Организация подготовки обучающихся к сдаче единого государственного экзамена по математике

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА «ГОРОД СТАРЫЙ ОСКОЛ И

СТАРООСКОЛЬСКИЙ РАЙОН» БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР»

организация подготовки обучающихся

к сдаче единого государственного экзамена

по математике

,

учитель математики

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразова­тельная школа № 33 с углубленным изучением отдельных предметов»

Старый Оскол - 2010

Школьные выпускные экзамены – первая по-настоящему серьезная проверка эффективности той работы, которой ученик занимался 11 лет школьной жизни.

Известно, что вступительные экзамены в вузы имеют значительные различия в содержании проверяемого учебного материала. Это естественно, потому что в разных вузах в процессе обучения требуется разный объем знаний, например, по математике. Эксперимент по проведению ЕГЭ проводится для того, чтобы уравнять шансы всех абитуриентов при поступлении в любой вуз.

Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим. И все это время не утихают споры о значимости ЕГЭ для системы образования в целом.

Общепризнанными можно считать следующие доводы, в пользу единого экзамена:

1)  обеспечение объективных оценок образовательных достижений учащихся, не зависящих от личностных взаимоотношений с педагогами;

2)  создание равных условий для различных категорий выпускников образовательных учреждений для продолжения образования;

3)  достаточная открытость контрольно-измерительных материалов и наличие у каждого выпускника реальной возможности качественной подготовки к итоговой аттестации и вступительному экзамену в вузы;

4)  высокая степень прозрачности зачисления в высшие учебные заведения по итогам единого экзамена и широкий выбор образовательного учреждения для продолжения обучения в случае успешной сдачи ЕГЭ.

Все эти доводы подтверждают закономерность введения единого государственного экзамена.

Опыт проведения ЕГЭ говорит о том, что предварительное знакомство школьников со структурой ЕГЭ, содержанием и требованиями, которые предъявляются к оформлению решений и ответов, очень помогает при выполнении самого экзамена.

Трудность вступительных экзаменов в вузы для подавляющего большинства абитуриентов состоит в следующем:

1.  Программа 10-11 классов очень сильно отличается от программы вступительных экзаменов: в школе в течение двух последних лет изучают элементы математического анализа, которые школьники очень плохо осваивают, а этот материал не входит в программу вступительных экзаменов. Материал изучается при полном отсутствии понятия предела. Поэтому школьник вынужден зазубривать все о производных, касательных, экстремумах, интегралах и т. д. Учителя вынуждены много времени уделять технике дифференцирования. В связи с этим на освоение тригонометрии, показательных и логарифмических функций остается очень мало. Задач на эти темы решается недостаточно, а уж повышенной сложности тем более. Поэтому школьники, собирающиеся поступать в вузы, начинают игнорировать элементы математического анализа и серьезно берутся за алгебру и геометрию.

2.  К этому времени совершенно забыта планиметрия.

3.  В школе дети редко встречаются с задачами с параметрами.

4.  Корни уравнения чаще всего являются рациональными числами. Увидев на вступительном экзамене, что sin х = , школьник забывает сравнивать полученные числа с 1.

При подготовке к ЕГЭ у выпускника появляются новые трудности. Главное отличие ЕГЭ от выпускного экзамена по математике состоит в том, что при подготовке к сдаче ЕГЭ придется, как к вступительному экзамену в вуз, повторить весь материал, изучаемый в течение 7-11 классов.

На ЕГЭ выпускнику предлагается сразу 26 задач на 4 часа. При этом школьнику предлагается самому выбирать задания, с которыми он может справиться. А это уже очень трудная задача для учащегося, который привык стараться справиться с тем, что задано учителем.

После просмотра заданий ЕГЭ возникают вопросы.

Вопрос. Может ли успевающий в школе учащийся получить «3» или даже «2»?

Ответ. Да. Ведь при решении задач части А ученик может получить верный ответ, но, по невнимательности или из-за волнения, долго искать нужный ответ, теряя при этом время, или просто случайно отметить не тот вариант, который он имел в виду. При решении задач части В по тем же причинам можно в бланке ответов записать не тот ответ при абсолютно верно решенном задании.

Вопрос. Помогает ли наличие вариантов ответов в части А при решении задач этой серии?

На этот вопрос однозначного ответа нет. Потому что если задача, по мнению ученика, решена, верно, и найден ответ среди предложенных, то с хорошим настроением можно продолжать работать. Это, несмотря на то, что 100% уверенности, что ваш ответ верен, нет, так как ответы подобраны с учетом типичных ошибок, допускаемых школьниками при решении данного задания (может быть именно эта ошибка и допущена). Если же, наоборот, выбранного ответа нет среди предложенных или ваш ответ встречается в нескольких пунктах, то ученик должен знать, что надо собраться и делать задачу заново.

Вопрос. Стоит ли заглядывать в задачи части С, не справившись с задачами части В?

Ответ. Непременно. Среди задач части В могут быть более трудные задачи (например, планиметрия, стереометрия, задачи с параметрами, нестандартные уравнения…), чем некоторые задачи части С.

Вопрос. Есть ли особенности при решении задач части В?

Ответ. Да, конечно. Во-первых, в них нет никаких ответов. Во-вторых, при правильном решении нельзя ошибиться в вычислениях или просто сделать описку при решении, так как никто вашего решения не увидит, а вычислительная ошибка сводит на нет все ваши усилия – задача не засчитывается.

Вопрос. Чем отличаются задачи части С от задач части В?

Ответ. Во-первых, эти задачи могут быть несколько сложнее, чем в серии В. Но главное – их надо оформить так, как оформляем «медальные» работы.

Вопрос. Как получить хорошую отметку?

Ответ. Во-первых, к ЕГЭ надо готовиться по предмету, во-вторых, психологически. Это связано с тем, что задания ЕГЭ сформированы в непривычной для учащихся форме и, кроме того, большинство школьников должно смириться с тем, что все задачи они не решат в отведенное время. Сконцентрироваться нужно на наиболее понятных для школьника задачах, решать их спокойно и до конца, независимо от того, в какой серии они находятся.

Учитывая вышеизложенное, учителю и предстоит оказать помощь выпускникам в подготовке к сдаче ЕГЭ.

Основная подготовка к ЕГЭ должна осуществляться на уроках математики. При этом нет необходимости как-то кардинально менять систему преподавания. Нужно добиваться от школьников не формального усвоения программного материала, а его глубокого осознанного понимания.

В процессе преподавания необходимо делать определенные акценты на те разделы, которые представлены в текстах ЕГЭ. Экзамен в форме ЕГЭ предусматривает 4 астрономических часа на выполнение 26 заданий. Это означает, что развитие скорости устных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач «в уме» является важным моментом подготовки ученика к ЕГЭ. Основной характеристикой методики преподавания специальных занятий по подготовке к ЕГЭ является активизирующее воздействие на обучаемых – систематическое убеждение их в том, что лишь при наличии активной позиции по отношению к данному предмету можно рассчитывать на какой-то успех.

Следует учить школьника технике сдачи теста, которая включает следующие моменты:

а) обучение постоянному жесткому самоконтролю времени;

б) обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и соответственно разумному выбору этих заданий;

в) обучение прикидки границ результатов и минимальной подстановке как приему проверки, проводимой сразу после решения задания;

г) обучение приемам «спирального движения» по тексту.

Последний из перечисленных приемов находится в полном несоответствии с действующей методикой обучения школьников математике. Он состоит в следующем: ученик сразу просматривает текст от начала и до конца и отмечает для себя то, что кажется ему простым, понятным и легким. Именно эти задания школьник выполняет первыми. Ученику можно порекомендовать начинать с того, что он может сделать сходу, без особых раздумий. Затем просмотреть задания раздела В и выбрать среди них наиболее простые. К ним следует перейти после того, как он справиться с разделом А и т. д.

Ученик может сделать так несколько раз (двигаясь по спирали и выбирая то, что «созрело» к данному моменту).

Что касается пункта В, учащиеся обычно сами достаточно хорошо знают, где у них особо слабые места. Этих слабых мест следует избегать при выполнении теста. Многие, например, боятся логарифмов, поскольку эта тема во многих случаях изучается только в 11 классе, и учитель зачастую старается дать эту тему более сжато, а значит, плохо ее закрепляет. Но логарифмы – одна из любимых тем составителей ЕГЭ и если их опустить, то нужно решать все, что связано с тригонометрией, иначе шансов набрать хороший балл нет. А тригонометрия объективно труднее для многих школьников со всех точек зрения.

Необходимо убедить школьников, что логарифмические и показательные уравнения (или неравенства) решать легче, чем выполнять задание по тригонометрии. При этом нужно сравнить количество формул, которые необходимо знать, чтобы ориентироваться в каждом из этих разделов. Естественно, в тригонометрии их намного больше, кроме того, для решения логарифмических или показательных уравнений (или неравенств) необходимо освоить небольшое количество типовых приемов (4-5), которые универсально работают на заданиях любой сложности. А в тригонометрии нужно каждый раз искать новый оригинальный подход, особенно если не знаешь наизусть всех формул и следствий из них. Это не значит, что не следует заниматься тригонометрией, просто более слабым школьникам выгоднее сосредоточиться на логарифмах и показательных уравнениях, чем пытаться перед самым ЕГЭ «одолеть» тригонометрию.

Понятно, что этот совет в корне противоречит всем нашим методическим установкам – учитель всегда ориентирован на то, чтобы заниматься более всего ликвидацией пробелов в знаниях школьника. Наша цель: подготовить его так, чтобы он самостоятельно сумел набрать максимально возможное количество баллов. А в этом случае всем известное изречение «Лучше меньше, но лучше» оказывается несправедливым.

Составной частью дидактико-методического комплекса, направленного на устранение типичных ошибок, должны являться тестовые формы обучения, контроля и самоконтроля выпускников – одна из важных активных форм повторения в период окончательной систематизации школьного курса элементарной математики. Они позволяют за короткое время охватить большое количество разделов программы и широкий круг обучаемых, выявить и устранить их типичные ошибки, являющиеся, как правило, признаком формального усвоения тех или иных пунктов программы. Эти типы контроля выполняют и адаптационную функцию для школьников. Современные аттестационные технологии активно используют тесты, тестовые задания, которые требуют полного и мобильного владения всем школьным материалом. Подготовка к их выполнению должна содержать специально разработанные приемы для развития изобретательности, повышения скорости выполнения работы, умения мгновенно переключаться на различные типы заданий, повышение психологической устойчивости выпускника. Разумеется, тесты используются в сочетании с другими способами повторения курса и подготовки к экзаменам и не могут их заменить, их роль – прежде всего в обеспечении стандартной составляющей математического «багажа» выпускников.

Как показывает опыт, наибольшую эффективность эти формы дают при выявлении и искоренении типичных ошибок обучаемых. Выделим несколько основных таких форм.

I.  Система утверждений, которая служит для определения основных понятий, фактов, теорем программы по математике.

Выпускник за определенное время (10-15 минут на 20-25 задач), не пользуясь справочниками, определяет истинность или ложность заданных утверждений, составляя таблицу из «+» и «-» соответственно. Учитель по истечении указанного времени приводит правильные ответы, кратко их комментируя, а испытуемые фиксируют правильность ответов, обращая внимание на свои ошибки. Результаты тестирования могут сигнализировать выпускнику о пробелах в знаниях, о формальном усвоении формул и теорем, иногда о неумении оперативно распоряжаться известной информацией. Эта форма может использоваться как для контроля, так и для самоконтроля с помощью компьютерных программ. Она допускает обобщения и усложнения как в сторону закрытых тестов (с выбором одного, а лучше – комбинации правильных ответов, например, «число () () а) рациональное; б) иррациональное; в) положительное; г) отрицательное; д) равно 0»), так и открытых (например, «выписать в ответ продолжение теоремы синусов для ∆ АВС: а также наибольшую из его сторон»).

Следующие два теста предлагаются для самопроверки выпускников с целью определения уровня знаний основных понятий, фактов, теорем программы по математике, причем тест 1 – проще, чем тест 2. Тесты 1,2 считаются выполненными на оценку «удовлетворительно», если верно выполнено от 55% до 70% заданий, «хорошо» - от 71% до 85%, «отлично» - более 85%.

Тест 1

Поставьте знак «+», если утверждение верно, и знак «-», если оно не верно.

1. >0,12

2. log3 0,5 – число положительное.

3. sin2х – периодическая функция

4. Квадрат - частный случай ромба.

5. - тождество для всех действительных х.

6. В трапецию всегда можно вписать окружность.

7. 0,2х – всегда положительно

8. Если =1,2,3, = 2,4,7, то 2-=

9. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.

10. │tgx│≤1 для всех действительных х.

11. Область определения функции у= - пустое множество.

12. Объем цилиндра равен 2π RH, где R - радиус основания, Н – высота цилиндра.

13. (х2 + 3х - 12)/ = 2х +3

14. График функции у = 2 + 3х-1 – прямая

15. Цент описанной около произвольного треугольника окружности – точка пересечения его биссектрис.

16. cos 2х = 2 cos2 х – 1

17. Из того, что , следует, что х >

18. Функция у = log5х2 определена при х≠0.

% от числа 25 равны 62,5.

20. Функция у = log2 (1-х) – возрастающая функция.

Тест 2

Поставьте знак «+», если утверждение верно, и знак «-», если оно не верно.

1.  Множество значений функции у = logх – все действительные числа.

2.  Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

3.  ()х >1 при х >0.

4.  log2 х2 = 2 log2 х – тождество для действительных чисел х ≠0.

5.  Функция у = - четная

6.  Функция у = │х │ определена только при х ≥ 0

7.  cos (1,3) не существует.

8.  У функции у = х2 нет обратной при х ≤ 0

9.  Число - иррациональное

10.  ctgх – убывающая функция для всех х ≠πn, n € Z

11.  а – b = при а>b>0.

12.  logsin

13.  Уравнение = 0 имеет решения х = πk, k € Z

14.

15. 2logх = х для всех действительных х.

16. Неравенство │х │ > 2 равносильно тому, что х >2 или х < -2

17. Прямые у = 2х – 1 и у = 4х – 2 – параллельны.

18. Вектор длины с одинаковыми координатами обязательно имеет вид .

19. tg х · сtg х = 1 для всех действительных х

20. Уравнение 17х = 0,25 решений не имеет.

21. В любой правильной треугольной пирамиде все ребра равны между собой.

22. Функция у = х3 имеет экстремум в точке х = 0, так как (х3)/ = 3х2 = 0 при х = 0

23. График функций у = х и у = совпадают

24. arcsin - положительное число

25. log7 8 > log8 7

II.  Система утверждений, обязательно содержащих неточности, логически неверные выводы, прямые ошибки. Выпускник, зная заранее ложность приведенных утверждений, должен их проанализировать, найти и исправить ошибки (за достаточное, но не избыточное время), а затем сравнить свои исправления с приведенными после теста ответами. Такого рода тесты всегда вызывают повышенный интерес школьников; преподаватель также принимает более активное участие в обсуждении аргументации обучаемых, чем в предыдущем случае. При составлении таких тестов обязательно используются типичные ошибки выпускников (например, «»; «log2 х2 = 2 log2 х = 1»; «log22 2х = log22 2 + log22 х»; log22 х2 = 2 log22 х»), а также фрагменты задач экзаменов прошлых лет. Таким образом, тесты этого типа, кроме контролирующей функции, носят также и обучающий характер. Весьма полезно также поручать создание таких тестов самим учащимся, разумеется, после того, как они получат и оценят некоторый собственный опыт по их выполнению.

Приведем тест 3 самопроверки выпускников, основанный на фрагментах ряда задач ЕГЭ прошлых лет, тренировочных вариантов, на ошибках, допущенных при их решении.

Тест 3

Найдите ошибки в следующих утверждениях и исправьте их.

Итак, почему неверно, что:

1.  Функция у = х sinх2 – четная функция, как произведение двух нечетных.

2.  Неравенство 25х4 9х2 эквивалентно неравенству 25 х2 ≥ 9, так как обе части неравенства можно сократить на положительную величину х2.

3.  arccos (-0,6) = arсcos 0,6, поскольку arсcos х, как и cos х – четная функция.

logх > sin2 не существует, так как функция sin х не определена при │х│ < 1 Уравнение 2 3х-1 (х2 + х - 2) = 7 (х2 + х - 2) эквивалентно уравнению 23х-1 = 7, которое не имеет решений, так как 7 не является степенью числа 2. Неравенство ≤ 4 равносильно неравенству х ≥ Функция у = х5 имеет экстремум в точке х = 0, так как производная этой функции у/ = 5х4, в этой точке равна 0. Если sin а = , то tg а = 10-lg5= -5 в силу основного логарифмического тождества. х2 – 4) dх = (х=–= 1 Уравнение касательной к графику функции у = х2 в точке х = 3 имеет вид у – 9 = 2х (х - 3) Координаты вектора , где А (2;3); В (-1;4) равны Уравнение (2-b)t = 25 (bимеет единственное решение t =- 25 (b+2) Уравнение lgху – 2 = lg эквивалентно уравнению

lgх + lgу – 2 = lgх - lgу, или lgу = 1

17.  Если АВС – тупой, то АС2 = АВ2 + ВС2 + 2 АВ · ВС · cos АВС, так как cos АВС – отрицательный.

18.  Неравенство log х>0 эквивалентно неравенству х > 1.

19.  Функция у = + х возрастает на всей оси, так как у ее производной у/ = х2 + 1 дискриминант меньше нуля для всех х, и поэтому она всегда положительна.

20.  Координаты вектора (2 + 5tgх; sin2х; -5tgх) образуют арифметическую прогрессию для всех таких х, при которых sin2 х =

21.  Уравнение биссектрисы второго координатного угла – прямая у = - х

22.  Выражение К (х) = (х - 1) равно 0 для всех х ≠1

23.  Решение неравенства 3≥ х2 – 10 – промежуток [-2;5]

24.  Решение неравенства - промежуток [-5;0)

25.  Единственное значение неизвестного х будет решением уравнения а·х2 – (3а + 2) · х +а = 0 при целом значении параметра а, равном – 2.

Сравните Ваши исправления с приведенными ответами. Наличие у Вас не менее 20 верных ответов говорит о неплохой подготовке к экзамену.

III.  Пример обучающего теста – кольца по выявлению и устранению типичных ошибок (в данном случае – ошибки типа «игнорирование области определения функции»). Он представляет собой последовательность (А) простых открытых тестов, связанных общей идеей. Выпускник, допустив ошибку при выполнении первых тестов кольца, как правило, самостоятельно не осознает это. При выполнении последующих тестов он находит ошибку и, возвращаясь, исправляет ее. Последнее задание (В), содержащее только первый и второй шаги из предыдущего кольца, еще раз подчеркивает и закрепляет основную идею теста кольца на более сложном примере.

А) «Упростить выражение А = » - «Построить график функции у = » - «Найти область определения функции у = » - «Решить уравнение =0» - «Указать множество значений функции у = ».

В) «Упростить выражение А = tgх · сtgх».

IV.  Диагностическое (стартовое) открытое задание в тестовой форме по выявлению типичных ошибок выпускников (с указаниями к некоторым из заданий), который проводится с целью определения базового уровня знаний учащихся. Очень полезно повторить этот или подобный ему усложненный тест непосредственно в период подготовки к экзамену. Примерный образец его – финальный тест по алгебре и началам анализа с задачами различного уровня – также приводится ниже. С дидактической точки зрения, финальный тест лучше всего использовать как итоговое домашнее задание с обязательным последующим разбором в классе: повторением основных идей и опорных сигналов курса, его «узких мест», наиболее часто используемых замен переменных, плохо усваиваемых фактов, заключительным анализом причин появления типичных ошибок. Он может содержать развивающие задачи повышенной сложности, что необходимо при подготовке к решению задач части «С».

Стартовое задание.

1.  Упростить: а) ; б) ; в)

2.  Построить графики функций: а) у = х – х2; б) у = , указать область определения, множество значений и промежутки убывания функций.

3.  Решить уравнения: а) 12х = ; б) х2 + 4·2-5 = 0,

в) lg2 х2 = 4, г) arcsin =а, а – параметр, д) ·cosх = 0

4.  Решить неравенства: а) ; б) х2 >0; в)

г) (х3 ); д) logх ≥ 1.

5. у = хln3х; у/ = ?

6. а) при каких х координаторы вектора =образуют геометрическую прогрессию; б) вектор перпендикулярен вектору ?

Указания

1.  б) в) Не забудьте о модуле

2.  б) График искомой функции – прямая с одной выколотой точкой

3.  а) В этом уравнении легко как потерять корни, так и приобрести посторонние. б) Заданное уравнение не равносильно уравнению х2 + 4х – 5=0. в) Не потеряйте все четыре решения этого уравнения, сделайте проверку. г) Не все решения уравнения sin х = 0 являются решениями исходного уравнения; не забудьте также и о случае равенства единице основания степени. г) Здесь надо учесть и область определения, и множество значений функции у = arcsin. д) Не все решения уравнения cosх = 0 попадают в область определения заданного уравнения.

4.  в) Нельзя возводить в квадрат обе части неравенства после перенесения тройки в правую часть; постарайтесь вообще обойтись без этого. г) д) Не забудьте об областях определения левых частей неравенств, о величине основания логарифма.

5.  Функции у = ln х, у = ln 3х имеют одинаковые производные.

6.  а, б) Применяя характеристическое свойство прогрессии, формулу скалярного произведения, не забудьте об области определения функций у = tgх, у = ctgх.

Финальный тест по алгебре и началам анализа

1.  Упростите: а) ; б) ; в) ; г) 2 logа, если logаb = m; д) tg(arcctg a); е) , 1800 <a<2700.

2.  Вычислите: а) ; б) sin2 3800 + sin2; в) 5·2;

г) sin 2a, если а = ; д) ; е) b9, если b6=3; b12=192 (b6, b9, b12 – члены некоторой геометрической прогрессии);

ж) arcsin2 (cos) – arccos2 (cos); период функции

у = sin

3.  Укажите области определения, множества значений, промежутки убывания заданных функций, постройте их графики: а) у = ;

б) у = sin2х; в) у = ; г) у=3

4.  Решите уравнения: а) 12х = ; б) = х; в) х2 + 4·2-5=0; г) sin2х = 2 cosх; д) cosх = 0; е) lg2 х2 = 4; ж) │х│=1; з) log(2х2 - х) = 1,5; к) arcsin = а, а – параметр.

5.  Решите неравенство: а) ; б) х2>0; в) г) (х2·)≤1; д) lg ·ln х≥0; е) ; ж) 2х≤();

з) 3 arccos2х + 5π arcos х - 2π2<0.

6.  Разные задачи: а) острый или тупой угол образуют радиус-вектора точек А (1;3), В (3;-2)? б) запишите уравнение прямой АВ; в) найдите у/, если у = х ln 3х; г) при каких х координаты вектора образуют геометрическую прогрессию? д) -вектор из предыдущего пункта); е) вычислите ; ж) укажите методы решения и «ловушки» в нижеследующих уравнениях и системах: (1) х2 + х + х; (2) 5х – 3х = 16;

(3) = 4х3 – 3х; (4) ; (5) sin +cosх = 2;

(6) ctg (π·sin3x)=0; (7)

(8) 6х2 + 7х =24.

Указания

1.  б) Если Вы думаете, что ответ 0, подставьте а = -1

1. в) Не забудьте об области определения упрощенного выражения; в связи с этим очень полезно решить задачу о нахождении множества значений функции у = , а также функции у =

2.  г, е) Не забудьте о модуле; ответ не однозначен.

4. з) Если Вы думаете, что это уравнение не имеет решений, снова вспомните о модуле, и Вы легко найдете единственное решение -1-

5. ж) Не забудьте о множестве значений функции у = arсcos х

6. е) Используйте геометрический смысл интеграла, и задача решится устно.

ж) (1) Осторожно вносите х под корень – аргумент может быть отрицательным;

(2) корень уравнения может быть просто угадан, для доказательства его единственности (что совершенно необходимо при таком методе решения) разделите обе части на положительную величину 3х, и воспользуйтесь монотонностью функций, стоящих в обеих частях равенства;

(3) подумайте о тригонометрической замене;

(4) дополните левую часть до полного квадрата;

(5) подумайте, какой тригонометрической системе равносильно это уравнение;

(6) это уравнение с некоторым целым параметром k, которого сначала не видно;

(7) первое уравнение системы следует решить как квадратное относительно х, считая у параметром;

(8) это уравнение однородное и решается оно, как всегда, приведением к квадратному (после соответствующей замены) путем деления обеих его частей, например, на х2.

Использование вышеперечисленных методов и приемов позволяет мне добиваться существенных результатов в подготовке обучающихся к сдаче Единого государственного экзамена по математике. Результаты в и учебных годах следующие:

Моя ученица Гусева Анжелика по итогам сдачи ЕГЭ по математике в учебном году получила 88 баллов.

В период с по учебный год 16 моих выпускников окончили школу с золотыми и серебряными медалями. В период с 2004 по 2007 годы 72 моих ученика поступили и успешно обучаются в высших учебных заведениях Москвы, Санкт-Петербурга, Белгорода, Воронежа и Старого Оскола.

Список литературы:

1.  Егерев, В. К., Зайцев, В. В., Кордемский, В. А.; под редакцией . Сборник задач по математике для поступающих в вузы. 6-е изд./ , , . – М.: -С. А.», АО «Столетие», 1999

2.  Лысенко, Ф. Ф., Калашников, В. Ю., Клово, А. Г., Давыдов, государственный экзамен. Математика. Учебно-тренировочные тесты-2003/ , , . – Ростов-на-Дону, Приазовский край, 2006

3.  Клово, А. Г., Калашников, В. Ю., Середа, для подготовки к единому государственному экзамену по математике/ , , . – М.: Федеральный центр тестирования, 2005