Задачи по математике для экономистов (стр. 2 )

26. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. Заданы матрица расходов сырья и матрица стоимостей перевозок тремя видами транспорта

. Определить матрицу затрат по видам транспорта. Провести анализ результатов.

27. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. Заданы матрица расходов сырья и матрица стоимостей перевозок тремя видами транспорта

. Определить матрицу затрат по видам транспорта. Провести анализ результатов.

28. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: 1-ый цех – продукцию 1-го вида, 2-ой цех – продукцию 2-го вида. Часть выпускаемой продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом. Требуется выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие (валовые) объемы выпускаемой продукции , если заданы матрица прямых затрат

и вектор конечного (валового) продукта Y.

29. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 4.

Таблица 4

Вид продукции	Телевизоры	Музыкальные центры	Плееры
Количество продукции в условных единицах	I пред- приятие	100	300	200
II предприятие	200	100	300

Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 2.

Таблица 5

Месяц	I	II	III
Виды изделий	Прибыль (в условных единицах)
Телевизоры	1,2	1,21	1,23
Музыкальные центры	1,1	1,12	1,15
Плееры	1,4	1,41	1,42

30. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 6.

Таблица 6

Вид продукции	Телевизоры	Музыкальные центры	Плееры
Количество продукции в условных единицах	I пред-приятие	200	400	100
II предприятие	300	300	200

Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 7.

Таблица 7

Месяц	I	II	III
Виды изделий	Прибыль (в условных единицах)
Телевизор	1,4	1,1	1,2
Музыкальный центр	1,3	1,2	1,3
Плеер	1,2	1,3	1,4

2. Введение в математический анализ

В экономике многие зависимости могут быть заданы функциями как одной переменной y = f(x), так и нескольких переменных . Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать аппарат математического анализа для решения экономических проблем. В качестве примеров функциональных зависимостей в экономике можно привести следующие функции, имеющие экономический смысл в некоторой области значений аргумента:

¨  Функция спроса от цены товара, y = f(x), x - цена товара, y - спрос на товар.

¨  Функция цены от спроса товара, y = f(x), x - спрос на товар, y - цена товара.

¨  Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса.

¨  Суммарные издержки производства F от объема производства x: F=F(x) и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) f - функции от объема производства x: f(x) = F(x)/x.

Суммарные издержки производства F иногда выражаются линейной функцией от объема выпускаемой продукции x: F(x) = ax + b, где a - сумма издержек первой группы на единицу продукции, b - издержки производства, не зависящие от объема выпуска (вторая группа). К первой группе издержек относятся расходы, зависящие от объема выпуска продукции, например, стоимость сырья, оплата рабочим и т. п. Ко второй группе относится амортизация здания, его отопление и т. п. Средние издержки, или себестоимость продукции, f(x) в этом случае имеет вид f(x) = F(x)/x = (ax+b)/x=a + b/x.

Задачи.

1.  Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x - объем партии. Причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 1.45x + 20, а для второго варианта при x = 100 (дет), y = 157.5 (руб), при x = 300 (дет), y = 452.5 (руб). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 200 (дет).

2.  Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150x + 50 и y = 25x + 250, где x - расстояние в сотнях километров; y - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

3.  Известно, что средние издержки (себестоимость) определяются зависимостью y = 2xp, где x- объем производства. Определить значение p, если известно, что при x = 100, y = 20.

4.  Известно, что стоимость рулона ткани y прямо пропорциональна x - количеству метров в рулоне. Зная, что цена 1 м ткани равна 130 руб, выписать функцию y = f(x) и вычислить стоимость рулона, содержащего 300 м.

5.  Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства при x = 20.

6.  Прогноз численности населения на ближайшую перспективу можно производить по формулам: (1) y = y0 + bt и (2) y = y0 at , где y - численность населения; y0 - исходная численность (по переписям или оценке); b - средний абсолютный прирост, a - средний темп роста (в форме коэффициента роста); t (лет) - длина периода, на который производится прогноз. Определить численность населения в данном регионе через 3 года по формулам (1) и (2), если y0 = 3*104 , b = 3*103, a = 1.1. Сравнить результаты.

7.  Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т. е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A = 10, B = 5. Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если A = 5, B = 15.

8.  Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a - b/(x + c). Полагая a = 2.8, b = 168, c = 10, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 158.

9.  Продолжительность выполнения работы y (мин.) при повторяемых операциях есть величина, обратно пропорциональная числу x (шт.) этих операций. Построить график этой зависимости y = f(x), если известно, что при справедлива формула y = a/(x + c), причем при x = 0 y = 150, при x = 200 y = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях.

10.  Рентабельность y связана с себестоимостью продукции x следующей зависимостью: y = a/x – 1 , где a - цена единицы продукции. Построить график этой зависимости при a = 100. Пояснить его экономический смысл. Вычислить рентабельность при x1 = 50 и x2 = 150. Дать пояснения.

11.  Распределение дохода в капиталистическом обществе может быть описано законом Парето: y = ax-m , где y - число лиц, имеющих доход, не меньший x; m, a - положительные постоянные. Требуется: 1) при a = 3*109 , m = 3/2 определить число лиц, имеющих доход не меньше 1600 денежных единиц; 2) при a = 2*109 , m = 3/2 определить число лиц, чей доход не меньше 105 денежных единиц.

12.  Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:

а) точку безубыточности;

б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.

13.  Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 500 руб. под сложный процент, ставка которого 3%.

14.  Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 65x + 360 и y = 45x + 160, где x - расстояние в сотнях километров; y - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

15.  Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x - объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта

y = 2x + 15, а для второго варианта при x = 20 (дет.) y = 150 (руб.), при x = 100 (дет.) y = 710 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 80 (дет.).

16.  Определить сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, вкладывая 2500 руб. под сложный процент, ставка которого 5%.

17.  Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x - объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 5x + 40, а для второго варианта при x = 30 (дет.) y = 200 (руб.), при x = 90 (дет.) y = 800 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 60 (дет.).

18.  Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 150 y = 352, при x = 77 y = 301. Определить объем производства при x = 210.

19.  Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 100 y = 360, при x = 80 y = 240. Определить объем производства при x = 110.

20.  Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a – b/(x + c). Полагая a = 3, b = 250, c = 20, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 100.

21.  Исследовать поведение функции спроса от цены товара y =при увеличении цены (x ).

22.  Издержки перевозок двумя видами транспорта выражаются функциями y = 60x + 300 и y = 15x + 150, где x - расстояние в сотнях километров; y - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

23.  Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т. е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A =20, B =5. Определить, каков остаток сырья через 5 дней, если A =10, B =15.

24.  Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле , где - объем партии, причем параметры и различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта , а для второго варианта при =100 (дет), =150 (руб.), при x=200 (дет), y=250. Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т. е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x=200 (дет).

25.  Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

а)  Найти точку рыночного равновесия.

б)  Найти точку равновесия после введения налога, равного 3%. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.

в)  Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на 2 единицы?

30)  Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

а)  Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую точку равновесия и доход правительства.

б)  Правительство установило минимальную цену, равную 7. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?

31)  Предприятие купило автомобиль стоимостью 40 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 10% от цены покупки
. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость автомобиля: а) через 5 лет; б) через 6 лет и 3 месяца.

32)  Газовая плита была куплена за 8000 руб. Амортизация начисляется линейно и составляет 15% в год от первоначальной стоимости.

Найти:

а)  стоимость газовой плиты через t лет;

б)  стоимость газовой плиты через 6 лет после начала эксплуатации;

в)  срок службы плиты.

29. Фирма купила четыре одинаковых компьютера. Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет 1200 у. е., остаточная – 80 у. е. Срок жизни компьютера по норме – 4 года. Через 2 года компьютеры были проданы по цене 600 у. е. каждый. Построить график функции, определяющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от времени t. Какую прибыль получило предприятие после продажи?

30. Станок был куплен за 20 тыс. руб., его остаточная стоимость – 600 руб. Определить срок службы станка, если:

а)  амортизация начисляется ежегодно из расчета 10% от последней стоимости станка;

б)  норма амортизации составляет 10% от первоначальной стоимости.

3. Дифференциальное исчисление

Экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой однородной продукции x.

Пусть Dx - прирост продукции, тогда - Dy приращение издержек производства и Dy/Dx - среднее приращение издержек производства на единицу продукции.

Производная y’ = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции x) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными затратами (на сырье, топливо и т. п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный продукт и другие величины. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).

Относительная скорость изменения (темп) функции y = f(x) определяется ее логарифмической производной

Ty = (ln y)’ = .

Эластичность функции y = f(x) - предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной x при Dx ® 0:

Ex(y) = .

Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп функции

Ex(y) = xTy..

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Коэффициент эластичности применяется при анализе спроса и потребления. Если , то спрос считают эластичным, если , то нейтральным, если , то спрос неэластичен относительно цены (дохода).

Производственная функция - экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей (факторов). Производственные функции, в которых устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции - функциями производственных затрат. В общей форме производственная функция имеет вид:

y =a ,

где y обозначает величину общественного продукта; - затраты ресурсов; a - коэффициент, зависящий от размерности единиц измерения затрат и выпуска; - параметры, численно равные коэффициентам эластичности выпуска относительно затрат соответствующего ресурса.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

y = a ,

где y - национальный доход; - объемы соответственно трудовых ресурсов, производственных фондов, природных ресурсов. Для производственной функции y = f( ) отношение y/ выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса, т. е. величину общественного продукта на единицу i-го ресурса. Частная производная

характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении i-го ресурса на 1 ед. (при постоянстве других ресурсов).

Задачи.

Производная функции, ее нахождение.

1.  Функция издержек производства y(x) от объема продукции x имеет вид y(x) = 100x-0.2x3. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 12 ед.

2.  Себестоимость продукции y(x) связана с объемом продукции x уравнением y(x) = 6ln(1 + 3x). Определить среднюю и предельную себестоимость продукции при объеме продукции 10 ед.

3.  Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением y(t) = -2.5t2+ 15t + 100, где 1≤ t ≤ 8 - рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.

4.  Себестоимость штангенциркулей на Ставропольском инструментальном заводе описывается функцией y(x) = 0.01x2- 0.5x +12 при 5 ≤ x ≤ 50, где x - объем выпускаемой за месяц продукции (тыс. ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске 20 тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции.

5.  Стоимость произведенной продукции на 1 руб. основных промышленно-производственных фондов (фондоотдача) y(x) зависит от коэффициента сменности оборудования (характеризующего степень равномерности использования оборудования по сменам) x следующим образом: y(x) = +C, где C - const. Найти: 1) скорость изменения фондоотдачи при коэффициенте сменности оборудования x = 1.35; 2) функцию этого изменения, если C = 0, полагая, что некоторое время фондоотдача будет изменяться с постоянной скоростью.