Введем радиус – вектор
r = { x y z } или r = xi+ yj+ zk . (7.8)
Подставляя (7.7) , (7.8) в (7.6) получаем:
N r + D =
Так как | N | = N =√ А2+В2+С2 ≠ 0, то разделим (7.9) на модуль вектора N
(N/ N)r = D/ N .
Обозначим
Nо= N/ N; p= D/ N , (7.10)
Nо r = p . (7.11)
Выражение (7.11) в математике называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме.
Входящие в него компоненты Nо и p имеют следующий геометрический смысл (рис. 7.1):
Рис. 7.1. Геометрический смысл констант нормального уравнения плоскости
p – скаляр, равный расстоянию от начала координат до плоскости π по нормали. r – текущий радиус – вектор плоскости.
Из общего (скалярного) уравнения плоскости в трехмерном пространстве
Аx + Вy + Сz + D = 0 (7.6)
мы получили, так называемое, нормальное уравнение плоскости в векторной форме
Nо r = p. (7.11)
Сравним полученное нормальное уравнение плоскости (7.11) с выражением (7.5), которое вытекает из интеграла площадей (6.8).
Из сопоставления (7.5) и (7.11) следует, что выражение (7.5) представляет собой нормальное уравнение плоскости орбиты спутника, в котором векторная константа площадей с есть нормаль к плоскости орбиты, радиус – вектор спутника r – текущий радиус – вектор плоскости орбиты, а скаляр p=0, что свидетельствует о том, что плоскость орбиты проходит через начало координат инерциальной системы координат Оxyz.
Уравнение плоскости орбиты можно написать и так (|с |≠0):
соr = 0, (7.12)
где со – орт константы с.
Таким образом, из сопоставления (7.11) и (7.5) вытекает физический смысл векторной const площадей: это нормаль к плоскости орбиты, в которой совершается движение спутника. Если в качестве спутника рассматривать ИСЗ, тогда центральным телом будет являться Земля и плоскость орбиты ИСЗ будет рассекать Землю пополам, проходя через центр масс Земли. При этом плоскость орбиты будет оставаться ориентированной относительно «неподвижных» звезд, а Земля будет «проворачиваться» внутри орбитального кольца.
Тема 8. Углы Эйлера, определяющие ориентировку плоскости орбиты спутника.
На рис. 8.1. покажем плоскость орбиты спутника относительно ИСК Оxyz и два угла Эйлера, которые задают ориентировку плоскости.
Рис. 8.1. Углы Эйлера для плоскости орбиты спутника
Плоскость – двумерное тело, поэтому для задания ее ориентировки достаточно двух углов Эйлера:
- один угол i определяет наклон плоскости орбиты π к основной координатной плоскости Оxy и называется в небесной механике наклонением плоскости орбиты или наклоном плоскости орбиты (но не наклонностью) с областью определения 0<i<π;
- Другой угол Ω определяет ориентировку линии узлов орбиты ОΩ, относительно оси абсцисс ИСК Оxyz, с областью определения
0< Ω <2π . (8.2)
Этот угол в небесной механике называют прямым восхождением восходящего узла орбиты Ω (или долготой восходящего узла орбиты)
Орбита спутника пересекает основную координатную плоскость как минимум дважды, точки пересечения орбиты с основной координатной плоскостью называется узлами орбиты.
Точка Ω, в которую спутник переходит из области отрицательных аппликат (z<0) в область положительных (z>0), называется восходящим узлом орбиты.
Точка V, в случае невозмущенного движения, диаметрально противоположна восходящему узлу Ω. В ней спутник переходит из z>0 в область z<0. Точку V называют нисходящим узлом орбиты. Линию ОΩ, соединяющую начало координат О и восходящий угол Ω называют линией узлов орбиты.
Другой геометрический смысл линии узлов орбиты – это линия пересечения плоскости орбиты π с основной координатной плоскостью Оxy(Е).
Линия узлов – направленная линия.
Ее положительное направление от 0 до Ω. Орт линии узлов Ωо определяется через константу интегрирования с с помощью векторного произведения
i = {0,0,1 },
j = {0,1,0 },
k = {0,0,1 },
Ωо= (k ×с)/ | k ×с | . (8.4)
Теперь вычислим углы Эйлера i и Ω с помощью полученной константы с. Для этого воспользуемся понятием скалярного произведения двух векторов и следствием из него
аb=аbcosα , α (а˄b) , (8.5)
аb=аxbx + аyby + аzbz, (8.6)
аb/аb = f, (8.7)
α = arccos f ; f = аb/аb,
или
f = аxbx + аyby + аzbz, (8.8)
i = arcсos (kс/с) , (8.9)
или раскрывая с = схi + сyj + сzk, находим, что
f = kс/с = сz/с. (8.10)
Таким образом
i = arcos (сz/с
Для определения второго угла Эйлера Ω с областью [0 ; 2π) одной функции arccosf недостаточно для однозначного получения кругового значения угла Ω. В этом случае надо построить два вспомогательных вектора, с помощью которых можно будет получить Ω от 0 до 2π однозначно.
Введем орт Ωо линии узлов ОΩ посредством векторного произведения двух векторов k = { 0, 0, 1} и с = {сх, су ,сz} по формуле
Ωо = k ×с/ | k ×с | . (8.4)
Используя орт j оси ординат в качестве второго вектора, дополняющего искомый угол Ω до 90о. Теперь, применяя дважды скалярное произведение (один раз к углу Ω, другой к углу 90о - Ω), получаем:
|
g = jΩo = cos(90 - Ω) .
Отсюда
tg Ω = g/f. (8.13)
Круговое значение угла Ω находим с помощью алгоритма
Ωгл = arctgh, h = g/f,
Ωгл, если g>0 и f>0,
Ω= Ωгл + π, если f<0 и g – любое, (8.14)
Ωгл + 2π, если g<0 и f>0.
Таким образом, мы нашли два угла Эйлера i и Ω, задающие ориентировку плоскости орбиты, как функции начальных условий движения спутника:
r о = {хо, уо, zо } и rо˙ = {хо˙ ,уо˙, zо˙},
посредством которых в начале находился вектор с = rо × rо˙ , а затем по с углы i и Ω.
Тема 9. Элементарные матрицы поворота (или вращения)
Матрицы поворота применяются в небесной механике, в космической геодезии, фотограмметрии и и других геодезических дисциплинах, где применяется преобразование координат.
Определение: матрица поворота – ортогональная матрица, осуществляющая преобразование прямоугольных координат из одной системы в другую с общим началом. Элементарной матрицей поворота называется матрица размера 3×3, осуществляющая элементарный поворот координатной системы вокруг одной из координатных осей. Рассмотрим вывод одной элементарной матрицы поворота.
Постановка задачи: пусть дан r = {х, у, z} – в проекциях на оси исходной системы координат Охуz (рис.9.1)
Рис 9.1 – вращение исходной СК Охуz на угол α вокруг оси аппликат
Пусть исходная СК повернута на положительный угол α вокруг оси Оz. Положительный угол поворота α считается по правилу либо часовой стрелки, либо правилу винта или правой руки. После поворота исходной СК мы получим штриховую (новую) СК Ох˙у˙z˙.
Требуется преобразовать координаты вектора r из исходной СК в штриховую СК, то есть
r = {х, у,z} r = {х˙, у˙, z˙}. (9.1)
Решение задачи:
Так как в обеих системах вектор точки m один и тот же, то его можно представить разложением по координатным осям исходной и штриховой СК так:
r = х i + у j + z k = х˙ i˙ + у˙ j˙ + z˙ k˙ . (9.2) |i˙|j˙|k˙
Умножая скалярно равенство (9.2) сначала на орт i˙, затем его же на орт j˙и, наконец, на орт k˙, последовательно получаем:
х˙ = (i i˙)х + (j i˙)у + (k i˙)z
у˙ = (i j˙)х + (j j˙)у + (k j˙)z (9.3)
z˙ = (i k˙)х + (j k˙)у + (k k˙)z.
Перепишем три скалярных равенства в виде одного матричного равенства.
х˙ (i i˙), (j i˙), (k i˙) х
у˙ = (i j˙), (j j˙), (k j˙) у (9.4)
z˙ (i k˙), (j k˙), (k k˙) z.
Обозначим
cos(xx˙) cos(yx˙) cos(zx˙)
А = cos(xy˙) cos(yy˙) cos(zy˙) (9.5)
cos(xz˙) cos(yz˙) cos(zz˙) .
Из (9.5) следует, что
iх˙ jх˙ kх˙
А = iу˙ jу˙ kу˙ (9.6)
iz˙ jz˙ kz˙ ,
или i˙х i˙у i˙z
А = j˙х j˙у j˙z (9.7)
k˙х k˙у k˙z.
Таким образом, матрицу А называют матрицей направляющих косинусов осей одной СК по отношению к осям другой СК.
i= {iх˙, iу˙, iz˙} = {1, 0, 0},
j= {jх˙, jу˙, jz˙} = {0, 1, 0},
k˙={kх˙, kу˙, k z˙} = {0, 0, 1},
или А = [i j k] , (9.8)
или i˙
А = j˙ , (9.9)
k˙
Итак, матрица А есть матрица общего ортогонального преобразования.
Применим ее к нашему частному случаю – повороту исходной СК на угол α вокруг оси Оz.
х˙ cosα cos(90-α) 0 x
y˙ = cos(90-α) cosα 0 y
z˙ 0 0 1 z
или
x˙ cosα sinα 0 x
y˙ = - sinα cosα 0 y. (9.9)*
z˙ 0 0 1 z
Введем общее обозначение для элементарных матриц поворота
Ri(α) , (9.10)
Где R – матрица 3×3 поворота, i – индекс, принимающий значения i=1,2,3.
Если i=1, то ось поворота абсцисс, если i=2, то ось ординат, i=3- аппликат.
α – угол «+» поворота.
Применим обозначение (9.10) к (9.9)*. Тогда
х˙ х
у˙ = R3(α) у. (9.11)
z˙ z
Если совершить вращение ИСК на угол α вокруг оси абсцисс, то R будет иметь вид.
1 0 0
R1(α) = 0 cosα sinα , (9.12)
0 -sinα cosα
cosα 0 - sinα
R2(α) = 0 1 0 , (9.13)
Sinα 0 cosα
cosα sinα 0
R3(α) = - sinα cosα 0 (9.14)
0 0 1
Мнемоническое правило формирования элементарных матриц поворота.
Общее обозначение элементарной матрицы поворота
Ri(α). (9.10)
Если даны i и α, то матрицы Ri(α) формируются по правилу:
1. На пересечении i - й строки и i - го столбца матрицы R – ставится 1.
2. В остальных элементах i - й строки и i - го столбца ставится 0.
3. Два оставшихся элемента заполняются sinα.
При этом у sinα следующего после нулевого элемента в циклической перестановке элементов данной строки ставится знак минус.
Тема 10. Общий случай преобразования координат с помощью «n» элементарных поворотов.
Для случая «n» элементарных поворотов применяется формула
х˙ х
у˙ = Rin(α1)… Riα (α2) Ri1(α1) у, (10.1)
z˙ z
где х, у,z – координаты вектора r = {х, у,z} в исходной СК,
х˙у˙z˙ - координаты этого же вектора r = {х˙,у˙,z˙},
ik, αk, k =1,...,n – номера координатных осей поворота.
Эту формулу (10.1) докажем методом индукции:
Вначале рассмотрим случай двух поворотов (n=2), а затем распространим его на случай n+1 поворотов.
Пусть штриховая СК Ох˙у˙z˙ получена вращением исходной СК. В начале, допустим, вокруг оси аппликат (i1=3) на угол α1, а затем вокруг оси, допустим, аппликат (i2=2) на угол α2 (рис.10.1)
Рис. 10.1. Два элементарных поворота
В результате после первого поворота согласно формуле (9.11)
х(1) х
у(1) = R3(α1) у. (10.2)
z(1) z
После второго поворота уже повернутой СК Ох(1)у(1)z(1) имеем на основе формулы (9.11):
х(2) х(1)
у(2) = R3(α1) у
z(2) z(1)
Объединив (10.2) и (10.3) получаем общий результат после двух поворотов:
х˙ х(1)
у˙ = R2(α2) у
z˙ z(1)
Распространяя формулу (10.4) на случай «n» вращений, получаем:
х˙ х
у˙ = Rin(αn)…Ri2(α2) Ri1(α1) у. (10.1)
z˙ z
Правила применения матриц поворота для преобразования прямоугольных координат какого – либо вектора.
Пусть даны углы Эйлера, связывающий взаимную ориентировку двух прямоугольных СК:
α1, α2, …, αn (10.5)
и даны координаты вектора в исходной СК
r = {х, у,z}. (10.6)
Требуется получить координаты этого вектора в штриховой СК (с общим началом О исходной СК)
r = {х˙, у˙, z˙}. (10.7)
1. Отыскивается такой угол поворота αk, среди заданных α1, α2,… αn, плоскость которого перпендикулярна одной из осей координат исходной СК.
2. Осуществляется первое преобразование координат вектора r по формуле:
r(1)=Rik(αk)r.
3. Снова выбирается такой угол поворота среди оставшихся углов, плоскость которого перпендикулярна одной из осей уже повернутой СК.
4. Осуществляется второе преобразование
х(2) х
y(2) = Ris(αs) Rik(αk) y.
z(2) z
5. Повторяем действия 3 и 4 до тех пор, пока не произойдет совмещение осей исходной СК со штриховой СК.
Тема 11. Применение матриц поворота для определения углов Эйлера, ориентирующих плоскость орбиты спутника относительно ИСК Охуz.
Пусть по начальным условиям движения спутника
rо = {хо, уо, zо} и r̊о = {х̊о, у̊о, z̊о} в tо (11.1)
получена векторная константа площадей
с = rо × r˙о. (11.2)
Требуется определить углы Эйлера i и Ω для плоскости орбиты спутника.
Решение: покажем на рис.11.1 ИСК Охуz углы:
i – наклонение плоскости орбиты,
Ω – долгота восходящего узла орбиты.
Рис. 11.1 Углы Эйлера i, Ω плоскости орбиты спутника
Из (10.2), раскрывая векторное произведение, получаем три скалярных равенства вектора
с = {сх, су, сz }
сх = уоzо˙ - zоуо˙
су = zохо˙ - хоzо˙ . (11.3)
сz = хоуо˙ - уохо˙
Для вычисления углов Эйлера i и Ω воспользуемся преобразованиями вращения. Для этого введем штриховую СК с осью аппликат вдоль вектора с, с осью абсцисс вдоль линии узлов орбиты ОΩ, ось ординат дополняет СК до правой. В штриховой СК вектор с будет иметь координаты:
с = {0,0,с}, где с = |с | . (11.4)
Теперь преобразуем координаты вектора с из (11.4) в проекции на оси ИСК Охуz по формуле:
Сх 0
Су = R3(-Ω) R1 (-i
Cz c
Раскрывая матрицу поворота и перемножая их, получаем преобразование координат вектора с из штриховой СК в ИСК Охуz, получаем:
cх cos(-Ω) sin(-Ω) 0 0
cy = R3(-Ω) 0 cos(-i) sin(-i) 0 = - sin(-Ω) cos(-Ω) 0 * - csini,
c z 0 - sin(-i) cos(-i) c 0 0 1 ccosi
cx csini sinΩ
cy = -csini cosΩ . (11.6)
cz ccosi
Формулы (11.6) дают прямую связь углов Эйлера i, Ω прямоугольными координатами векторной константы площадей с. Обратная связь – определение углов i и Ω по сх, су, сz получается из решения трех уравнений (11.6) относительно трех неизвестных i, Ω, с при условии, что даны сх, су, сz.
tg Ω = cx/(-cy
Обратить внимание на то, что знак минус в знаменателе в формуле для tgΩ, нельзя переносить ни в числитель ни в целом в дроби, то есть формально равенство справедливо
tg Ω = - cx/cy = - cx/cy,
но при вычислении кругового значения Ω = arctg(cx/-cy) ≠ arctg(-cx/cy).
Тема 12. Интеграл площадей в полярной формуле
Мы получили интеграл площадей в ИСК Охуz в виде
с = r × r˙. (12.1)≡(6.8)
Рис. 12.1. Интеграл площадей в орбитальной СК Оξηζ
Интеграл площадей (6.8) справедлив в любой ИСК. Выберем ИСК, связанную с плоскостью орбиты Оξηζ. В орбитальной СК Оξ; векторная форма интеграла площадей не меняется с = r × r˙.
Координатная форма (12.1) примет вид:
с = {сξ, сη, сζ}, r = {ξ, η, ζ }, i = {ξ, η, ζ}. (12.2)
Применяя мнемоническое правило для раскрытия векторного произведения «по кольцу» получаем
сξ = ηξ˙ - ξη˙
сη = ζξ˙ - ξζ˙ . (12.3)
сζ = ξη˙ - ηξ˙
Из рис. 12.1:
ξ = 0, ξ˙ = 0 , (12.4)
поэтому (12.3) принимает вид:
сη ≡ 0 , сζ ≡ 0 , сξ = с = |c|, (12.5)
с = ξη˙ - ηξ˙ . (12.6)
Введем полярные координаты спутника u и r в орбитальных СК (рис. 12.1 и рис. 12.2):
Рис. 12.2 Полярная СК
Угол u – полярный угол точки m,
Расстояние r – полярное расстояние.
В небесной механике полярный угол u называется аргументом широты спутника.
r - геоцентрическое расстояние до спутника. Связь прямоугольных (ξ η ζ) и полярных (u, z) координат спутника вытекает из рис. 12.2
ξ = ηcosu, η = rsinu, и ζ =
Отсюда находим связь скоростей изменения прямоугольных ξ˙, η˙, ζ˙ и полярных u˙, r˙ координат. Дифференцируя (12.7) по t, получаем:
|
ξ˙ = r˙cosu - ru˙sinu
η˙ = r˙sinu + ru˙cosu
Подставляя (12.7) и (12.8) в интеграл площадей (12.6) в орбитальной СК, получаем
с = rcosu(r˙sinu + ru˙cosu – rsinu(r˙sinu - ru˙sinu) = r2u˙ ,
c = r2u˙ . (12.9)
Выражение (12.9) носит название полярной формы интеграла площадей.
Тема 13. Физический смысл модуля векторной константы площадей.
Для вычисления физического смысла «с» в полярной СК рассмотрим два бесконечно близких положения спутника (рис. 13.1) в моменты t и t+ ∆t j 
Рис. 13.1 К определению физического смысла модуля вектора константы площадей
Вычислим площадь ∆S сектора Оmm˙ (ввиду малости угла ∆u)
∆S = (1/2) r∆ur
и перейдем к пределу отношения ∆S к ∆t и ∆u к ∆t
|
Из курса дифференциального исчисления следует, что
|
|
|
Величина u˙ имеет физический смысл угловой скорости движения спутника, а величина S˙ - секториальная скорость движения спутника (или площадная скорость)
Подставляя в (13.1) выражение (13.2), получаем, что
S˙ = r2u˙/
Сравнивая теперь (13.3) с (12.9) приходим к выводу, что
с= r2u˙ , (12.9)
модуль векторной константы площадей равен удвоенной секториальной скорости:
с= 2S˙ , (13.4)
S = с/
Тема 14. Второй закон Кеплера в классической и современной формулировке
Современная формулировка закона Кеплера выражается формулой (13.4): «Удвоенная секториальная скорость движения спутника есть величина постоянная».
Для получения классической формулировки второго закона Кеплера рассмотрим четыре положения спутника m на орбите (рис. 14.1) таких, что интервал времени удовлетворяют условиям:
t2 – t1 = ∆t и t4 – t3 = ∆t. (4.1)
Рис. 14.1 – второй закон Кеплера в классической формулировке
Вычислим площади секторов ∆S12 и ∆S34 с помощью выражения (13.5) S = с/2
∆ S12 = ʃ S˙dt = ʃ(cdt/2) =(c(t2 – t1))/2 = (c∆t)/2 , (14.2)
∆ S34 = ʃ S˙dt = ʃ(cdt/2) = (c(t4 – t3))/2 = (c∆t)/
Из сравнения (14.2) и (14.3) следует,
∆S12 = ∆S3
Отсюда следует формулировка второго закона Кеплера: «За равные промежутки времени ∆t радиус – вектор спутника огибает равные площади.
Тема 15. Интервал энергии спутника.
Дифференциальное уравнение, выведенное на основе трех законов Ньютона
r˙˙ + μr/r =
Выражение (15.1) приведем к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножим скалярно (15.1) на удвоенный вектор скорости спутника r˙=V
2r˙r˙˙ + μ2r˙r/r3 =
Покажем, что первое слагаемое в (15.2) есть равенство
2r˙r˙˙ = (d/dt)(r2
Действительно, дифференцируя правую часть (15.2), получаем
(d/dt)(r˙2) = 2r˙r˙˙ , следовательно равенство (15.3) справедливо. Покажем, что второе слагаемое в (15.2) есть равенство
2μr˙r/r3 = - 2μd/dt(1/r
Вычислим (d/dt)(r2) = 2rr, (15.5)
r2 = rr = rrcos(0) = r
Выражение (15.6) в векторной алгебре носит название скалярного квадрата:
аа = а2 = а*)
Вычислим (d/dt)(r2) = (d/dt)(r2) = 2rr˙ . (15.7)
Сравнивая (15.7) и (15.5), находим
(d/dt)(r2) = 2rr˙ = 2rr˙. (15.8)
Подставляем (15.8) в левую часть (15.4) имеем
2μr˙r/r3 = - 2μrr˙/r3 = -2μr˙/r2 = -2μd/dt(-1/r) , (15.9)≡(15.4)
(d/dt)(-1/r) = +r˙/r
Теперь, подставляя (15.4) и (15.3) в исходное уравнение (15.2) получаем уравнение, удобное для интегрирования
(d/dt)(r˙2) - 2μd/dt(1/r) = 0 . (15.11)
Интегрируя (15.11), получаем
r˙2 - 2μ/r = ʃ0dt = h,
или, учитывая r˙≡V и r˙2 = V2 = V2, окончательно имеем
V2 = 2μ/r + h. (15.2)
Выражение (15.12) носит название в небесной механике интеграла энергии.
Это название следует из выяснения физического смысла введенной произвольной постоянной интегрирования h.
Величина h называется константой энергии.
Чтобы выяснить физический смысл h, умножим равенства (15.12) на половину массы спутника
m = const
mV2/2 + ( - μm/r) = mh/2 , (15.13)
где mV2/2 – кинетическая энергия спутника с массой m,
- μm/r = - fμm/m – потенциал.
Тогда левая часть (15.13) есть сумма кинетической и потенциальной энергии спутника, следовательно mh/2 есть полная энергия спутника.
Отсюда следует, закон сохранения полной энергии в, так называемой, замкнутой механической системе, состоящей из двух тел (центральное тело и спутник), и на которую действует только внутренняя сила системы – сила взаимного тяготения. Полная энергия спутника остается постоянной во все время движения спутника по орбите (рис. 15.1):
V2<V1
r2>r1
Рис. 15.1 Изменение кинетической и потенциальной энергии движения спутника
ЧАСТЬ № 3
Тема 30 Прогнозирование движения спутников.
Тема 30.1 Постановка задачи
Мы будем рассматривать прогнозирование невозмущенного движения спутника, поскольку теория возмущенного движения спутника базируется на формулах возмущенного движения.
В невозмущенном движении предполагается, что действует только одна сила – центрального тяготения, т. е. в любой точке пространства, где бы не находился спутник, он испытывает только силу притяжения к центру масс центрального тела.
Как известно, центральное поле тяготения описывается только одним параметром
μ=fM, (30.1)
где f – универсальная постоянная тяготения,
М – масса центрального тела.
Для прогнозирования движения спутника кроме математической модели действующих сил (описываемых одним параметром μ) нужно знать нужно знать начальные условия (НУ) движения спутника. В качестве НУ могут быть использованы:
r0={x0, y0, z0} – вектор положения спутника,
r0`=V={ x`0, y`0, z`0} – вектор скорости спутника,
T0={d0, t0} – начальный момент времени(начальная эпоха), (30.2)
d0- ××d××m××g дата начальной эпохи,
t0 - ××h××m××s время эпохи (промежуток времени от 0h d0 до момента t0).
Таким образом задача ставится так.
Дано:
1) математическая модель сил, действующих на космический аппарат (КА), описываемая одним параметром
μ=fM; (30.1),
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
