Рассмотрено и утверждено

на заседании кафедры математики, ТиМОМ

протокол от 01.01.2001 г.

зав. кафедрой _________________

Требования к зачету по дисциплине «Алгебра»

1 курс, направление подготовки 010100_2 «Математика»,

профиль «Вычислительная математика и информатика»

2 семестр, уч. г., ОДО

Составитель: к. п.н., доц.

1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам.

2. Знать основные понятия и утверждения изученной теории, иллюстрировать их примерами.

Самостоятельная работа № 1

Тема: «Системы линейных уравнений»

Вариант № 1

1.Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы (1):

(1)

Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия решений системы линейных уравнений.

2. Как изменится количество решений системы (1),если к ней добавить уравнение 5x1 - 5 x2 + 3 x3 = 8?

3. Сколько решений имеет система уравнений (2)?

Вариант № 2

1.Исследуйте систему на совместность и определите количество решений системы (1):

(1)

Найти базис направляющего подпространства и вектор сдвига линейного многообразия решений системы линейных уравнений.

2. Как изменится количество решений системы (1),если к ней добавить уравнение 3x1 - 3 x2 + 2 x3 -2x4= 7?

3. Сколько решений имеет система уравнений (2)?

Самостоятельная работа № 2

Тема: «Обратная матрица, матричные уравнения»

Вариант № 1

1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A × X = B.

A = , B =

3. Найдите обратную матрицу. При каких ограничениях на параметры матрица обратима.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а) .

Вариант № 2

1. Вычислить A-1 и сделать проверку. 2. Решить матричное уравнение A × X = B.

A = , B =

3. Найдите обратную матрицу. При каких ограничениях на параметры матрица обратима.

a) .

Самостоятельная работа № 3

Тема: «Векторные пространства. Системы линейных уравнений.

Матрицы и определители»

Вариант 1

1. Вычислить ранг системы векторов и определить является ли система линейно зависимой a1 = ( 1, 2, 1, -1, 7 ), a2 = ( 2, 4, 3, 0, 6 ), a3 = (3, 6, 3, -3, 21),

a4 = ( 4, 8, 6, 0, 12 )?

2. Решить систему а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

3. Вычислить произведение матриц:

А ∙В = ∙

4. Найти А-1, если

А =

Вариант 2

1. Вычислить ранг системы векторов и определить является ли система линейно зависимой a1 = ( 1, 3, -1, 1, 2 ), a2 = ( 2, 6, -3, 0,2 ), a3 = (3, 18, -3, 3, 6),

a4 = (4, 12,- 6, 0, 4 )?

2. Решить систему а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера:

3. Вычислить произведение матриц:

А ∙В = ∙

4. Найти А-1, если

А =

Контрольная работа (Тест)

Тема: «Матрицы и определители»

Вариант 1

I уровень

Заполнить пропуски:

1.1.  Произведение матриц A3 x 2 и B2 x 4 равно матрице С размерности …, её элемент с23 находится по правилу … .

1.2.  Множество матриц … образует векторное пространство над …

1.3.  Произведение а12 . а21 . а33 . а44 входит в определитель … порядка со знаком …

1.4. Разложение определителя по второму столбцу имеет вид …

Определить истинно или ложно утверждение:

1.5. Матрица, определитель которой равен 2, обратима.

1.6. Определитель не изменится, если одну из строк умножить на ненулевое число и прибавить к ней другую строку.

1.7. Алгебраическое дополнение элемента а21 единичной матрицы Е3 х3 равно: 1) 0; 2) 1; 3) –1. Указать номер правильного ответа.

II уровень

2.1. Решить матричное уравнение А. Х = В

А = В = С =

2.2. Вычислить определитель матрицы С.

2.3. Решить систему линейных уравнений (1) с помощью правила Крамера.

(1) (2)

IIIуровень

3.1. Решить уравнение (2).

3.2. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам 1-ой строки числа в, а другой аналогичным образом прибавлением числа (-в).

Вариант 2

I уровень

Заполнить пропуски:

1.1  Произведение матриц A2 x 4 и B4 x 3 равно матрице С размерности …, её элемент с21 находится по правилу … .

1.2.Множество матриц … образует кольцо.

1.3. Произведение а13 . а24 . а32 . а41 входит в определитель … порядка со знаком …

1.4. Разложение определителя по третьему столбцу имеет вид …

Определить истинно или ложно утверждение:

1.5. Матрица А3 х 3 , ранг которой равен 2, обратима.

1.6. Общий множитель элементов определителя можно вынести за знак определителя.

1.7. Элемент в12 матрицы В = можно вычислить по формуле: 1) в12 = А12 : |А|; 2) в12 = А21 : |А|; 3) а12 : |А|. (Aij – алгебраическое дополнение элемента аij невырожденной матрицы А). Указать номер правильного ответа.

II уровень

2.1. Решить матричное уравнение А. Х = В

А = В = С =

2.2. Вычислить определитель матрицы С.

2.4. Решить систему (1) линейных уравнений с помощью правила Крамера.

(1)

IIIуровень

3.1. Вычислить все члены определителя матрицы А4 х 4 , входящие в него со знаком «минус» и содержащие сомножителем а23.

3.2.Числа 20927, 53227, 20604, 25755, 289 делятся на 17. Доказать, что определитель D также делится на 17, не вычисляя его.

Самостоятельная работа № 4

Тема: «Линейные операторы и их матрицы»

Вариант № 1

1. Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.

2. Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу = . Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если

f1 = e1+ e3,, f2 = e1+ e2+ e3, f3 = e1+ 2e3.

3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:

= (x1 - x2 , x1 - x2, x3)

4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .

=

Вариант 2

1.Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2 – x3, - 3x2+3x3, x2 - x3 ). Опре­де­лить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.

2. Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу = . Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если

f1 = e1+ e3, f2 = e1+ e2+ e3, f3 =2e1+ e2 + 3e3.

3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:

= (x1 , x1,0)

4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .

=

Вопросы к коллоквиуму 1 по алгебре

Тема: “ Системы линейных уравнений. Матрицы и определители.”

1. Первоначальные сведения о системах линейных уравнений. Элементарные

преобразования и равносильность систем линейных уравнений.

2. Ступенчатые матрицы и вычисление ранга матрицы. Критерий совместности системы

линейных уравнений. Примеры.

3. Свойства решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений, связь

между решениями этих систем.

4. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Фундаментальная система решений. Примеры.

5. Метод Гаусса.

6. Операции над матрицами, их свойства. Векторное пространство матриц одинаковой

размерности над полем F. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Примеры.

7. Обратимые матрицы, их свойства. Критерий обратимости матрицы. Способы

вычисления обратной матрицы. Примеры.

8. Подстановки, их чётность. Определители 2-го и 3-го порядка. Схема треугольников.

9. Определитель n-го порядка, его свойства и вычисление.

10. Крамеровы системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Примеры.

Вопросы к коллоквиуму 1 по алгебре

Тема: “ Линейные операторы векторных пространств”

1.  Линейные операторы: определение, примеры и свойства.

2.  Ядро и образ линейного оператора, дефект и ранг.

3.  Теорема о сумме ранга и дефекта.

4.  Матрица линейного оператора. Взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами и их матрицами.

5.  Связь между координатными столбцами x и .

6.  Преобразование координат при изменении базиса. Матрица перехода.

7.  Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.

8.  Операции над линейными операторами и их матрицами.

9.  Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

10.  Нахождение собственных векторов линейного оператора.