Тема: Интегральное исчисление функции одной переменной

ТЕМА: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Неопределенный интеграл

ПЛАН

1. Понятие первообразной функции.

2. Неопределенный интеграл.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица основных интегралов.

-1-

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x) = f(х) (или дифференциал).

Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления. Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(х).

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если для всех значений х из того промежутка выполняется равенство

F'(x) = f(х) (или dF(x)=f(x)dx).

Рассмотрим примеры.

1. Первообразной для функции у=х2, , является функция , так как .

2. Первообразной для функции у=cos x, , является функция , так как .

Задача отыскания по заданной функции f(х) ее первообразной решается неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции , и вообще , где С – некоторое число, являются первообразными для функции f(x)= x2.

Аналогично в общем случае, если F(x) – некоторая первообразная для функции f(х), то, поскольку (F(x)+С)'= F'(x)= f(х), функции вида F(x)+С, где С – произвольное число, также является первообразными для f(х).

Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных для f(х) задается формулой F(x)+С, где С – постоянное число (без доказательства).

-2-

Определение. Множество всех первообразных функций F(x)+С на промежутке Х для функции f(х) называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом .

Таким образом, по определению =F(x) + C . (1)

Здесь f(х) – подынтегральная функция,

– подынтегральное выражение,

х – переменная интегрирования,

∫ – знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

-3-

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства.

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

. (2)

∆ Дифференцируя левую и правую части равенства (1), получаем

. ▲

2°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

d . (3)

∆ По определению дифференциала и свойству 1 имеем

d . ▲

Благодаря этим свойствам правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство ∫(3х2+4)dx=х3+4х+С верно, т. к. (х3+4х+С)'=3х2+4.

3°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

∫dF(x)=F(x)+C, (4)

где С – произвольное число.

∆ Рассматривая функцию F(x) как первообразную для некоторой функции f(x), можно записать ∫f(x)dx=F(x)+C и на основании (3) дифференциал неопределенного интеграла f(x)dx=dF(x), откуда

∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C. ▲

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимообратны (знаки d и ∫ взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3 с точностью до постоянного слагаемого).

4°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

∫ κf(x)dx=κ ∫f(x)dx , (5)

где κ – некоторое число отличное от 0.

5°. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx. (6)

6°. Если F(x) – первообразная для f(x), то - первообразная для функции f(κx+b), т. е.

, (κ≠0). (7)

Пример. Найти интеграл .

Решение.

,

где .

-4-

Таблица основных интегралов

1. . 11. .

2. . 12. .

3. . 13. .

4. . 14. .

5.. 15. .

6. . 16. .

7. . 17. .

8. . 18. .

9. . 19. .

10. . 20. .

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием.

§ 2. Основные методы интегрирования

ПЛАН

1. Метод непосредственного интегрирования.

2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

3. Метод интегрирования по частям.

-1-

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

1. Выражение не изменяется, если под знаком дифференциала к функции прибавить постоянную величину, т. е.

du=d(u+С), где С- число.

2. Если под знаком дифференциала функцию умножить на постоянную величину, все выражение нужно разделить на эту же постоянную величину, т. е.

где С – число.

Формула очень часто используется при вычислении интегралов. Например,

Примеры:

1. .

2. .

5

6..

Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности, так сказать «индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции». Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений.

-2-

Метод интегрирования подстановкой заключается во введение новой переменой интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и получаем формулу интегрирования подстановкой

. (1)

Пример 1: Найти .

Решение: Положим х=4t, тогда dx=4dt. Следовательно,

.

Пример 2: Найти

Решение: Положим t=1-x2. Тогда , . Следовательно,

Пример 3. Найти

Решение: Обозначим lnx=t, тогда Следовательно,

-3-

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: . Интегрируя это равенство, получим или

(2)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. При ее применении подынтегральное выражение искомого интеграла разбивается на два сомножителя (u и dv). При переходе к правой части (2) первый из них дифференцируется (), второй интегрируется . Иногда эту формулу приходиться использовать несколько раз.

Пример 4: Найти

Решение: Пусть

(можно положить С=0) Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

Пример 5: Найти

Решение: Пусть

Поэтому:

.

Пример 6: Найти

Решение: Пусть

Поэтому:

Для вычисления интеграла , снова применим метод интегрирования по частям: u=x, dv=ex dx v=ex

Значит,

Поэтому: .

Пример: Найти x dx

Решение: Пусть

Поэтому:

=.

§3. Интегрирование рациональных функций

ПЛАН

1. Правильные и неправильные рациональные дроби, выделение целой части у неправильной дроби.

2. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей, метод сравнивания коэффициентов.

3. Интегрирование простейших рациональных дробей.

4. Общее правило интегрирования рациональных дробей.

-1-

Целой рациональной функцией (многочленом) называется функция вида

, (1)

где а0, а1,…,аn – постоянные, называемые коэффициентами многочлена; число n – постоянная, называемая показателем степени многочлена.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух целых рациональных функций (многочленов), т. е. , где Рm(х)- многочлен степени m, а Qn(x)- многочлен степени n.

Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m<n; в противном случае () функция называется неправильной.

Всякую неправильную дробно-рациональную функцию можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(х) и правильной рациональной функции , т. е. .

Например: - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель в столбик.

Получим частное L(х)=х3+2х2+4х+3 и остаток R(х)=15. Следовательно,

= х3+2х2+4х+3+.

В случаях, когда дробь не громоздкая, можно поступить следующим образом:

1. .

2. .

3. .

-2-

Простыми дробями называют дроби следующих типов:

1) ; 2) ; 3); 4) ,

где A, M, N, a, p, q – действительные числа, k=2,3,…., m=2,3,….., квадратный трехчлен x2+px+q не имеет корней.

Рассмотрим 3 случая разложения дробно-рациональных функций:

1) Множители знаменателя линейные, они различны. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

2) Наряду с линейными различными множителями знаменателя (которых может и не быть) присутствуют повторяющиеся линейные множители. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.

.

3) Наряду с линейными множителями знаменателя встречаются выражения второй степени, не разлагающиеся на линейные множители.

.

В рассмотренных примерах A, B, C, D, E, M, N – неизвестные коэффициенты (числа). Для их нахождения существует множество методов. Рассмотрим один из них - метод сравнивания коэффициентов (метод приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х).

Алгоритм метода сравнивания коэффициентов.

1. Дробь разложить на простые дроби.

2. Правую часть дроби привести к общему знаменателю.

3. Знаменатели отбросить.

4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.

5. Решить систему линейных уравнений, из которой и определить искомые коэффициенты.

Пример 2: Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Решение. ;

; ;

.

Приравнивая коэффициенты получим: .

Решая систему, получим A=-1, B=3, C=-2.

Следовательно,

Пример 3: Разложить на элементарные дроби.

Решение: Т. к. x2-5x+6=(x-3)(x-2), то

; ;

A=5, B=-3

Таким образом

-3-

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.

I. .

II. .

III.

Выделив в знаменателе полный квадрат, получим.

, причем

Сделаем подстановку . Тогда , dx=dt.

Положим , тогда получаем

Возвращаясь к переменной х, получим:

Пример 4. Найти .

Решение: , сделаем подстановку х+1=t, тогда х=t-1, dx=dt.

.

Рассмотрим другой подход.

Рассмотрим частный случай, если p=0, т. е. интеграл вида

Для нахождения этого интеграла достаточно найти интегралы

и

Интеграл сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу: , если ac>0, либо к интегралу: , если ac<0.

Для нахождения интеграла используем замену переменной . Тогда , и

Окончательно имеем .

Возвращаясь к интегралу , заметим, что его можно привести к виду , если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую замену переменной.

-4-

Рассмотренный материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.  Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2.  Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример: Найти

Решение: , то

;

; ;

Тема №4: Интегрирование тригонометрических функций.

План

1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

2. Интегралы типа .

3. Использование тригонометрических преобразований.

-1-

Функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление) принято обозначать R (sin x; cos x), где R- знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно, .

Из равенства получаем x=2 arctg t, .

Поэтому, ,

где R1(t)- рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1.  Если функция R (sin x; cos x) нечетна относительно sin x, т. е.

R(-sin x; cos x) = - R (sin x; cos x),

то подстановка cos x = t рационализирует интеграл.

2.  Если функция R (sin x; cos x) нечетная относительно cos x, т. е.

R ( sin x; - cos x)=-R (sin x; cos x),

то делается подстановка sin x=t.

3.  Если функция R (sin x; cos x) четная относительно sin x и cos x, т. е.

R (-sin x; - сos x)=R(sin x; cos x),

то интеграл рационализируется подстановкой tgx = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .

Пример 1. Найти .

Решение: Положим . , ,

.

Пример 2: Найти

Решение: Так как R(-sinx; - cosx)=,то полагаем tgx=t.

Отсюда , и .

Поэтому,

-2-

Рассмотрим три вида интегралов.

1. Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел m, n – нечетное.

В данном случае из нечетной степени нужно выделить первую степень функции и подвести ее под знак дифференциала, оставшуюся четную степень функции преобразовать в ту функцию, которая находится под знаком дифференциала по формуле: .

Пример 3. Найти интеграл .

==)===.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение: ==-=-=

=-cosx+.

2. Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные четные числа.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение:

В данном случае используются формулы понижения степени: , и формула .

3. Интегралы вида , где m+n – целое отрицательное четное число. В этом случае используется подстановка tgx=t.

-3-

Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение.

Тема №5. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа: , , - называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку

При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 1. Найти интегралы

1.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем.

Делаем подстановку , ,

.

2.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем в знаменателе.

Делаем подстановку , , dx=dt

Интегралы типа рационализируются заменой переменной

Пример 2. Найти

Решение: Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, данный интеграл является интегралом типа замена переменной , тогда , , , . Следовательно,

Сделаем замену переменной еще раз

где С1=С-11

Замечание 1. Многие интегралы можно брать различными методами (например, подстановкой или подведением под знак дифференциала). Интеграл следует брать тем методом, который не создает громоздких вычислений. Рациональный выбор метода интегрирования обусловлен практическим опытом.

Замечание 2. При интегрировании функции различными методами получаются на первый взгляд различные ответы (по форме записи, по виду тригонометрической функции и т. д.). В конечном итоге все эти ответы различаются на постоянную величину, что обусловлено самим понятием неопределенного интеграла, и сводятся друг к другу путем математических преобразований. Данная постоянная величина входит в состав постоянной интегрирования С.

Некоторые интегралы нельзя взять ни одним из рассмотренных методов интегрирования. Это интегралы вида

и другие. Их называют «неберущимися», но они реально существуют, хотя и представляют собой функции другой природы, не приводящиеся к элементарным функциям.