Вычислительная математика (Лабораторный практикум) (стр. 3 )

Для того чтобы определить, насколько далеко от данных лежит кривая , можно воспользоваться следующими нормами:

– максимальная ошибка,

– средняя ошибка,

– среднеквадратичная ошибка.

Пример. Сравним ошибки для линейного приближения функции по заданной таблице точек

x	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	10	9	7	5	4	3	0	-1

Решение:

Вычислим все три вида ошибок:

;

;

.

Итак, построенная наилучшим образом линия определяется минимизацией одной из заданных величин. В связи с тем, что третью норму легче минимизировать, выбирают её.

4.2.  Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется для решения следующих задач:

1.  Необходимо определить величины х1, х2,…, хN, которые нельзя определить непосредственно, но известно, что они линейно зависимы, а коэффициенты этой зависимости можно получить в результате измерений. Таким образом, мы имеем переопределенную систему линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы может быть получено решением задачи минимизации. Выполняя дифференцирование минимизируемой функции , приходим к линейной системе, которая будет иметь N уравнений и N неизвестных.

2.  Требуется дать приближенное аналитическое описание по таблично заданным данным. Из каких-либо соображений подбирается аппроксимирующая функция, а параметры этой функции подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений аппроксимирующей функции от заданных была минимальной.

4.2.1.  Линеаризация данных по методу наименьших квадратов.

Техника линеаризации данных применяется для подгонки кривых, позволяющих при преобразовании переменных получить линейную зависимость вида . В таблице приведены основные приемы линеаризации.

Таблица замены переменной для метода линеаризации данных

№ п/п	Функция	Линеаризованная форма	Замена переменных и констант
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Пусть заданы N точек с различными абсциссами {xk}. Величина среднеквадратичной ошибки будет минимальной, когда каждая частная производная по неизвестным (в данном случае неизвестные А и В) будет обращаться в нуль, т. е. А и В являются решением нормальной системы уравнений вида:

Решая систему нормальных уравнений находим искомые коэффициенты А и В.

Пример. Аппроксимировать таблично заданную функцию по пяти заданным точкам полиномом первой степени или построить линейную зависимость с помощью метода наименьших квадратов.

k	0	1	2	3	4
xk	0	1	2	3	4
yk	0	1	2	2	3.5

Решение.

1. Запишем нормальную систему для – полинома первой степени:

где N = 5 – количество точек.

2. Вычислим все необходимые суммы: N=5, , , , . Таким образом, подставляя числовые значения сумм в нормальную систему и решая ее, относительно неизвестных получаем, что А=0,8 и В=0,1.

3. Таким образом, .

4. Проверяем полученный полином. Для наглядности построим исходные данные и полученную зависимость на графике:

Замечание

Если данные не проявляют полиномиальной природы, то результат построения полинома методом наименьших квадратов будет сильно осциллировать, т. е. появится полиномиальное раскачивание. Оно наблюдается у полиномов высокой степени, поэтому полиномы выше пятой степени редко используются.

4.3.  Интерполирование сплайнами

4.3.1.  Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование

Иногда, интерполирование по всей совокупности точек бывает недостаточным. В этих случаях можно воспользоваться объединением фрагментов графиков полиномов низкой степени и интерполированием между последовательными узлами. Самый простой в использовании полином первой степени. Он создает ломаную, состоящую из отрезков, которые проходят через две точки. Чтобы представить эту кусочно-линейную кривую, используется полином Лагранжа

или формула угла наклона отрезка линии в точке

,

где – линейный сплайн на отрезке [xk+1, xk], yk – заданное значение функции, полученное экспериментально в заданных узлах. Аналогично можно построить кусочно-квадратичный полином.

Недостатком этого подхода является резкое изменение кривизны в общих узлах.

Пример. Для функции y=f(x), заданной таблично осуществить кусочно-линейное интерполирование и кусочно-квадратичное интерполирование.

x	0	0,5	1	2	3	4	5
f(x)	1,5	0	0	2	2	1	2

Решение: Осуществим кусочно-линейное интерполирование. Для этого разобьем данную функцию на элементарные промежутки, определяемые соседними числами верхней строки таблицы, и на каждом из участков строим прямую линию (полином первой степени), т. е.

Рис. 3.1. График полученного кусочно-линейного интерполирования

Осуществим кусочно-квадратичное интерполирование. Для этого будем рассматривать тройки известных точек отрезков [0;1], [1;3], [3;5]. На каждом из этих отрезках по известным точкам построим полином второй степени. В результате получим:

Рис.3.2. График полученного кусочно-квадратичного интерполирования

4.3.2.  Простейший подход к сглаживанию

Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций , чтобы для всех х в смысле минимума квадрата отклонений, т. е. . В результате решается задача нахождения коэффициентов ai, bi методом наименьших квадратов:

,

Второй этап состоит в пересчете данной таблицы для . Доопределим новую табличную функцию значениями и . В результате этого получаем новую табличную функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

4.3.3.  Кусочно – кубические сплайны

Определение. Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов Sk(x) с коэффициентами sk,0, sk,1, sk,2, sk,3, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. , для

и , т. е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.

2. Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек, т. е.

для .

3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны: , , .

Наиболее часто на практике используется кубический сплайн следующего вида: .

Для задания сплайна коэффициенты , , , – подбираются так, чтобы , а первая и вторая производные были непрерывными.

Леммы о сплайнах.

Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями , , т. е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках. Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями , , т. е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой. Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить по узлам х1, х2 и по узлам хN-1, хN-2. Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн, такой, что на интервале [x0, x1] и на интервале [xN-1, xN]. Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.

4.4.  Задачи

1. По таблице исходных данных рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной; б) степенной; в) показательной; г) равносторонней гиперболы

Вариант	Исходные данные	Вариант	Исходные данные
1	х	y	6	х	y
61,10 60,80 60,18 59,20 58,10 55,20 49,10	49,10 48,60 50,10 52,20 53,60 58,10 69,10	60,80 60,00 58,60 57,30 56,10 50,40 46,80	49,40 49,80 53,40 55,20 56,20 59,9 67,4
2	х	у	7	х	у
61,8 60,0 58,7 56,1 54,2 50,6 47,1	49,0 49,3 52,8 55,2 57,5 63,1 68,2	60,8 59,1 57,9 55,7 54,3 52,6 49,1	50,8 53,3 54,3 57,6 60,7 64,1 67,7

Вариант	Исходные данные	Вариант	Исходные данные
3	х	у	8	х	у
60,1 59,2 58,6 55,4 53,1 52,0 49,9	49,0 52,1 53,2 56,6 59,5 66,6 67,8	63,1 61,9 59,6 57,2 57,1 50,9 47,1	49,8 49,3 53,3 56,1 57,3 64,1 66,6
4	х	у	9	х	у
60,3 59,1 58,7 58,1 54,5 50,3 47,1	49,9 54,8 56,9 57,1 62,3 66,1 67,3	61,7 60,4 58,1 57,2 53,4 49,4 45,9	49,8 51,1 53,2 57,3 61,5 66,4 68,8
5	х	у	10	х	у
59,2 59,0 54,2 55,6 53,1 57,8 60,9	49,7 50,5 51,9 54,4 57,3 64,8 49,0	58,1 57,5 56,4 55,1 53,4 50,2 46,1	49,1 51,2 53,0 54,6 57,6 60,1 61,8

5.  Приближенные вычисления определенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла при помощи нескольких значений интегрируемой функции. Будем строить вычислительные правила следующего вида: