Векторная алгебра

ТЕМА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Основные определения

Вектором называется направленный отрезок.

Слова «дан вектор» означают, что указана длина данного отрезка (модуль вектора) и указана направленность отрезка. Обозначают вектора или одной буквой (чаще всего прописной) или двумя заглавными буквами с указанием векторного значка. В последнем случае первая буква определяет начало вектора, а вторая - его конец.

	Обозначение модуля а - вектора: ½½.
А   В   АВ A	Обозначение модуля АВ - вектора: ½АВ½.

Мы будем рассматривать векторную алгебру свободных векторов, в которой вектора сохраняют свои основные характеристики (длину и направление) при параллельном переносе. Следовательно, в алгебре свободных векторов равные вектора могут находиться на параллельных прямых. При этом они имеют одинаковое направление и одинаковые длины. В теоретической механике возникает необходимость в другой алгебре - алгебре связанных векторов. В ней вектор сохраняет свои основные характеристики только в случае перемещения по линии своего действия.

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-вектором.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они имеют одинаковое направление; - противоположно направленными, если их направления противоположны.

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными (план-плоскость). В алгебре свободных векторов два вектора всегда компланарны.

Правило умножения вектора на число:

· При умножении на положительное число l (лямбда) образуется вектор того же направления, (длина) модуль которого равен ;

· При умножении на отрицательное число l образуется вектор противоположного направления, модуль которого равен .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом.

Орт имеет обозначение: . Чтобы найти орт надо этот вектор

умножить на число, обратное его модулю:

= (1.1)

§ 2. Сложение векторов

Пусть в плоскости или пространстве даны векторы

Найдем =

Решение

Представим искомый вектор в виде суммы векторов

и найдем эти слагаемые по правилу умножения вектора на число:

 

-

Затем выберем точку А - любую точку плоскости или пространства и, выполняя параллельный перенос вектора 2, совместим его начало с точкой А. Выполняя параллельный перенос следующего слагаемого совместим его начало с концом предыдущего слагаемого 2. Выполняя последовательный параллельный перенос остальных слагаемых, будем так же совмещать их начала с концами предыдущих слагаемых. В результате получим:

Результирующий вектор АВ, равный сумме данных векторов, образующих ломанную линию по принципу: конец предыдущего слагаемого является началом следующего, соединяет начало первого слагаемого c концом

последнего. Направлен результирующий вектор в сторону последнего слагаемого. Такое правило сложения векторов является результатом обобщения многолетнего практического опыта сложения векторных величин.

Частный случай сложения двух векторов, имеющих общее начало, называется правилом параллелограмма.

При сложении двух векторов, имеющих общее начало, образуется вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, как на сторонах. Начало результирующего вектора совпадает с общим началом данных слагаемых.

Правило вычитания двух векторов, имеющих общее начало, называется правилом треугольника.

При вычитании двух векторов, имеющих общее начало, образуется вектор, соединяющий концы вычитаемых векторов. Направлен результирующий вектор в сторону первого члена разности.

При сложении векторов справедливы:

1) переместительный закон ();

2) сочетательный закон ();

3) распределительный закон относительно скалярного (числового) множителя ( где l - любое действительное число).

§ 3. Разложение вектора по ортам координатных осей

Введем в рассмотрение орты координатных осей:

- орт оси Х;

- орт оси У;

- орт оси Z.

Отметим, что любая точка координатной оси Х, определяемая числом х, может определяться также и вектором х·, отложенным от начала отсчета (точки 0).

В О А Х

х1 0 1 х2

Действительно, в соответствии с формулой . Тогда

, а == х1.

Аналогично, если на оси Y точка определяется числом у, то она же

определяется и вектором у, откладываемым по оси У от начальной точки. А точка, определяемая числом z на оси Z, определяется вектором z при условии, что начало этого вектора находится в точке 0.

Рассмотрим точку А в трехмерной прямоугольной системе координат.­

	0		y

X

0А1 = x; 0А2 = y; 0А3 = z.

0А¢ = 0А1 + 0А2 = x + y; ОА = 0А' + ОА3 = x + y+ z,

где x, y, z - координаты точки А.

Вектор, начало которого находится в начале координат, называется радиусом-вектором. Так, ОА - радиус-вектор, определяющий точку А в системе координат X, Y, Z.

Скалярные (числовые) множители при единичных векторах называются координатами вектора. Координаты радиуса-вектора совпадают с координатами его конца.

Рассмотрим разложение любого вектора пространства по ортам координатных осей.

Таким образом, координаты вектора, начало и конец которого известны, находятся по правилу: из координат конца вычитаются одноименные координаты начала.

Вектор часто записывают в виде упорядоченной тройки чисел в фигурных скобках. Так, вектор АВ можно записать в виде АВ = {хВ – хА, yВ – yА,

zВ – zА}.

§ 4.Условия коллинеарности двух векторов

Если ||, то существует такое число l ¹ 0, для которого

Пусть, векторы и разложены по ортам координатных осей:

и .

Тогда, равенство примет вид

= l.

Последнее равенство выполняется только в том случае, когда равны одноименные координаты сравниваемых векторов (числовые множители при векторах , ). Таким образом:

ax= lbx,

ay= lby, или или .

az= lbz ,

Если два коллинеарных вектора разложены по трем некомпланарным векторам (по трем векторам не принадлежащим одной плоскости), то одноименные координаты (множители при одноименных векторах в том и другом разложении) пропорциональны.

Справедливы и обратные утверждения:

1) если при , то векторы и коллинеарны. При этом, равенство называется условием коллинеарности векторов в векторной форме;

2) если координаты векторов, разложенных по трем некомпланарным векторам, пропорциональны, то векторы коллинеарны. При этом, равенство отношений одноименных координат называется условием коллинеарности векторов в координатной форме.

§ 5. Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число (скалярная величина), равное произведению модулей перемножаемых векторов на

косинус угла между ними.

Используются две формы записи скалярного произведения векторов:

- 1 форма;

- 2 форма.

Таким образом, по определению

.

Для скалярного произведения справедливы

1)  переместительный закон:

;

2)  сочетательный закон относительно скалярного сомножителя:

l , где lR;

3)  распределительный закон относительно векторного сомножителя:

.

Рассмотрим важные частные случаи скалярного произведения двух векторов.

1. cos cos 0= .

Если называть произведение скалярным квадратом вектора и записывать его в виде , то . Таким образом, скалярный квадрат вектора
равен квадрату его модуля.

2. Пусть векторы и взаимно перпендикулярны. (В векторной

алгебре взаимно перпендикулярные векторы называют ортогональными.) Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю. Действительно, если ^ , то cos 900= 0.

Обратно, если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны.

Условие, состоящее в том, что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, называется условием ортогональности двух векторов.

§ 6. Представление скалярного произведения двух векторов
в координатной форме

Пусть и , где - орты

координатных осей X, Y, Z соответственно. Тогда:

Так как квадрат орта, равный квадрату его модуля, равен 1, а скалярные произведения разноименных (взаимно перпендикулярных) орт равны нулю, то

Скалярное произведение двух векторов, разложенных по ортам взаимно перпендикулярных координатных осей, равно сумме произведений их одноименных координат.

Условие ортогональности двух векторов в этом случае состоит в том, что сумма произведений одноименных координат этих векторов равна нулю.

§7. Определение модуля вектора, разложенного по ортам

координатных осей

Пусть . Тогда, с одной стороны,

;

а с другой, . Следовательно,

и .

Модуль вектора, разложенного по базису (базисом называется

совокупность векторов, по которым раскладывается данный вектор),

равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

§ 8. Определение угла между двумя векторами

Угол между двумя векторами, имеющими общее начало, определяется как наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения с направлением другого.

 

 

Если φ = ( , то φ Î[0; p ].

 

Пусть сos j = m. На верхней полуокружности угол j определяется как единственный угол, принадлежащий промежутку

[0; p ], который находится по

заданному значению косинуса, равному m. Так, если

сos j = m1, то j = j1 = arсcos m1.

А если

cos j = m2, то j = j2 = arсcos m2.

При 0 £ m £1 φ Î [0; ]. Если же - 1 £ m £ 0, то φ Î [ ; p ]. При

m 2 = - m1, arccos m 2 = arccos(-m 1) = j 2 = p-j 1 = p - arccos m 1.

Пусть и , где орты координатных осей. Тогда, с одной стороны,

,

сos ( ); а с другой, . Следовательно,

cos ( )

и

cos ( )= = m.

То есть, cos j = m.

§ 9. Определение проекции вектора на ось

Определение

Проекция на ось, имеющую направление , равна произведению модуля на косинус угла между векторами и .

Проекцию на ось, имеющую направление , будем записывать в виде пр.Тогда

пр= cos ).

Если известны разложения векторов и по ортам координатных осей:

и ,

то указанное произведение умножается и делится на При этом

пр.

Отметим, что в соответствии с определением, проекция единичного вектора на какую-либо ось равна косинусу угла наклона единичного вектора

к этой оси. Введем в рассмотрение проекции единичного вектора на

координатные оси Х, Y, Z, направления которых задаются векторами , соответственно:

пр cos ( ) = cos a;

прcos ( ) = cos β;

пр cos ( ) = cos g.

Покажем, что проекции вектора на координатные оси совпадают с его координатами при разложении по базису , :

пр

пр

пр.

Таким образом, если cos a, cos b, cos g - проекции единичного вектора на координатные оси, то таким же будут и его координаты в разложении по базису . То есть, = cos a×+ cos b×+ cos g×. Или = { cos a,

cos b, cos g}. А так как единичный вектор определяет направление любого вектора, то можно сказать, что направление любого вектора задаётся упорядоченной тройкой чисел, которые можно рассматривать как косинусы углов наклона данного вектора к осям X, Y и Z соответственно. Эти числа называются направляющими косинусами.

Направляющие косинусы являются координатами вектора , модуль которого равен 1. А так как сумма квадратов координат вектора равна квадрату

его модуля, то

cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.

Пусть . Для нахождения направляющих косинусов воспользуемся равенством Тогда

Но координаты единичного вектора равны направляющим косинусам, следовательно,

cos a = ; cos b =; cos g = .

Рекомендуемая литература

1.  , И. и др. Вся высшая математика, гл. IV,

§ – М.: Высш. шк., 1999.

2.  Аналитическая геометрия, гл. II, § – М.:

Физматгиз, 1970.

3.  , Сборник задач по математике, ч. I, гл. 2,

§ 1. – М.: Физматгиз, 1981.