Математика, 9 класс
, ДВГГУ,
, Математический лицей
Алгебраические уравнения и методы их решения
П.1 Многочлен и его корни
Рассмотрим набор из (n+1) действительных чисел 
, многочленом (полиномом) степени n с указанными выше коэффициентами называют выражение вида:
(1)
называют многочленом (полиномом) степени x.
Уравнение
(2)
называют алгебраическим уравнением степени n.
Корни уравнения (2) также называют корнями многочлена.
Приведем несколько фактов, относящихся к корням многочленов.
Факт 1. Любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
Замечание. Даже зная, что уравнение имеет корень, найти этот корень бывает весьма непросто.
Пример 1. Уравнение 
очевидно имеет корни 0 и p.
Пример 2. Установить корни уравнения 
, которые, безусловно, имеются, довольно сложная задача.
Факт 2. Если коэффициенты многочлена являются целыми числами, то рациональные корни этого уравнения (если они есть) имеют вид 
, где числа k и m – натуральные, причем k – делитель свободного члена 
, m – делитель главного коэффициента 
.
Пример 3. 
может иметь один из следующих корней:
(повторяющиеся числа сокращены).
Проверка показывает, что подходят числа 2, 
и 
.
Задача по отделению рациональных корней значительно упрощается, если старший коэффициент в многочлене равен единице. В этом случае возможные рациональные корни уравнения могут быть только целыми числами, на которые делится свободный член полинома.
Пример 4. У многочлена 
возможны следующие целые корни: 
. Проверяя возможные корни (это можно довольно быстро делать с помощью Схемы Горнера) убеждаемся, что единственный целый корень уравнения равен 2.
Факт 3. Если число 
- корень многочлена 
, то этот многочлен можно представить в виде произведения 
.
Найти многочлен 
можно, например, применяя метод деления «уголком», очень похожий на тот, который применяют к обычным числам.
Приведем пример.
Пример 5. Поделим на 
:
Получаем разложение 
. Заметим, что первый множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому он (и исходный полином) больше корней не имеет.
Факт 4. Любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:
, (3)
где число 
- кратность корня 
, 
- квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней (их называют неприводимыми).
Замечание. При решении уравнений и неравенств можно сокращать на неприводимые трехчлены.
П.2. Группировка как способ нахождения корней полинома
К сожалению, (и это доказано), не существует универсального алгоритма, позволяющего (на подобие квадратного трехчлена) находить корни любого полинома. Существуют специальные формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени, однако они трудоемки и в школьном курсе не изучаются. Поэтому часто используются другие методы, такие как отделение корней (рассмотрен в первом пункте), метод группировки и его частный случай – выделение полных квадратов.
Суть метода группировки в следующем: члены многочлена разбивают на группы (отсюда и название) так, что после приведения подобных каждая группа разложится на множители, причем один из множителей будет содержаться в каждой группе. Этот общий множитель выносится за скобки и исходный многочлен раскладывается в произведение двух многочленов более низкой степени.
Рассмотрим пример.
Пример 6. Разложить на множители методом группировки многочлен
.
Решение. Проведем группировку следующим образом:
(
представим в виде суммы 
, первое слагаемое включим в первую группу, второе слагаемое – в третью).
Далее, вынесем из каждой скобки общий множитель:
.
Вынося общий член 
, находим разложение:
.
Оба квадратных трехчлена имеют отрицательные дискриминанты, поэтому дальнейшее их разложение невозможно.
Пример 7. Разложить на множители полином:
.
Решение. Заметим, что отделение корней методом, описанным в предыдущем пункте, довольно проблематично – мы получим слишком много чисел, которые нужно проверять. Попробуем группировку. Интуиция подсказывает, что от 
нужно оделить часть, кратную 14: это, например, 70-1, 84-15, 98-29 или 42+27. Первый вариант приводит в тупик. Рассмотрим второй вариант. Получим:
.
Далее разложим трехчлен 
:
.
Таким образом,
.
П.3. Примеры решения простейших алгебраических уравнений
Многочлены являются простейшими алгебраическими уравнениями. В этом пункте мы рассмотрим некоторые примеры решения таких уравнений.
Пример 8. Найти корни уравнения
.
Решение. В этом уравнении коэффициенты – целые числа, главный коэффициент равен 1. Попробуем подобрать корни уравнения. Для начала разложим на множители свободный член: 
.
Начнем с самого маленького числа – тройки.
, следовательно, 
- один из корней уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим левую часть уравнения на 
:
Осталось найти корни квадратного уравнения 
. Применяя, например, формулы Виета, получаем два других корня: 
.
Ответ: 
.
Пример 9. Найти корни уравнения
.
Решение. Задачу можно свести к биквадратному уравнению, но мы попробуем использовать разложение на множители. Для этого к среднему слагаемому прибавим и отнимем 
:
.
Корни первого сомножителя: 
. Второй множитель корней не имеет.
Ответ: .
Далее рассмотрим пример уравнения, которое сводится к рациональному. Особенность таких уравнений – обязательное требование проверки найденных корней области допустимых значений. Например, на ЕГЭ несколько лет назад предлагалась «простая» задача.
Пример 10. Решить уравнение
.
Решение. Очевидно, что корнями первого множителя уравнения являются числа 3 и -3. Нетрудно найти корни второго множителя, это 2 и 5. Однако, если в правую часть подставить число 5, то в первом множителе под корнем будет стоять отрицательное число -16, при котором это выражение не имеет смысла. Поэтому окончательно оставляем корни -3, 2 и 3.
П. 4. Дробные алгебраические уравнения
Простейшее дробное алгебраическое выражение имеет вид:
, где 
и 
- многочлены.
Если два дробно-алгебраических уравнения сложить, умножить, вычесть или поделить, то снова получится дробно-алгебраическое выражение. Приравняв некоторое дробно-алгебраическое выражение (содержащее переменную) некоторому числу, получим общее алгебраическое уравнение.
В общем случае такие уравнения решают по следующему алгоритму: сначала все элементарные дробно-рациональные выражения, имеющиеся в уравнении, переносят в одну часть и приводят к общему знаменателю. В результате получается простейшее дробно-рациональное уравнение. Его корнями служат все числа, являющиеся корнями многочлена, стоящего в числителе, не являющиеся корнями многочлена, стоящего в знаменателе. Рассмотрим пример.
Пример 11. Решить уравнение
.
Решение: приведем дроби к общему знаменателю:
.
Приравняв числитель к нулю, находим корни:
.
Оба корня числителя не являются корнями знаменателя (убедитесь в этом, непосредственно подставив оба корня в знаменатель), поэтому они являются решениями рассмотренного уравнения.
Если дробно-рациональное уравнение содержит много элементарных выражений, то, после преобразований, в числителе может образоваться довольно громоздкое выражение, отыскание корней которого будет весьма затруднительным. Но в некоторых случаях бывает возможно свести сложное уравнение к более простому, используя, например, замену переменных. Рассмотрим пример.
Пример 12. Решить уравнение
.
Решение: заметим, что дробно-рациональные выражения 
являются взаимно-обратными (их произведение равно единице). Введем следующую замену: 
. Исходное уравнение примет вид:
.
Домножив это уравнение на 
, получим квадратное уравнение:
.
Его корнями являются числа 
. Выполним обратную замену. Получим и решим совокупность двух уравнений:
.
В некоторых случаях, чтобы увидеть взаимно-обратные выражения, требуется выполнить некоторые дополнительные преобразования. Рассмотрим еще один пример.
Пример 13. Решить уравнение
.
Решение: заметим, что знаменатель первого слагаемого равен числителю первого слагаемого. Далее, если к первому дробному выражению прибавить единицу и привести эту сумму к общему знаменателю, получим:
- выражение, обратное дробно-рациональному выражению, записанному во втором слагаемом исходного уравнения. Таким образом, исходное уравнение приводится к виду:
, или, 
.
Положим 
. Уравнение примет вид:
.
Оно сводится к квадратному уравнению 
. Корнями которого являются числа 2 и 3. Выполнив обратную замену, получим совокупность двух простых уравнений:
.
Уравнения этой совокупности сводятся к двум простейшим квадратным уравнениям: 
, корни которых 
.
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №2 для учащихся 10 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,10 кл., математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики )
М 10.2.1. Решите уравнение, разложив многочлен на множители:
а) 
,
б) 
,
в) 
.
М 10.2.2. Решите дробно-рациональное уравнение
а) 
. (Указание: перенесите первое слагаемое в правую часть и приведите выражения в обеих частях к общему знаменателю.)
б) 
. (Указание: перемножьте сначала первый множитель с четвертым и второй с третьим. Первое произведение обозначьте y, второе произведение тогда представится как y+2. Решите получившееся квадратное уравнение и сделайте обратную замену.)
в) 
.
г) 
. (Указание: попробуйте прибавить к первым двум слагаемым некоторое число так, чтобы сумма оказалась дробью, обратной той, что стоит на третьем месте с множителем -10. Далее смотрите примеры 12 и 13.)
