Вычислительная математика (Лабораторный практикум) (стр. 5 )

Собственный многочлен матрицы имеет вид:

, (28)

Корни многочлена (28) являются собственными значениями исходной матрицы А.

Если , а – собственный вектор матрицы , то собственный вектор матрицы А определяется соотношением , т. е. для определения компонент собственного вектора имеем:

(29)

Так как собственный вектор определяется с точностью до числового множителя, то можно считать, что . Таким образом решая систему (29) будем иметь:

(30)

6.2.  Метод Крылова

Суть метода заключается в построении алгебраического образа, по виду которого можно было бы сразу записать собственный многочлен вещественной матрицы А.

Возьмем произвольный вектор , согласованный по размерности с матрицей А, и по этому вектору будем составлять последовательность векторов , , … до тех пор пока не встретится такой вектор , т. е. вектор, являющийся линейной комбинацией предыдущих линейно независимых векторов.

Для определения номера m составляют максимально возможную линейную комбинацию, т. е. полагают m=n:

(31)

Здесь , при – координаты вектора , . В результате для определения имеем систему n-линейных алгебраических уравнений.

Для случая линейной независимости векторов , ¼, полученную систему решают методом Гаусса. В том случае, когда линейно независимы только m первых векторов, находят m коэффициентов системы .

Зная все значения коэффициентов можно записать собственный многочлен матрицы А: . Решив уравнение , найдем все собственные значения матрицы А.

В том случае, когда найдены только m коэффициентов системы, можно записать многочлен , который является делителем собственного многочлена матрицы А. Решив уравнение , найдем часть собственных значений матрицы А. Изменяя исходный вектор и проделав все вычисления заново, находим все оставшиеся собственные значения.

Собственный вектор , соответствующий собственному значению , ищется в виде линейной комбинации линейно-независимых векторов :

,

где коэффициенты ; , ¼, .

6.3.  Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы

Собственные значения такой матрицы вещественные и положительные, а собственные векторы выбираются таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности: , , , .

Система для определения собственного вектора , соответствующего собственному значению :

(32)

В связи с тем, что собственный вектор определяется с точностью до числового множителя, предположим, что одна из компонент собственного вектора равна 1, т. е. . В итоге получаем систему нелинейных алгебраических уравнений с n неизвестными , которую можно решать методом итерации:

(33)

Начальное приближение для системы (33) выбирается произвольно. Если метод итерации для системы (33) сходится, то для достаточно больших значений k можно приближенно положить , .

Для определения и воспользуемся двумя соотношениями: и условием ортогональности векторов и :

(34)

где .

Учитывая, что определяется с точностью до числового множителя, положим . Исключив из (34) уравнение для определения и получим систему из (n-1)-го нелинейного алгебраического уравнения для определения неизвестных . Задавая произвольно начальное приближения, и решая систему методом итерации, получим:

(35)

Для контроля правильности вычисления можно воспользоваться уравнением

.

Для определения и воспользуемся тремя соотношениями: и условиями ортогональности векторов и , а также векторов и . Далее процесс аналогичен процессу нахождения и и т. д.

Замечание: последующие собственные значения и векторы вычисляются с меньшей точностью, чем предыдущие.

6.4.  Задачи

I. Методом Данилевского найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Вариант	Исходная матрица	Вариант	Исходная матрица
1		2
3		4
5		6

Вариант	Исходная матрица	Вариант	Исходная матрица
7		8
9		10

II. Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы методом Крылова и методом, вычисляющим все собственные значения и векторы симметрической положительно определенной матрицы.

1.	2.	3.	4.	5.
6.	7.	8.	9.	10.

Библиографический список

1.   , , Кобельков методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 632 с.

2.   Мэтьюз, Финк. Численные методы. Использование MATHLAB, 3-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2001. – 720 с.

3.   Вержбицкий методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.

4.   Практикум по численным методам /Томск. гос. ун-та; Под ред. . Томск, 1979. – 212 с.

5.   , Марон вычислительной математики. – М., 1966. – 664 с.

6.   Марчук вычислительной математики. – М.: Наука, 1980. – 535 с.

7.   Турчак чмсленных методов. – М.: Наука, 1987.

8.   , Гулин методы. – М.: Наука, 1989.

9.   , , Методы вычислений. – М.: Наука, 1966. Т.1. – 632 с.

10. Калиткин методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

11. Мысовских по методам вычислений. – М.: Наука, 1982. – 342 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ.