Лекция: Основы дифференциального исчисления (Производная)

Лекция: Основы дифференциального исчисления (Производная)

Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение секущей при будем называть касательной.

Определение. Производной функции в точке называется значение если этот предел существует.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной.

Физический смысл производной – скорость изменения функции.

Если рассмотреть свободное падение тела с ускорением то путь пройденный телом за время определяется формулой Тогда Таким образом, значение производной равно скорости тела в момент времени

Если в данной точке существует касательная, то в этой тоске существует и производная. И наоборот.

А если в данной точке графика нельзя построить касательную, то в этой точке и не существует производной.

Уравнение касательной

Прямая, проходящая через точку с угловым коэффициентом задается уравнением

Учитывая геометрический смысл производной, получим уравнения касательной к графику в точке

Утв.1 Производные элементарных функций

Алгоритм нахождение производной функции:

а) Вычислим отношение

в) Вычислим предел

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Замечание: Доказательство пределов, используемых в утверждениях приведено в Утв.7

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке если в этой точке существует производная.

Определение. Функция называется дифференцируемой на отрезке если в каждой точке этого отрезка существует производная.

Утв.2 (Производная обратной функции)

Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке и существует обратная функция то

Действительно,

Например:

Утв.3 Если функция имеет конечную производную в точке то

где бесконечно малая от

Действительно,

Следствие (Связь между непрерывностью и производной)

Если функция имеет конечную производную в точке то непрерывна в этой точке.

Действительно, из Утверждения 2 следует, что при

Утв.4 Арифметические операции над пределами

Если функция и существуют, то:

1)

2)

3)

4)

Докажем 3) Пусть Тогда

Наконец,

Докажем 4)

Утв.5 (Производная сложной функции)

Пусть Если функция имеет конечную производную в точке а функция имеет конечную производную в точке то функция имеет конечную производную в точке причем

Доказательство. Из Утверждения 2 следует, что где бесконечно малая от а бесконечно малая от

Тогда

Отсюда и из условий получаем, что

Утв.6 (Приложения)

1) Если для двух дифференцируемых функций справедливы условия и то для всех

2) Если для двух дифференцируемых функций справедливы условия и для всех то уравнение для всех

Утв.7 (Замечательные пределы)

Справедливы утверждения:

1)

2)

3)

4)

Доказательство. Предел 1) доказан во втором полугодии.

Докажем 2):

Докажем 3): Обозначим Тогда

Докажем 4): Обозначим Тогда

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если непрерывная функция в некоторой точке имеет локальный максимум (локальный минимум) и имеет в этой точке конечную производную то

Доказательство. Пусть в точке функция имеет локальный максимум. Тогда в некоторой окрестности точки

Рассмотрим знак выражения Если то а если то

Так как производная в точке существует, то пределы справа и слева равны, т. е. производная равна нулю.

Теорема Ролля. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке дифференцируема на отрезке и Тогда существует точка в которой

(Существует точка, в которой производная равна нулю, а касательная параллельна оси )

Доказательство.

определена и непрерывна на отрезке достигает на наибольшего и наименьшего значений и Если то постоянна на этом отрезке и для всех

Если то одно из этих значений достигается внутри а по теореме Ферма производная в этой точке будет равна нулю.

Следствие1. Между каждыми двумя корнями дифференцируемой функции расположен хотя бы корень производной.

Следствие2. Если - кратный корень функции то - корень производной.

Действительно, если то и

Пример 1. Докажите, что уравнение имеет не более трех корней.

Решение. Пусть уравнение имеет более 4-х корней. Тогда (из т. Ролля) уравнение имеет более трех корней, уравнение имеет более 2-х корней, а уравнение имеет хотя бы один корень. Противоречие.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Так как уравнение не имеет алгебраического решения, то корни можно легко подобрать: Докажем, что других корней нет. Пусть уравнение имеет более 3-х корней. Тогда уравнение должно иметь 2 корня, но это неверно.

Теорема Лагранжа

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема на отрезке Тогда существует точка в которой

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Легко проверить, что и но тогда по теореме Ролля существует точка такая, что

Касательная в точке параллельна секущей, проходящей через точки

Следствие. (Формула конечных приращений)

Пример 3. Прямая пересекает график функции не более чем в двух точках.

Доказательство. Пусть прямая пересекает график функции в 3-х точках Тогда (по теорема Лагранжа) на отрезках и существую точки в которых касательные параллельны прямой т. е. производные в этих точках равны Если то В случае знак в последнем неравенстве сменится на противоположный. Противоречие.

Формула Тейлора для многочленов

Рассмотрим многочлен

Вычислим производные этого многочлена:

.

.

.

При получим следующие равенства:

Отсюда

Таким образом, многочлен можно представить следующим образом

Или в виде

Если рассмотреть дифференцируемую функцию и для нее построить ряд Тейлора

то и можно рассматривать приближения функций многочленами с точностью, достаточной для решения большинства прикладных задач.

Рассмотрим приближенные значения некоторых функций.

Исследование функций с помощью производных

Теорема о постоянной функции

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и для всех Тогда

Доказательство. Из теоремы Лагранжа для любого

Физический смысл теоремы: Если скорость точки в каждый момент времени равна нулю, то точка находится в состоянии покоя.

Следствие. Если для всех то

Действительно, функция определена и непрерывна на отрезке и для всех Тогда

Пример 3. Найдите все пары чисел при которых функция постоянна в области определения.

Решение. Так как функция постоянна, то ее производная должна быть равна нулю в любой точке: Ответ:

Теорема (условие монотонности)

Если функция определена и непрерывна на отрезке и для всех то возрастает.

(Если для всех то убывает)

Доказательство. Для любых из теоремы

Лагранжа получаем:

Пример 4. Определите промежутки монотонности функции

Решение. Решим неравенство

Если то возрастает, а если то убывает.

Пример 5. Определите промежутки монотонности функции

Решение. Так как то убывает в области определения.

Точки экстремума

Определение. Точка является точкой является точкой локального максимума (локального минимума) функции если существует окрестность точки такая, что для всех выполняется неравенство

Определение. Точка называется точкой экстремума функции если точка является точкой локального минимума или точкой локального максимума функции.

Необходимое условие экстремума.

Если точка экстремума функции и в этой точке существует производная, то

Обратное утверждение не верно. Для функции однако, не является точкой максимума функции.

Если точка экстремума функции то производная меняет знак при переходе через эту точку.

Если является точкой является точкой локального максимума функции то при и при Т. е. при переходе через точку производная меняет знак с на

Если является точкой является точкой локального минимума функции то убывает при и возрастает при Т. е. при переходе через точку производная меняет знак с на

Утв. 1 (первое условие экстремума)

Если при переходе через точку производная меняет знак с на то точка локального максимума.

Если при переходе через точку производная меняет знак с на является точкой локального минимума

Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума:

- отметим все критические точки функции:

- рассмотрим смену знака производной при переходе через каждую точку критическую точку

- если меняет знак при переходе через точку то критическая точка является точкой экстремума функции

Заметим, что на каждом отрезке производная определена, сохраняет знак и не равна нулю.

Утв. 2 (Второе условие экстремума)

Если точка локального минимума функции и существует то

Если точка локального максимума функции и существует то

Доказательство. Из выражения учитывая смену знака первой производной при переходе через точку экстремума, получим требуемое утверждение:

- если точка локального минимума, то

- если точка локального максимума, то

Пример 6. Определите точки экстремума функции

Решение. График производной – парабола с ветвями вверх и корнями При переходе через точку знак производной меняется с на точка максимума.

При переходе через точку знак производной меняется с на точка минимума.

С другой стороны, по второму признаку,

Пример 7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

(Найдите образ отрезка при отображении )

Решение.точки экстремума функции. Чтобы ответить на вопрос задачи надо сравнить между собой следующие значения: Наибольшее значение функции на данном отрезке равно наименьшее -

Т. е. образ отрезка при отображении равен отрезку

С помощью производной можно решать следующие задачи:

Пример 8. Найдите критические точки функций

Пример 9. Сколько нулей имеет функция

Пример 10. Найдите абсциссы всех точек графика функции касательные в которых параллельны прямой или совпадают с ней.

Пример 11. Докажите неравенство

Пример 12. Представьте число 26 в виде суммы трех положительных чисел, сумма квадратов которых наименьшая, если второе слагаемой втрое больше первого.

Пример 13. В трапецию (боковая сторона и перпендикулярна основанию) вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна его сторона лежит на большем основании.

Пример 14. 29. Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Пример 15. При каких уравнение имеет решение? (не имеет решений?)

Пример 16. На рисунке изображен график функции Точка центр симметрии графика функции. Определите знаки коэффициентов

Пример 17. Парабола пересекает ось абсцисс в точках Известно, что угол между касательными к параболе, проведенным в точках равен Найдите площадь треугольника где – вершина параболы.

Пример 18. Касательная к графику пересекает координатные оси в точках , причем Найдите длину отрезка

Пример 19. График функции пересекает ось ординат в точке и имеет ровно две точки пересечения и с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке проходит через точку Найдите числа если площадь треугольника равна

Пример 20.

Решите уравнение

Пример 21. Сколько положительных корней может иметь уравнение

Пример 22. Докажите тождество

Выпуклость, вогнутость графика функции.

Точки перегиба.

Определение. График функции называется выпуклым вверх (вниз), если для любого график функции лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке

Точки, в которых происходит смена выпуклости на вогнутость, называются точками перегиба.

Определение. Точка называется точкой перегиба, если существует дуга на графике функции содержащая точку такая, что дуги и расположены по разные стороны от касательной, проведенной в точке

Теорема (О выпуклости графика функции)

Пусть в любой точке существует вторая производная Тогда:

- Если то график функции выпуклый вниз;

Если то график функции выпуклый вверх.

Доказательство. Пусть а уравнение касательной в точке имеет вид По теореме Лагранжа

Вычислим знак Если то и из условия теоремы следует, что т. е. график функции не выше графика касательной, а функция выпуклая вверх.

Если то и из условия теоремы следует, что т. е. функция выпуклая вверх.

Теорема (Необходимое и достаточное условие перегиба)

- Пусть график функции имеет перегиб в точке Тогда либо не существует.

- Если существует и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка перегиба.

Пример 22. Определите промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение. График второй производной – парабола с ветвями вверх и корнями

Если то и выпуклая вниз.

Если то и выпуклая вверх.

Если то и выпуклая вниз.

Точки перегиба