат ни , ни и не зависят от времени t.

Таким образом, в каждый момент времени распределение скоростей вокруг двигающегося цилиндра удовлетворяет уравнениям (7.9.8). Поэтому с точки зрения наблюдателя, двигающегося вместе с цилиндром, картина движения среды около цилиндра стационарна.

Следует заметить, что из полученного решения можно получить обтекание неподвижного цилиндра, если на движение, описываемое формулами (7.6.32), наложить движение всей среды вместе с цилиндром с постоянной скоростью , направленной справа налево. Тогда будет иметь место обтекание неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком с направленной справа налево скоростью . Распределение скоростей такого движения описывается полученными выше формулами (7.6.9), если в них изменить знак скорости набегающего потока и заменить скорость скоростью u :

(7.9.8а)

7.9.2. Распределение давления около движущегося цилиндра

Найдем распределение давления на поверхности цилиндра. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли в форме (7.5.3), в котором для рассматриваемого нестационарного потенциального движения идеальной среды в отсутствии массовых сил баротропный потенциал равен Ф(P)=P/ρ:

(7.9.9)

Так как на бесконечности жидкость покоится, т. е. и , то давление P(r) в любой точке среды равно

(7.9.10)

Из (7.9.6) следует, что потенциал скорости в нестационарной постановке может явно или неявно зависеть от времени t , т.-е., если потенциал j и зависит от времени, то неявно через зависимость от времени скорости движения индивидуальной частицы, т. е. u = (r, t). Формула (7.9.8) описывает зависимость потенциала j и от координаты точки около цилиндра в тот же момент времени. Зависимость от времени очевидная, если характеризует точку в неподвижной системе координат. Но в такой нестационарной постановке задачи вся стационарная картина обтекания движется в неподвижной системе координат со скоростью , поэтому . Дифференцируя потенциал j по времени t как сложную функцию, получаем

(7.9.11)

Используя (7.9.6), можно получить слагаемые в правой части (7.9.11) в виде:

Таким образом, производная равна

(7.9.12)

На поверхности цилиндра () производная равна

(7.9.13)

Квадрат модуля скорости с использованием (7.9.8) равен

(7.9.14)

Подставляя полученные выражения (7.9.13, 14) в (7.9.10), получим следующую формулу для распределения давления по поверхности цилиндра:

(7.9.15)

Если движение цилиндра стационарное, т. е. , то из (7.9.15) следует:

(7.9.15а)

При давление на поверхности цилиндра в точках С и D равно давлению в набегающем потоке (сравни с рис.7.18). При давление является наибольшим и наименьшим соответственно:

. (7.9.15б)

Таким образом, в отличие от обтекания неподвижного цилиндра при движении цилиндра с постоянной скоростью u силы давления со стороны идеальной среды стремятся «сжать» его в направлении, перпендикулярном движению, и растянуть в направлении движения, т. е. среда как бы препятствует.

движению цилиндра.

7.9.3. Сила сопротивления движущегося шара. Присоединенная масса

Вычислим согласно (7.6.21) силу лобового сопротивления , которую испытывает единица длины цилиндра при своем нестационарном движении в среде со скоростью u = u(t) в направлении оси х по формуле

После подстановки (7.6.39) в данное определение , получим:

(7.9.16)

Остальные слагаемые обращаются в нуль в виду интегрирования по полному периоду изменения угла .

Направление силы сопротивления, как видно из формулы (7.9.16), зависит от знака производной . Если цилиндр двигается слева направо (рис. 7.26) с ускорением (), то сила сопротивления направлена справа налево, т. е. она отрицательная и препятствует ускорению движения. Если при движении в том же направлении цилиндр двигается с замедлением, то сила сопротивления действует в сторону движения цилиндра, т. е. она положительная и стремится ускорить его движение.

При равномерном движении цилиндра и имеет место парадокс Даламбера Fx.=0. Таким образом, парадокс Даламбера не имеет места и при движении цилиндра с ускорением или замедлением.

В силу симметрии движения относительно оси y очевидно, что подъемная сила Fy равна нулю. В этом нетрудно убедиться и аналитически.

Запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось , направленную вдоль скорости . Пусть на цилиндр единичной длины действует некоторая внешняя сила , вызывающая его движение в среде и направленная также вдоль выбранной оси. Если М есть масса единицы длины цилиндра, то с учётом (7.9.16) уравнение движения в соответствии со вторым законом Ньютона имеет вид (если через FH обозначить силу Ньютона):

(7.9.17)

Таким образом, уравнение движения (7.9.17) аналогично уравнению Ньютона в отсутствии силы сопротивления, но с массой тела, увеличенной на величину , которую называют присоединённой массой. Присоединенная масса зависит от формы тела, и для цилиндра единичной длины и шара она равна

(7.9.18)

В случае тела произвольной формы присоединённая масса является тензорной величиной и может быть вычислена для тела любой геометрической формы. Присоединённая масса является геометрической характеристикой формы тела, обтекаемого средой, определяется плотностью среды, в которой тело двигается, и зависит от его ориентации в набегающем потоке. Действие силы, связанной с присоединённой массой, аналогично действию силы инерции.

Если присоединенная масса значительно меньше массы тела, то ею можно пренебречь и рассматривать обычное уравнение движения, как, например, в случае движения тяжелых тел в воздухе, плотность которого при атмосферном давлении на три и даже четыре порядка меньше, чем плотность твёрдого тела. Однако в некоторых случаях это не так, и в уравнениях движения следует учитывать присоединённую массу (например, движение подводной лодки, масса которой по порядку величины сравнима с присоединённой массой, или движение воздушных шаров и дирижаблей).

В качестве примера рассмотрим движение воздушного шара, наполненного газом. Пусть масса воздушного шара вместе с находящимся в нем газом, оболочкой и гондолой равна М1, а масса вытесненного им воздуха равна М0. На шар действуют выталкивающая архимедова сила FA и сила тяжести FT. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Тогда уравнение движения имеет вид:

(7.9.19)

Уравнение движения в форме (7.9.19) получено для случая движения шара под действием силы ΔF с переменной скоростью . С увеличением скорости увеличивается и сила сопротивления воздуха, которая затормаживает движение шара, уменьшая его скорость. Через некоторое время эта сила сопротивления уравновесит разгоняющую шар силу , и он будет двигаться с постоянной скоростью . Но если скорость u изменяется со временем, то в правой части (7.9.19) необходимо учесть присоединённую массу шара. В этом случае уравнение движения шара имеет вид:

(7.9.20)

Из сравнения (7.9.19) и (7.9.20) получаем:

(7.9.21)

Если , то из (7.9.21) следует, что с учётом присоединённой массы ускорение воздушного шара в 3/2 раза меньше, чем без ее учёта. Поэтому на практике воздушный шар сразу после отрыва вначале «как бы нехотя» начинает движение, постепенно ускоряясь до некоторой постоянной скорости, соответствующей равенству силы сопротивления воздуха и разности силы архимедовой и силы тяжести шара.

На практике проявление эффекта присоединённой массы можно наблюдать на таких примерах. Так, капитаны подводных лодок, надводных кораблей и судов для предотвращения столкновения с причалом должны учитывать эффект присоединённой массы при расчёте расстояния до причала, на котором необходимо сбавить обороты судовых двигателей до минимальных (нулевых). При торможении судна на него действует гидродинамическая сила, препятствующая торможению и стремящаяся двигать судно в прежнем направлении.

Даже при движении тяжёлых тел в воздухе в некоторых случаях необходимо учитывать эффект присоединённой массы. Можно показать, что часы со сферическим маятником при движении в воздухе будут отставать в сутки на несколько секунд, если не учитывать присоединённую массу.

7.10. Численные методы в механике сплошных идеальных сред

7.10.1. Введение

Начиная с середины 20-го века, интенсивно развиваются методы приближенного численного решения уравнений газовой динамики. Именно эти методы и составляют теперь наряду с физическим экспериментом, главные инструменты исследования задач механики жидкости и газа[1] .

Чтобы понять причины быстрого распространения вычислительных методов в рассматриваемой области механики, достаточно обратить внимание на особенности основных уравнений движения сплошных текучих сред. Характерными чертами большинства практически интересных задач являются многомерность и нелинейность, из-за чего возможность их аналитического решения становиться, по существу, нереальной. Даже в случае линейных задач возникают затруднения, если расчетная область имеет достаточно сложную форму. К этому стоит добавить, что в решении могут встречаться особые точки, а сами уравнения менять свой тип (например, когда число Маха становиться равным единице). Поэтому вполне естественно, что общие идеи, относящиеся к отысканию приближенных численных решений уравнений, сразу нашли в задачах гидрогазодинамики самую благодатную почву.

Численные методы широко используются для решения обыкновенных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, к которым сводятся отдельные задачи механики жидкости и газа [2]. Однако самый значительный вклад в гидрогазодинамику связан с применением численных методов к непосредственному интегрированию уравнений в частных производных, описывающих движение, тепломассообмен и более сложные физические явления в жидкостях и газах. В ряде случаев численное моделирование становиться основным способом исследования задач (движение тел с космическими скоростями, в агрессивных средах, и т. п.).

Развитие численных методов не обесценило традиционные аналитические подходы, но несколько изменило их роль. Так, асимптотические методы, будучи средством исследования предельных режимов течений, дают информацию о порядках величин искомых функций, масштабах их изменения в тех или иных частях расчетных областей, необходимую для того, чтобы постановка задач численного моделирования учитывала особенности изучаемого явления. Аналитические решения, обычно относящиеся к упрощенным частным случаям, имеют значительную ценность как «эталоны» для оценки свойств разностных схем и точности численных решений.

Естественно, что в развитии численных методов возник ряд собственных проблем. Среди центральных находится вопрос об адекватности численных результатов решению исходной задачи. Ниже проводится краткий обзор численных методов, применяемых в газовой динамике [1]. Излагаются основные принципы численных методов, рассматривается применение нестационарного метода потоков к описанию обтекания прямоугольного выступа идеальной средой.