Основы научно-методической деятельности (стр. 4 )

Величина коэффициента корреляции может колебаться от –1 до +1. Если коэффициент корреляции находится в пределах 0,99—0,7, связь считается сильной, при коэффициенте 0,69—0,5 — средней, при значениях 0,49—0,2 — слабой, и при коэффициенте корреляции меньше 0,19 — очень слабой.

Для изучения меры связи при линейной корреляции в зависимости от того, по какой шкале произведены измерения, вычисляется тот или иной вид коэффициента.

Вычисление значения коэффициента взаимосвязи — механическая процедура счета. Однако ей должны предшествовать вопросы, относящиеся к изучаемым показателям, на которые необходимо ответить. Например, в какой шкале измеряется изучаемый показатель, как много измерений этого показателя выполнено, можно ли считать ряд измерений показателя выборкой, имеющей нормальный закон распределения и др.

Вычисление рангового коэффициента корреляции

Определение взаимосвязи показателей, измеренных в шкале порядка, производят с использованием ранговых коэффициентов корреляции. Один из них — ранговый коэффициент корреляции Спирмэна («ро» — ρ). Его вычисляют по формуле:

ρ = 1 – ,

где d = dx – dy — разность рангов данной пары показателей X и Y, n — объем выборки (число испытуемых).

Рассмотрим для примера оценку взаимосвязи показателей: Х — место, занятое в прыжках в длину с места, Y — место, занятое в беге на 60 м.

Порядок вычисления рангового коэффициента корреляции Спирмэна (р) будет следующим (табл. 2):

1.  Проранжировать (упорядочить и приписать порядковые номера) показатели Х и Y.

2.  По каждому признаку поставить ранговые числа. При этом когда попадаются одинаковые значения, например 7,9; 8,2 по признаку Y, в этом случае общим для обоих значений будет среднеарифметический ранг (4,5; 7,5)

3.  Вычислить разность рангов (d = dx – dy) с сохранением соответствующего знака.

4.  Возвести разность рангов в квадрат.

5.  Вычислить сумму квадратов разности.

6.  Вычислить значение ρ по формуле:

ρ = 1 – = 1 – = 1 – 0,194 = 0,806

Таблица 2

Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена

№ п/п	Алгоритм вычисления
X	Y	dx	dy	dx –dy	(dx–dy)2
1	250	7,7	1	2,0	–1,0	1,0
2	247	7,6	2	1,0	1,0	1,0
3	245	7,9	3	4,5	–1,5	2,25
4	243	7,9	4	4,5	–0,5	0,25
5	238	7,8	5	3,0	2,0	4,0
6	236	8,4	6	10,0	–4,0	16,0
7	230	8,2	7	7,5	–0,5	0,25
8	225	8,0	8	6,0	2,0	4,0
9	224	8,2	9	7,5	1,5	2,25
10	215	8,3	10	9,0	1,0	1,0
Сумма						32,0

Значение ρ = 0,806 характеризует сильную положительную взаимосвязь. Другими словами, «взрывная» сила мышц, достаточно сильно определяет результат в беге на 60 м.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна изменяется в пределах от –1 до +1. Достоинством ранговых коэффициентов корреляции является простота вычисления. Поэтому ими следует пользоваться для быстрой оценки взаимосвязи, когда показатели или признаки не могут быть измерены точно, но могут быть ранжированы. Однако необходимо проверить, насколько достоверно значение рассчитанного нами коэффициента корреляции. Для этого необходимо сравнить его с критическим значением. Если вычисленный коэффициент ранговой корреляции превышает значение критического (ρфак > ρкрит), то наличие связи считается достоверным, и наоборот. По таблице (приложение 5), в которой приведены критические значения ρ для различных чисел парных наблюдений (n) и уровней значимости (Р = 0 ,05 и Р = 0,01), находим критическое значение для n = 10. Оно равно 0,564 при уровне значимости 0,05 и 0,746 — при уровне значимости 0,01. В нашем случае вычисленный коэффициент равен 0,806, превышая критическое значение при уровне значимости 0,01. Следовательно, проявление связи между «взрывной» силой мышц ног и результатом в беге на 60 м можно считать достоверной (ρ = 0,806 при Р < 0,01).

Вычисление корреляции при количественных измерениях

Для оценки взаимосвязи, когда измерения производят в шкале отношений или интервалов и форма взаимосвязи линейная, используется коэффициент корреляции Бравэ — Пирсона. Обозначается он латинской буквой r. Вычисление значения r чаще всего производят по формуле:

r = ,

где и — средние арифметические значения показателей х и у.

Например, студенты первого курса были подвергнуты испытаниям в следующих контрольных упражнениях (тестах): беге с ходу на дистанции 30 м (результат в секундах обозначим x) и тройном прыжке с места (результат в метрах обозначим y). Всего в испытаниях участвовало 10 человек. Результаты испытаний и промежуточных вычислений представлены в таблице 3.

1. Вычислить и . Суммы результатов столбцов 1 и 2 разделить на п.

= = = 3,7; = = = 7,33.

2. Вычислить (x – ) — столбец 3 и (y – ) — столбец 4.

3. Вычислить произведения (x – )(y – ) и их сумму — столбец 5.

4. Вычислить сумму квадратов разностей ∑(x – )2 — столбец 6 и ∑(y – )2 — столбец 7 (значения столбцов 3 и 4 возвести в квадрат и получившиеся результаты просуммировать).

5. Вычислить r. Подставить полученные значения в формулу:

r = = = = = –0,75.

Таблица 3

Расчет коэффициента корреляции Бравэ — Пирсона

№ п/п	Номер столбца
1	2	3	4	5	6	7
Алгоритм вычисления
X	Y	(x–)	(y–)	(x–)(y—)	(x–)2	(y–)2
1	3,5	8,05	–0,2	0,72	–0,144	0,04	0,5184
2	3,6	7,34	–0,1	0,01	–0,001	0,01	0,0001
3	3,6	7,37	–0,1	0,04	–0,004	0,01	0,0016
4	3,6	7,77	–0,1	0,44	–0,044	0,01	0,1936
5	3,8	7,04	0,1	–0,29	–0,029	0,01	0,0841
6	3,7	7,17	0	–0,16	0	0	0,0256
7	3,9	6,50	0,2	–0,83	–0,166	0,04	0,6889
8	3,4	8,15	–0,3	0,82	–0,246	0,09	0,6724
9	3,6	6,98	–0,1	–0,35	0,035	0,01	0,1225
10	3,6	6,97	–0,1	–0,36	0,036	0,01	0,1296
Сумма	36,8	73,34			–0,563	0,23	2,4368

Таким образом, между результатами в беге на дистанцию 30 м с ходу и результатами в тройном прыжке с места выявлена отрицательная сильная статистическая взаимозависимость. Теперь определим достоверность полученного значения коэффициента, для чего сравним его с критическим значением по специальной таблице. Если полученное значение коэффициента корреляции превосходит табличное значение при заданном уровне значимости (r > rкрит), то наличие отрицательной связи между результатом в беге на 30 м и тройном прыжке с места можно считать достоверным и наоборот. По таблице (приложение 6) находим критическое значение при n=10. Это значение равно 0,632, следовательно, мы имеем неравенство r > rкрит (0,75 > 0,632), поэтому проявление сильной отрицательной связи достоверно (r = –0,75 при Р < 0,05). Это значит, что улучшение результата (уменьшение времени) в беге связано с улучшением (повышением) результата в тройном прыжке.