Задачи по математике для экономистов (стр. 3 )

6.  В среднем расход на питание y(x) в зависимости от годового дохода x на душу населения описывается функцией y(x) = 25x1/2. Вычислить: 1) скорость изменения расходов на питание при годовом доходе 16 тыс. у. е.. и 25 тыс. у. е. руб. 2) Полагая, что некоторое время расход на питание будет изменяться с постоянной скоростью, найти функцию этого изменения при годовом доходе 1600 руб. и 2500 руб.

7.  Функция спроса y(x) (руб.) от доходов потребителя x (руб.) имеет вид y(x) = 2x + 5. Найти коэффициент эластичности спроса при доходе, равном 2000 руб.

8.  Зависимость между объемом выпуска готовой продукции однотипных предприятий y(x) (млн. руб.) и объемом производственных фондов x (млн. руб.), выражается функцией y(x) = 0.6x – 4. Найти коэффициент эластичности выпуска продукции для предприятия, имеющего производственные фонды 40 млн. руб.

9.  Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии x (тыс. шт.) и затратами на их изготовление y(x) (тыс. руб.) для предприятий отрасли выражается уравнением y(x) = 27/x + 6. Найти коэффициент эластичности для затрат предприятий.

10. Зависимость урожайности зерновых культур y(x) (ц/га) от количества осадков x(см.), выпавших в период роста растений, может быть выражена уравнением у(x)=-44+4х-0,05х2. Найти коэффициент эластичности урожайности при количестве осадков:см.;см.

11. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(x) (в руб.) и выпуском продукции x (в млн. руб.) выражается уравнением у(x)=-0,5х+80. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 30 млн. руб.

12. Заданы функции спроса у(x) и предложения (количества товара, предлагаемого в продажу в единицу времени) z(x) от цены x: у(x)=10-х, z(x)=3x-6. Найти 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.

13. Функция предложения z(x) некоторого товара есть z(x) = (20+ х1) / (1 + 10х), а функция спроса у(x) = (25 - х+4х2) / (1 + 10х), где x-цена товара.

Определить: 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.

14. Зависимость потребления у(x) от дохода x задается функцией у(x)=ах/(x+b). Показать, что коэффициент эластичности потребления от дохода не зависит от параметра a и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

15. 3адана функция у(x)=f(x) полных затрат предприятия на производство Х единиц продукции. Как связаны между собой коэффициенты эластичности полных и средних затрат?

16. Как связаны между собой предельные и средние полные затраты предприятия, если коэффициент эластичности полных затрат равен 1?

17. Задана функция полных затрат в виде y(x)= x3-2x2. При каком объеме производства x предельные средние и полные затраты совпадают?

Пусть K=K(t) – приближенная величина вклада в момент времени t, r-ставка банковского процента. Если проценты начинаются один раз за период времени Dt, то проценты за этот период составят KrDt, (r -номинальная ставка за год, Dt – доля года). Так как приращение вклада и проценты по вкладу - одно и то же, то DК = KrDt, а r = DК / KDt. Заменяем приращение DК на дифференциал dK = K'Dt. Отсюда r≈K’Dt / K’Dt=K’/K=(lnK)′.

18. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) 1,5 , где t - число лет от открытия вклада; Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.

19. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) 1,8, где t -число лет от открытия вклада; Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.

Пусть A(t) - стоимость некоторого актива А в момент времени t, r – доходность от вложения денег в другие активы. Для простоты будем считать, что r не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив А? Для этого необходимо найти интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше r. Так как мгновенная доходность актива А совпадает с темпом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством [lnA(t)]′> r. Если данное неравенство задает интервал (t1, t2). то актив А следует купить в момент t1 и продать в момент t2.

20. Пусть r=10% годовых, А(t) = Cearctgt, где С –const. В какой момент времени выгоднее купить (продать) актив А?

21. Две реки следует соединить каналом. Первая река там, где должен проходить канал, имеет вид параболы у = x2, а вторая река – вид прямой х-у-2=0. Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину. Как его нужно проложить? Составить уравнения канала. Сделать чертеж.

22. Функция спроса у (руб.) от цены х (руб.) продукта имеет вид у(х) = 100 - х. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара 20 руб.

23. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции x на предприятии выражается функцией у(х) = 50х+0.05х2 . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

24. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у(х) (в млн. руб.) и выпуском продукции х (в млн. руб.) выражается уравнением у(х)=-0.Зх+70. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 40 млн. руб.

25. Объем продаж видеомагнитофонов задается следующей функцией времени:

,

где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов, проданных за месяц. Найти скорость изменения объема продаж в момент времени t=3.

26. Население некоторой страны растет по следующему закону:

,

где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения населения при t=2.

27. Издержки удаления p процентов загрязнений из использованной воды равны . Найти скорость изменения издержек в точке p=52.5.

28. Выручка от оптовой продажи радиоприемников определяется функцией ,

где x – число проданных радиоприемников. Найти предельную выручку, если продано:

а) 100 радиоприемников; б) 200 радиоприемников.

29. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):

.

30. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):

.

4. Исследование функции и построение графиков

Пусть q - выпуск продукции (в натуральных единицах); R(q) - выручка от продаж; C(q) - издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль П(q)=R(q)-С(q).

1) Функции R(q),C(q) определены на [0;+∞) и дифференцируемы при q >0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q ≠ 0.

Если условия 1 и 2 выполнены, то функция П(q)=R(q)-С(q) дифференцируема и имеет на интервале (0;+∞) максимум в точке q*≠0. По теореме Ферма П′(q*) = 0. Так как П'(q) =R'(q) - С'(q), то в точке q = q * получаем R'(q*) = C'(q*). В случае, когда объем производства q не влияет на цену продукции p , имеем R(q) = pq; R'(q) = p, тогда p =C'(q*). Далее считаем, что функция C(q) определена и дифференцируема на промежутке [0;+∞). Таким образом, предельные издержки MC=C'(q).

Как и любая коммерческая фирма, конкурентная фирма стремится максимизировать свою прибыль, поэтому при данной цене продукции р она устанавливает объем выпуска q равным q* , где q*- точка глобального максимума функции прибыли. Следовательно, q*= S(p), где S(p) - функция предложения, Т. е. S(p) - обратная функция для функции C′(q).

Задачи.

1. Найти объем производства при цене р=15; С(q)=q3 + Зq.

2. Найти объем производства при цене p=100; C(q)=q2+2q+2.

3. Экспериментально установлено, что расход бензина у(х) (л) на 100 км пути автомобилем ГА3-69 в зависимости от скорости (км/ч) описывается функцией у(х) = 18-0.3x+0.003х2, где 30≤ x<100. Цена бензина 1 у. е. за 1л. Определить:

1) наиболее экономичную скорость автомобиля, при которой расход бензина будет минимальной; 2) экономию в затратах на бензин на участке шоссе в 500 км при прохождении его с этой скоростью по сравнению со скоростью 90 км/ч.

4. Зависимость расхода автомобилем горючего от скорости движения задается функцией y(x)=20-0.4x+0.005x2, где у(х) - расход горючего (л.) на 100 км пути, х - скорость автомобиля (км/ч). Как изменяется расход горючего в зависимости от скорости движения автомобиля?

5. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей - постоянной, равной а руб., и переменной - возрастающей пропорционально кубу скорости (коэффициент пропорциональности K). Найти крейсерскую скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично. Вычислить ее значение при а=640, К=0.04.

6. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

7. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести?

8. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры двора прямоугольной формы, которой можно огородить этими досками, используя для одной стороны двора стену близлежащего здания.

9. Себестоимость продукции С(тыс. руб.) описывается функцией С(х)=0.00025х3+0.0025х2+0.58х+19; 15≤ x≤ 550, где х - объем выпускаемой продукции в месяц (тыс. ед.). Определить, при каком количестве продукции прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по цене 2 тыс. руб. за 1 тыс. ед. Вычислить величину прибыли. Указание. Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации продукции и ее себестоимостью.

10. На станции В железной дороги ВД расположен завод В. Продукция этого завода поставляется заводу А. Ближайшей от А точкой железной дороги является Д. Расстояния ВД и АД равны соответственно 100 км и 40 км. Необходимо завод А связать прямолинейной шоссейной дорогой с железной дорогой так, чтобы провоз груза из В в А по маршруту ВСА был наиболее дешевым. Известно, что стоимость провоза единицы груза на расстояние 1 км по железной дороге равна 3 у. е.., а по шоссе 5 у. е. Где должно находиться начало шоссе? Сделать чертеж.

11. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

12. Для изучения производственных операций следует произвести n замеров из общего числа N элементов изучаемого процесса. Суммарные затраты на выполнение такого хронометра определяются формулой S(n)=Со +С1n +Nz / 750 , где Со, C1-постоянные для этого вида операций величины, z - оплата труда рабочих за 1 час. Найти такое значение n, при котором затраты будут наименьшими, если С1=0.05 руб/ч; z=0.9 руб/ч; N=l0000.

13. Общая сумма расходов на перевозку и хранение деталей на складе определяется формулой C(x)=sQ(x)+bx/2, где х - размер партии деталей; Q- необходимое число деталей для работы; s - затраты на перевозку одной партии деталей ; bx/2 -затраты на хранение половины партии (условно средний запас); Q/x - количество партий деталей. Определить оптимальный размер партии, при котором расходы будут минимальны. Вычислить это значение при Q=50, S=0,2 руб., b=0,1 руб.

14. База берет на себя обязательство хранения некоторого товара и его выдачи потребителю в объеме r=2,5 т. ежедневно. Стоимость хранения p товара на базе равна 8 руб. за 1т. в сутки. Получить товар база может в любом заранее оговоренном количестве и в любое указанное время, но только равными партиями объема q и через равные промежутки времени Т. стоимость хранения запаса q в течение Т суток равна pqT/2. Загрузка базы товаром и подготовка к его приему обходятся базе независимо от количества привозимого товара в p=l00 руб. Определить объем товара, который должна заказывать база, и интервалы поставки, чтобы суточные затраты были минимальными. Очередной заказ поступает в момент израсходования предыдущего. Указание. При составлении функции суточных затрат учесть, что T=q/r.

15. Производительность труда рабочих цеха определяется уравнением у = 11.3хе-0,417x, где у – число деталей, изготовленных в единицу времени; х – время от начала работы (час). Исследовать функцию производительности труда на отрезке[0;8] и построить ее график

16. Трудоемкость проектировании микросхемы у (час) характеризуется зависимостью у=0.04x2-1.84х+25.1; 10≤ х≤ 40. Определить число элементов в микросхеме, при котором трудоемкость ее проектирования будет минимальной, а также величину соответствующей трудоемкости.

17. Пусть функция спроса на некоторый товар, имеющий цену х, есть y=f(x). Выручка от продажи товара составит z=xy. Как изменится выручка от продажи товара при повышении его цены при эластичном спросе, т. е. при условии, что |Ех(у)| > 1?

18. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид C(q)=q2 +6q+5. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.

19. Каково должно быть отношение высоты к радиусу основания конического шатра данной вместимости, чтобы на изготовление пошло наименьшее количество материала?

20. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид С(q)=3q2+18q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=24.

21. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид С(q)=5q2+160q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=200.

22. Зависимость потребления у от дохода х дли предметов первой необходимости задается функцией у(х) = ax/(x + b). Изобразить график этой функции.

23. Зависимость между товарооборотом и производительностью труда торговых работников универмага имеет вид у(х) = 2х + 8/х, где х - средний оборот на одного работника в относительных единицах. Исследовать эту зависимость, построить ее график.

24. Функция издержек имеет вид . Найти предельные издержки. Посчитать их значение и проанализировать результат при x=10.

25. Компании требуется произвести 1000 единиц некоторого товара в год. Издержки подготовки производства одной партии составляют 320 руб. Издержки производства товара составляют 8 руб. за единицу продукции, а издержки хранения – 1 руб. за единицу. Найти такое число единиц товара в партии x, при котором совокупные издержки производства и хранения были бы минимальны.

26. Функция издержек производства шин имеет вид . Цена одной шины 20 у. е. Найти точку безубыточности. Построить график.

27. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные – 300 руб. за одни часы. Цена часов 500 руб. Написать функции дохода и издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.

28. Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3 тыс. руб. Функция издержек линейная. Издержки составляют 48 тыс. руб. за 10 стульев и 43.2 тыс. руб. за 6 стульев. Составить функцию дохода и функцию издержек. Найти точку безубыточности.

29. Настольные лампы продаются по цене 1200 руб. каждая. Постоянные издержки составляют 24 тыс. руб. в месяц, а переменные – 800 руб. за лампу.

а)  найти точку безубыточности, построить график.

б)  сколько ламп фабрика должна произвести и продать, чтобы получить 15% дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?

30. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид C(q)=q2 +4q+6. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.

5. Неопределенный интеграл

В зависимости от конкретного смысла функции f(x) (физического, геометрического, экономического) при интегрировании мы получаем выражение для соответствующего закона, описывающего данный объект. Характеристики экономических закономерностей можно восстановить, если известна скорость (интенсивность, плотность) или темп роста (относительная скорость) некоторого экономического процесса. Зная предельные издержки производства у' = f(x) , можно найти издержки производства у(х)=∫ f(x)dx+С (здесь х – объем однородной продукции). Зная скорость у'(t)=f(t) (или темп у'(t)/y(t) изменения производительности труда), можно найти производительность труда y(t) = ∫ f(t)dt + C

Задачи.

1. Считая, что производительность труда имеет тенденцию скорости роста, найти закон изменения производительности труда, если темп ее роста равен f(t)=2t/(t2+1).

2. Скорость изменения производительности труда y(t) задается уравнением y(y)=-4t+8. Найти закон изменения производительности труда.

3. Темп изменения производительности труда прямо пропорционален величине tl/2 с коэффициентом пропорциональности k, k<0. Найти закон изменения производительности труда, если при t=0 производительность составляла l у. е.

4. Темп изменения производительности труда равен f(t)=t/(t2+0.04). Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 2 у. е.

5. Предельные издержки производства f(x) определяются уравнением f(х)=а+bх2, где х - объем выпускаемой продукции. Найти зависимость издержек производства от х.

6. Предельные издержки (расход) на перевозку товара зависят от расстояния х: f(x)=6x+4. Определить зависимость расходов на перевозку товара от расстояния при условии, что при х=0 расходы составляют 1 у. е.

7. Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается формулой f(x)=a - bx, (а>0, b>0). Определить зависимость цены от спроса при условии, что при отсутствии спроса (х=0) цена равна С0 усл. ед.

8 Предполагая, что в производственной функции Кобба–Дугласа затраты труда Lt изменяются линейно, затраты капитала К t постоянны, α=β=1 и a t = а0 eqt (при фиксированных затратах труда и капитала темпы выпуска продукции постоянны), найти выражение для суммарного выпуска продукции.

9. Скорость формирования оборотных средств можно рассматривать так же, как скорость потока денежных средств k′(t)=I(t), I(t)=4t+5. Найти зависимость оборотных средств от времени.

10. Скорость формирования оборотных средств можно рассматривать, как скорость потока денежных средств K'(t)=I(t), I(t)=7-2t+t2. Найти зависимость оборотных средств от времени.

11.Темп изменения производительности труда прямо пропорционален величине , коэффициент пропорциональности k, k<0. Найти закон изменения производительности труда, если при t=0 производительность составляла 2 у. е.

12. Темп изменения производительности труда равен f(t)=(t+1)/(t+5). Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 1 у. е.

13. Предельные издержки производства f(x)=5+3x2, где х – объем выпускаемой продукции. Найти зависимость издержек производства от х.

14. Предельные издержки (расход) на перевозку товара зависят от расстояния х: f(x)=8х+1. Определить зависимость расходов на перевозки товара от расстояния при условии, что при х=0 расходы составляют 2 у. е.

15. Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается формулой f(х)=5-2х. Определить зависимость цены от спроса при условии, что при отсутствии спроса (х=0) цена равна 3 у. е.

16. Темп изменения производительности труда равен f(t)=(4t+1)/(3t+7). Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 3 у. е.

17 Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается формулой f(x) = 7-10х. Определить зависимость цены от спроса при условии, что при отсутствии спроса (x=0) цена равна 1 у. е.

18.  Темп изменения производительности труда равен . Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 2 у. е.

19.  Темп изменения производительности труда прямо пропорционален величине t2-t, коэффициент пропорциональности k, k<0. Найти закон изменения производительности труда, если при t=0 производительность составляла 1 у. е.

20.  Считая, что производительность труда имеет тенденцию роста, найти закон изменения производительности труда, если темп ее роста равен f(t)=2,5t+5.

21.  Предельные издержки производства f(t)=10+3,5x2, где x – объем выпускаемой продукции. Найти зависимость издержек производства от x.

22.  Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса x и задается формулой f(x)=127-150x. Определить зависимость цены от спроса при условии, что при отсутствии спроса (x=0) цена равна 10 у. е.

23.  Темп изменения производительности труда равен . Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 4 у. е.

24. Скорость изменения инвестиций имеет вид . Найти функцию изменения капитала.

25. Скорость изменения инвестиций имеет вид . Найти функцию изменения капитала.

26. Функция предельного дохода имеет вид . Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.

27. Функция предельного дохода имеет вид . Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.

28. Функция предельного дохода имеет вид . Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.

29. Функция предельного дохода имеет вид . Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.

30. Функция предельного дохода имеет вид . Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.

6. Определенный интеграл

Определенный интеграл используется для нахождения дисконтированного
объема дохода. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время n при годовом проценте p, называется дисконтированием.

¨  Пусть Kn – конечная сумма, полученная за n лет;

¨  p – годовой процент (процентная ставка);

¨  i=p/100 – удельная процентная ставка (процент, приносимый одной денежной единицей);

¨  D=Kn-K – дисконт (разность между конечной суммой Kn и дисконтируемой (начальной) суммой K).

Проблема дисконтирования встречается при определении экономической эффективности капитальных вложений.

¨  Если проценты простые, то Kn=K(1+in), тогда .

¨  В случае сложных процентов Kn=K(1+i)n, поэтому .

¨  Величина r=1+i называется коэффициентом сложного процента.

¨  Число v=1/r называется коэффициентом дисконта, тогда K=Knvn.

Задачи.

1.  Считая годовой доход f(t) функцией времени, определить дисконтированный объем дохода за T лет при удельной норме процента i (процент начисляется непрерывно).

2.  Вычислить дисконтированный доход за 5 лет при условии, что годовой доход f(t)=40 тыс. у.е., а удельный процент i=0,04.

3.  Вычислить дисконтированный доход за бесконечный промежуток времени при условии, что годовой доход f(t)=30 тыс. у.е., а удельный процент i=0,02.

4.  Определить объем выпуска продукции при производительности f(t)=11,3te-0,417t за первые 5 часов работы.

5.  Найти объем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при восьми часовом рабочем дне, если производительность задана функцией f(t)=-0,0033t2+0,089t+20,96, 1≤ t ≤8. Указание. Сначала найти объем продукции за 8 часов, затем умножить его на 258.

6.  При непрерывном производстве химического волокна производительность аппарата y(t) (т/ч) растет с момента запуска в течение 10 часов, а затем остается постоянной. Сколько волокна дает аппарат в первые сутки после запуска? Дано y(t)=et/5-1.

7.  Определение объема шихты, требуемый на изготовление металлических отливок, производится по формуле v=100(vот+vлит)/(100-m), где vот – объем готовой отливки; vлит – объем литников; vлит≈ 0,3vот; m – процент невозвратных потерь; m=10%. Найти объем шихты, необходимой для отливки шкива, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y(x)=x2+1, x=-1, x=2.

8.  Зависимость затрат времени t от степени освоения производства задается формулой t=ax-b, где a – затраты времени на первое изделие; x – порядковый номер изделия в партии; b – показатель производственного процесса. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от x1 до x2. Вычислить tср при a=600 мин., b=0,5, x1=100, x2=121.

9.  Переменные издержки производства определяются функцией y(x)=4x+1, где x – объем производственной продукции. Найти средние издержки при объеме производства, изменяющемся от 3-х до 5-ти ед.

10.  Опоры моста высотой 3 м в сечении представляют собой гиперболу yx=2, пересеченную прямыми y=2x+3, y=2x-3. Сколько потребуется машин бетона на 8 таких опор, если в машине 3 м3 бетона.

11.  Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения S=6 м2 наполнен водой до высоты H=5 м. Определить время T, в течение которого вся вода вытекает из резервуара через небольшое отверстие в его дне, площадью s=0,01 м2, если скорость истечения воды равна , где h – высота уровня воды над отверстием; g – ускорение силы тяжести.

12.  Скорость изменения расходов на питание y(x) в зависимости от изменения доходов x задана формулой . Найти годовой расход на питание, если известно, что годовой доход составил 1600 руб.

13.  Найти среднее значение издержек производства Kср, если предельная величина издержек равна K(x)=6x+4, а объем продукции изменяется от 0 до 3-х у. е. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

14.  Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?

15.  Силос заложен в яму параболического сечения шириной 10 м, глубиной 2 м, длиной 25 м. Определить, сколько силоса в яме.

16.  В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=2 м и высоты H=10 м через круглое отверстие в дне диаметра d=3 см?

17.  Под строительство больничного комплекса задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-t2+20t+5 (млрд. руб/год) в течение 10 лет с годовой процентной ставкой p=5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока

.

18.  Дана функция предельных издержек MC=3q2-48q+202, 1≤ q≤ 20. Найти функцию C=C(q) и вычислить издержки в случае производства 10 ед. товара, если цена единицы товара – 50 руб. Указание. MC=C'(q).

19.  В цехе выпускают продукцию 11 рабочих. Производительность i – го рабочего равна 1+0,1(i-1) кг продукции в час, i=1,...,11. Каждый рабочий дал 7 кг продукции. Определить суммарное время работы всех рабочих цеха и производительность труда всего цеха.

20.  В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=1 м и высотой H=2 м через круглое отверстие в дне диаметра d=1 см? Указание. См. №11

21.  В 1991 г. в некотором городе проживало 400 000 жителей, а в 1999 г. – 410 000. Найти среднюю численность населения в этом городе, используя формулу: , где – среднее население; T – период наблюдений; S0 – численность населения к началу периода; ST – численность населения к концу периода.

22.  Под строительство цементного завода задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-2t2+30t+100 (млрд. руб/год) в течение 8 лет с годовой процентной ставкой p=7%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока

.

23.  Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 200 м, ширина в центре – 50 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?

24. Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют вид: , . Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства; когда производство следует остановить?

25. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид:

26. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид:

27. Сколько лет нужно продолжать добычу нефти для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид: , ?

28. Сколько лет нужно продолжать добычу газа для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид:

, ?

29. Сколько лет нужно продолжать добычу руды для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид:

, ?

30. Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид: .

Найти функцию издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 9000 тыс. руб.

Литература

1.  Е. Кочович, Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.

2.  Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум, часть I, II/Под. ред. . – М.: Высшее образование, 2005

3.  , , Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2003

4.  , , Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005

Составители:

Наталья Геннадьевна Дементьева

Вячеслав Федорович Казак

Ирина Эдуардовна Симонова

Задачи по математике для экономистов

Методические указания

Под редакцией авторов

Темплан 2007 г., поз. № 45.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,19. Усл. авт. л. 2,0.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.