h(t) = V²(t) - 2μ/r(t) ;
a(t)=- μ/h(t); e(t)=|λ (t)|;
i(t)=arcos (k·c(t));
tg Ω(t) = g/f; g= Ωº·j; f= Ωº·i; (35.3)
Ωº = k x c(t);
tgω(t) = g/f, g= eº· λ ; f= Ωº· λº;
eº = cº(t) x Ωº ;
dº = cº(t) x λº (t);
tgυ(t) = g/f, g= dº · rº(t); f= λº· rº(t);
tgE(t)= 1-e2(t) sinυ(t) /(cosυ(t)+e(t);
M(t) =E(t) –e(t) sinE(t);
tπ(t) = t-M(t) / n(t) ;
n(t) = μ/a3(t) .
Итак, по векторам r(t) и r`(t) с помощью формул (35.3) мы получили шесть оскулирующих элементов орбиты: {a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t), tπ}.
На рис. 35.1 показаны оскулирующие орбиты, соответствующие векторам r(t) и r`(t).
Оскулирующие (эллипсоидальные) орбиты должны удовлетворять трем условиям:
1)проходить через точку m, в которой в данный момент времени t находится спутник;
2)проходить так, чтобы касательная к нему совпадала с вектором скорости r`(t) в этот момент времени t;
3) проходить так, чтобы один из фокусов (эллипса) орбиты располагался в притягивающем центре - точке О.
Если такие оскулирующие (эллипсы) орбиты строить непрерывно вдоль возмущенной траектории спутника, то мы получим семейство оскулирующих орбит (рис. 35.1). в результате возмущенная траектория будет являться огибающей (кривой) семейства оскулирующих орбит.
Определение оскулирующей орбиты
Оскулирующая орбита – это мгновенное (виртуальное) коническое сечение, которое определяется вектором положения и вектором скорости спутника, находящегося на возмущенной траектории, в момент времени t (на основании формул (35.2)).
Таким образом, оскулирующая орбита может считаться постоянной в пределах ограниченного отрезка времени в зависимости от заданной точности расчета траектории (рис. 35.2).
Рисунок 35.2 – Пределы применимости оскулирующей орбиты на момент t0 на интервале [t0-Δ; t0+Δ] при заданной погрешности расчета возмущающей траектории.
ЧАСТЬ № 2
Тема 16. Интеграл Лапласа.
Продолжаем интегрировать движение спутника
r´´ + μ(r/r3) = 0 (16.1)
Приведем к виду, удобному для получения еще одного интеграла, независимого от первых двух: интеграл площадей и интеграл энергии.
Для этого умножим равенство (16.1) на векторную константу площадей с первое слагаемое в (16.1) и на r x r´ - второе слагаемое, так как
c = r x r´ (16.2)
c x r´´ + μ/r3 (r x r´) x r = c x 0 = 0 (16.3)
Но c x r´´ = d/dt(c x r´) => dc/dt x r´ + c x d/dt(r´) = c x r´´ (16.4)
проверка
Преобразуем второе слагаемое в (16.3), где имеется, так называемое двойное векторное слагаемое, которое раскрывается по правилу: «БАЦ – ЦАБ».
(a x b) x c = b (a · c) – c (a · b) (16.5)
Применяя (16.5) к (16.3), находим
μ/r3(r x r´) x r = [ r´(r · r) - r(r · r´)] μ/r3 = μ/r3 (r´r² - rrr´)
r´ · r – r · r
т. к. d/dt(r²) = 2r · r´ = μ/r3 r (r´· r – r · r´) = μ = μ d/dt (r/r) =>
r²
=> μ ( r´ · r – r · r / r² ) (16.6)
Подставляя (16.4) к (16.6)
c x r´´ = d/dt (c x r´) и
μ/r3(r x r´) x r = d/dt ( μ r / r) = d/dt (μ rº) (16.6)
В равенство (16.3), получаем
d/dt [c x r´ + μ r / r] = 0 (16.7)
Интегрируя (16.7),находим
c x r´ + μ r / r = ∫ d/dt (-λ) dt = ∫0dt = -λ (16.8)
Где - λ - произвольная векторная константа которая взята специально со знаком «-»,для того чтобы вектор λ был направлен как будет показано ниже, в ближайшую точку орбит.
И так выражение
λ = - c x r´ - μ rº (16.8*),
где rº = r / r - орт носит название в небесной механике интеграла Лапласа.
Произвольная постоянно может быть определена как обычно, по начальным условиям движения
спутника.
r0 = r(t0) и r´0 = r´(t0) в начальный момент времени t0.
Так как интеграл Лапласа справедлив для любого момента времени то он справедлив и для начального t0. По этому
λ = - c x r´0 - μ r´0/ r0 , где c = r0 x r´0 (16.9)
Для выяснения физического смысла λ необходимо преобразование (16.8).
Тема №17 Физический смысл вектора Лапласа
17.1 Уравнение орбит полярных координатах.
ДУ: r´´+ (μ/r²)rº = 0 (17.1)
Мы получили три интеграла:
-площадей c = r x r´ (17.2)
-энергии h = v² - 2μ/r (17.3)
-лапласа λ = - c x r´ - μ rº (17.4)
Наша цель: получить явные выражения для векторов положение r и вектора скорости r´в виде функции времени t и НУ r0, r´0 в t0. Чтобы достичь конечной цели нужно выяснить физический смысл константы (переменной) интегрирования с, h,. Первые две константы с, h: для них установлен физический смысл. Установим физический смысл константы λ. Для этого умножим сколярно интеграл Лапласа (17.4) на текущий радиус-вектор спутника r.
λ · r = -( c x r´)· r - μ rº· r
смешанное произведение
λ · r = (r x r´)· с - μ (r · r)/ r
с
λ · r = с² - μr (17.5)
Раскроем левую часть (17.5)
λ · r = |λ| · |r| Cos (λ,^r) (17.6)
или
λ · r = λrCosv (17.7)
Где угол v = λ,^r - как угол между вектора Лапласа и текущим радиус-вектором спутника r обозначает, как правило, v и называется истиной аномалией спутника.
С учетом (17.7) перепишем (17.5)
λrCosv = с² - μr (17.8)
Разрешая уравнение (17.8) относительно r, получаем
с²
r = (17.9)
μ + λCosv
Обычно (17.9) записывают так (учитывая то что μ ≠ 0)
с²/μ
r = (17.10) - уравнение орбиты в полярных константах r и v.
μ + λ/μ·Cosv
Чтобы установить физический смысл вектора Лапласа λ нужно сопоставить уравнение (17.10) с уравнением конического сечения в полярных координатах, при этом полярные константы нужно выбрать особым образом.
17.2 . Конические сечения.
Всякая кривая второго порядка есть коническое сечение.
К кривым второго порядка относят:
- окружность
- эллипс
- парабола
- гипербола
- вырожденный случай - прямая.
Конические сечения получаются как результат. Сечение поверхности конуса (прямого, кругового) плоскостью. Если плоскость пересечет конус ортогонально оси симметрии конуса, то в сечении получится окружность (рис. 17.1). Если плоскость пересечет конус параллельно образующей линии конуса в сечение парабола (рис. 17.2). Если плоскость пересекает конус параллельно оси симметрии конуса в сечение гипербола.
Если плоскость проходит через вершину конуса и параллельна образующей прямая линия как касательная конуса. Если плоскость пересечет не параллельно и не перпендикулярно оси симметрии эллипс.
 |
 |
π
L
π
 |
Н
H
Рис.17.1 π || H, то L – окружность Рис.17.5 π перпендикулярна Н, то L – эллипс
 | |
 |  |
π π
Q
L
 |
Н H
Рис.17.2 Если π||Q, то L – парабола Рис.17.3 Если π || H, то L - гипербола
От выбора, то есть от выбора расположения начало координат О и выбора ориентировки осей координат, а так же выбора вида координат (прямоугольных, полярных) зависит вид уравнений конических сечений. Например, если выбрать начало координат О в центре симметрии кривой ориентировать оси прямоугольника С координат по оси симметрии кривой, то получается, так называемое коническое уравнение второго порядка.
x²/a² + y²/b² = ± 1 (17.11), где +1 – уравнение эллипса а и b; y
- 1 – гипербола.
m
π
y
L x x
O Рис.17.6 эллипс в Oxyz с полуосями
Q
 |
Рис.17.4 если π проходит через О и касается образующей, L – прямая (два луча)
Если вместо двух переменных x и y выбрать один, так называемый лонгальный параметр Е, то уравнение (17.11) перепишем в виде двух параметрических уравнений.
x = aCosE, y = bSinE (17.12)
Если же переместить начало координат О из центра симметрии эллипса в один из его фокусов (F1 или F2) и заменить вид координат – вместо прямоугольных x и y, взять полярные координаты ρ и φ, то уравнение (17.11) перепишем так (рис. 17.7)
ρ = p / 1 + εCosφ (17.13)
y
m2
m
b O ρ р
F2 F1 x
aε
a
Рис.17.7 Эллипс в полярных координатах
Расстояние между фокусами эллипса F1 и F2
 |
F1 F2 = 2aε (17.14)
и называется фокальным расстоянием. В формуле (17.13) - это половина хорды, проходит через один из фокусов кривой (F1 или F2) перпендикулярно оси симметрии (или точнее, большой полуоси эллипса а) на рис. 17.7 p = F1 Q и p ┴ а. Он связан с большей полуосью формулой
p = a(1 - ε²) (17.15)
ε = (a² – b²) / a² (17.16)
(17.16) – эксцентриситет эллипса. Теперь сопоставляя уравнения кривой второго порядка (из аналитической геометрии) (17.13) с уравнением (17.10), заключаем, что
r ρ, v φ
c²/μ p, λ/μ ε (17.17)
Уравнение (17.10) – уравнение конического сечения в полярных координатах r и v с полюсом в центре масс центрального тела, (так как исходное уравнение γ мы интегрируем в инерциальную систему координат r´ + (μ/r²)rº = 0)
Являющегося одним из фокусов (F1 или F2) конического сечения. Далее фокальный параметр орбиты p равен
p = c²/μ (17.18)
и является одной из констант интегрирования эксцентриситета орбиты
ε ≡ e = λ/μ (17.19),( в небесной механике эксцентриситет обычно обозначают «е» ).
Из того, что v => φ, выясняется направления вектора Лапласа – вектор λ направлен по оси симметрии эллипса в ближайшую точку орбиты π (рис. 17.8)
 |
 |
b P r m
O v π λ x
F полюс полярной СК
ae
Рис.17.8 Центр орбины в полярной СК
r = p/ 1+eCosv (17.20) ≡ (17.10) – уравнение орбиты в полярных координатах.
Из сопоставления выражения, получается как следствие интеграла Лапласа,
с²/μ
r = (17.10)
μ + λ/μ·Cosv
с каноническим выражением конических сечений
ρ = p / 1 + εCosφ (17.13)
следует, что равенство (17.10) представляет собой уравнение конического сечения (окружность, эллипсоид, парабола, гипербола) и переписывается окончательно в виде
r = p/ 1+eCosv (17.20),
где
р = c²/μ, ε ≡ e = λ/μ, v = < λ^r(t)
р – фокальный параметр орбиты,
е – эксцентриситет,
v – истинная аномалия спутника.
Из сопоставления (17.10) и (17.13) следует, что притягивающий центр (центральное тело) находится в одном из фокусов конического сечения (в любом), что вектор Лапласа направлен по оси симметрии конического сечения в ближайшую точку орбиты. Чтобы показать, что вектор направлен в ближайшую точку орбиты, для этого вычислим при угле v = 0° и при v = 180°.
Если vπ = 0º, то rπ = p / (1 + e)
Если vα = 180º, то rα = p / (1 - e)
В прямоугольных точках rπ ≤ r ≤ rα
Таким образом, из сопоставления (17.10) и (17.13) вытекает следующий смысл векторной константы Лапласа λ.
- модуль вектора Лапласа λ = |λ| = eμ - характеризует эллиптичность орбиты:
Если λ = 0,то е = 0 и орбита есть окружность.
Если λ = 0, е < 0, то орбита - эллипс.
Если λ = μ, е = 1, то орбита - парабола.
Если λ > μ, е > 1, то орбита - гипербола.
Всякий вектор в трехмерном пространстве должен характеризовать три параметра. Мы установили только для вектора Лапласа, нужно установить физический смысл для направления вектора Лапласа. Таким образом, два оставшихся параметра в векторе λ характеризует его направление в пространстве, которое определяется осью симметрии конического сечения и ближайшей точки орбиты фокуса.
Тема 18. Точки и линии орбиты спутника.
С помощью интеграла площадей мы установили, что орбита спутника – плоскостная кривая, лежащая в плоскости, лежащая в инерциальной системе координат. Эта кривая: замкнутая или разомкнутая и представляет собой одно из конических сечений. Это коническое сечение постоянной орбиты ориентирования внутри орбитальной плоскости. (рис. 18.1 )
U
P
b m(t)
r
α O´ v λ
ω π
линия узлов орбиты
ae
a
Рис.18.1. Точки и линии эллиптической орбиты.
На рис. 18.1 О' – центр симметрии конического сечения
F1 и F2 – фокусы симметрии конического сечения
π – перицентр орбиты
α – апоцентр орбиты
Оπ - линия апсид орбиты
 |
ОΩ - линии узлов орбиты
Угол v - истинная аномалия спутника
Угол ω - аргумент широты орбиты
ω = <Ωº^λº - угол между линии узлов и вектором Лапласа
Область определения угла ω є [0, 2π)
Угол u = <Ωº^r - аргумент широты спутника
Область определения u є [0, 2π)
Из аналитической геометрии кривых второго порядка (или конического сечения) следует, что
p = a(1 - e²) = c²/μ
b = a 1 - e² (18.1)
e² = (a² – b²)/a²
Получим формулу для определения аргумента широты орбиты ω по вектору Лапласа λ и вектором константы площадей c . По начальным условиям движения спутника r0 и r0 в t. Мы получаем векторы с и λ по формуле
c = r0 x r´0
λ = - c x r´0 - μ rº0 (18.2)
Далее находим орт линии узлов Ωº
Ωº = k x c / |k x c| (18.3)
И теперь используя принцип определения узла в пределах полной окружности, получае
eº
90 - ω
λ
ω π
Ω Ωº
eº = cº x Ωº (18.4)
Cos(90º - ω) = Sinω = λºeº = g (18.5)
Cosω = λºΩº = f (18.6)
tgω = g/f, ωгл = arctg (g/f)
ωгл, если g > 0 и f > 0,
ω = π + ωгл, если f < 0,
2π + ωгл, если g < 0 и f > 0.
Тема 19. Связь константы площадей энергии спутника h с большой полуосью орбиты a.
Для установления связи h и a воспользуемся интегралом энергии.
v² = 2μ/r +h (19.1)
Так как интеграл энергии справедлив для любой точки орбиты, вычислим его в точке перицентра орбиты π.(рис19.1)
Vπ
Ω´
r u
v λ
ω π
2π
Ω
V²π = 2μ/rπ +h (19.2)
Но из уравнения орбиты
r = p/ 1+eCosv (17.20), получаем
vπ = 0º, rπ = p / (1 + e) = a (1 - e²)/1 +e = a (1 - e)(1 + e)/1 + e = a (1 - e)
rπ = a (1 - e), rα = a (1 + e) (19.3)
Вычислим линейную скорость спутника V в точке π, как произведение угловой скорости радиуса – вектора спутника r. Относительно фокуса О - это υπ на длину вектора r, то есть
Vπ = v´π · rπ (19.4)
Угловую скорость υ получим из полярной формы интеграла площадей
c = r²u´ (19.5)
Но из рисунка 18.1 имеем
u = ω + v (19.6)
Дифференцируя (19.6) и учитывая, что ω – константа, получаем, что u´≡ v´ (19.7)
Тогда интеграл площадей, записывают
c = r²v´ (19.8)
Сравнивая (19.8) и (19.4) получаем, что
Vπ = c / rπ (19.9)
Учитывая, что c = μp
Получаем, что Vπ = μp / 2π = μa(1 - e²) / a(1 - e) (19.10)
После алгебраического преобразования получаем
h = - μ/a (19.11) – установлена связь константы с большой полуосью.
Тема№20. Период обращения спутника. Третий закон Кеплера.
В невозмущенном движении период обращения спутника имеет смысл только для замкнутых орбит (эллипс, окружность). Периодом обращения называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями спутника через одну и ту же (любую) точку орбиты.
m в t ( m в t +T )
λ
r (t)
Рис.20.1 период обращения спутника.
На рис.20.1 точка О – центральное тело
точка m - любая точка орбиты, через которую проходит спутник дважды в моменты
t1=t и t2=t+T (20.1),
где T – период обращения
T= t2 – t1 (20.2)
Установим связь Т с большой полуосью орбиты а. Для этого дважды вычислим S эллипса орбиты, один раз из геометрических соображений, другой раз из динамических соображений.
Из аналитической геодезии.
2а
2b
Рис. 20.2 Площадь орбитального эллипса из геометрии
S прямоугольника = 4аb
S эллипса =π ab ( 20.3)
Вычислим из динамических соображений, воспользовавшись вторым законом Кеплера, но в современной формулировке.
S´= ½ С (20.4)
Где S´ – скорость изменения площади (секториальная скорость) движения спутника на орбите,
C - константа площадей
с = μр (20.5)
Возьмем интеграл по t от выражения (20.4)
t+T t+T
∫ S´dt =∫ ½ С dt (20.5)
t t
t+T
∫ S´dt = S орбитального эллипса из динамики (20.6)
t
t+T
∫ ½ С dt = ½ С ( t + T – t ) = ½ μр T (20.7)
t
μр
Таким образом, S эллипса из динамики = T (20.8)
2
Поскольку площади S эллипса из геометрии должна быть равна площади из динамики S эллипса из динамики то, приравнивая (20.3) и (20.8), получаем
½ μр T = π ab, но
p = a ( 1 – e2 ), b = a 1 – e2
по этому
T = 2πab / μр = 2πa а 1 – e2 / μ а ( 1 – e2 ) = 2π / μ/а3
Итак,
T = 2π / μ/а3 (20.9)
Формула (20.9) связывает через константы π и μ, период обращения спутника T с большой полуосью его орбиты а. Отсюда следует, что параметр T определяем размер орбиты (полуось а), но большая полуось связана с константой энергии h по формуле.
h = - μ/а (20.10)
Но mh/2 - полная энергия спутника, следовательно период обращения спутника T связан с полной энергией спутника и является одной из констант интегрирования дифференциального уравнения движения спутника.
r´´ + μ/r2• rº = 0
Среднее движение спутника.
Выясним физический смысл знаменателя в формуле
T = 2π / μ/а3 (20.9)
Из (20.9) имеем μ/а3 = 2π / Т (20.11)
Но 2π - полный угол, который описывает радиус-вектор r за время T (период).
Следовательно величина μ/а3 есть средняя угловая скорость движения спутника по орбите. В небесной механике используется термин - среднее движение спутника обозначается «n»
n = μ/а3 (20.12)
Тогда формула (20.11) переписывается так
n = 2π / Т или Т = 2π / n (20.13)
Из формул (20.11, 20.12) или (20.9) следует третий закон Кеплера в современной формулировке
μ = n2a3 (20.14)
Из (20.14) следует третий закон Кеплера: «произведение квадрата среднего движения спутника на куб большой полуоси его орбит есть величина постоянная ».
Получим выражение с помощью (20.14) из которой следует формулировка третьего закона (Кеплера) (рис.20.3)
Рассмотрим одно центровое тело O, вокруг которого движение нескольких спутников
( проекция солнечной системы )
m2
m3 m1
Рис. 20.3 Третий закон Кеплера в классической формулировке
Применим (20,14) к системе спутников m1, m2,….,
n12a13= n22a23= n32a33=…=μ (20.15)
Для двух спутников m1 и m2, получаем отношение
n12/ n22 = a23/ a13 (20.16)
Из формулы (20.17) следует третий закон Кеплера в классической формулировке ; «квадраты периодов обращения двух спутников относительно одного и того же центрального тела как
кубы больших полуосей их орбит».
Заменим в (20.16) средние движение n периодом T
(2π / Т1)2 a23 Т12 a23
= или = (20.17)
(2π / Т2)2 a13 Т22 a13
Кеплер установил этот закон эмпирическим путем по Тиха Браги. Мы получили этот закон как частный случай трех законов Ньютона.
Тема№21. Связь трех констант интегрирования;
Лапласа, энергии и площадей.
Наша цель показать, что три произведения постоянного интегрирования ДУ движения спутника λ, h и с. Они являются между собой зависимыми величинами. Для этого воспользуемся интегралом Лапласа и площадей.
λ = с x r´ - μrº; c = r x r´ ( 21.1)
Возьмем в квадрат левую и правую части интеграла Лапласа
λ 2 = [ - (с x r´ + μrº)] = (с x r´)2 +2(с x r´)(μr) + μ2 (rº)2 (21.2)
λ 2 = λ 2 – как скалярный квадрат (21.3)
(с x r´)2 = │ с x r´│2 = │сv Sin (с^v)│2 = (сv)2 (21.4)
r ≡ v – двоякое обозначение вектора скорости
2(с x r´)(μrº) = 2μ (с x r´)rº = 2μ (с x r´) r/r = 2μ/ r (с x r´) r =
= 2μ/ r (r´ x r) с = 2μ/ r (- с2) = - 2μс2/ r
2(с x r´)(μrº) = - 2μс2/ r (21.5)
λ 2 = μ2 + с2h (21.6)
ТЕМА №22. Радиальная трансверсальная составляющие скорости движения спутника.
Скорость движения спутника всегда направлена по касательной к его орбите. Этот вектор скорости раскладывается на две ортогональных составляющих: радиальную и трансверсальную, рис.22.1
Vr
V m в t
r
rº v
Vτ
τº
Рис.22.1. Радиальная и трансверсальная скорость движения спутника.
На рисунке 22.1 показана орбитальная дуга, притягивает центр О, перицентр π, вектор Лапласа λ, текущее положение спутника m в t, его радиус-вектор r и вектор скорости v, касательный к орбите в точке m.
Vr - вектор радиальной скорости спутника;
Vτ - вектор трансверсальной скорости спутника;
rº - орт радиального направления (он же орт радиус-вектора спутника )
τº - орт трансвкрсального направления
Вектор скорости спутника v можно представить разложение по ортам rº и τº, как сумму двух векторов
V = Vr + Vτ (22.1)
Или
V = Vr rº+ Vτ τº (22.2)
Из курса физики вектор скорости V есть производная по времени то радиус - вектора r/t.
V = d/ dt (r (t)) = r´(t) (22.3)
Но радиус-вектор r (t) можно представить как произведение его модуля r (t) на орт rº(t).
r (t) = r (t) • rº(t) (22.4)
Берем производную от равенства (22.4) получаем
V = d/ dt (r (t) rº(t)) = d/ dt [r (t)] rº(t) + r (t) d/ dt[rº(t)] (22.5)
Обозначим
d/ dt (r (t)) = r´ (22.6)
Из курса физики производная от любого вектора r, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через начало вектора r в направлении ωº, равна векторному произведению r, рис. 22.2 .
d/ dt (r) = ω x r (22.7)
ωº
V
m
r
O
ω
Рис.22.2 Представление линейной скорости.
V = d/ dt (r) = ω x r (22.7)
V = ω x r (22.7´)
Применим формулу (22.7´) для вычисления производной и d/ dt (rº (t)), рис.22.3.
сº
m λ
r π
υ
r´º rº
Рис.22.3
Орт rº вращается с угловой скоростью υ´ - скорость изменения истинной аномалии со временем, от сюда следует, что υ´ ≡ ω – модуль угловой скорости (22.7´).
Орт оси вращения вектора rº есть орт сº – векторной константы площадей с.
ω = υ´сº (22.8)
тогда r´º = ω x rº (22.9)
или r´º = υ´сº x rº
τº
или r´º = υ´ τº (22.10),
где τº = сº x rº (22.11).
Перепишем (22.5) с учетом (22.10)
V = Vr rº + rυ´ τº (22.12)
Сравнивая (22.12) с (22.2)
V = Vr rº+ Vτ τº (22.2), приравнивая их правые части и приравнивая скалярные множители при одинаковых ортах, получаем
Vr = r´ , Vτ = r υ´ (22.13)
Из формул (22.13) следует, что радиальная составляющая скорости отвечает за изменение длины радиуса – вектора спутника, а трансверсальная составляющая – отвечает за линейную скорость и движения спутника по виртуальной окружности радиуса r. Установим связь радиальной Vr и трансверсальной Vτ скорости спутника с параметрами орбиты: р - фокальный параметр орбиты, е – эксцентриситетом орбиты и углом υ– истинной аномалии силы.
Для этого воспользуемся двумя интегралами:
- уравнением орбиты в полярных координатах
r = p/ 1+eCosυ (22.14),
- интегралом площадей в полярных координатах
c = r²υ´, c = μp (22.15)
Дифференцируя (22.14) по t, получаем
Vr = r´ = p(e+Sinυ)υ´ p = μp eSinυ = μ / p eSinυ
(1+eCosυ)² p p
Итак, Vr = μ / p eSinυ (22.16)
Для получения трансверсальной скорости Vτ как функции р, е и υ сравнивают два выражения (22.13) с (22.15)
Vτ = r υ´
c = r²υ´ Vτ = с/r (22.17)
Или с учетом (22.14) и (22.15), находим
Vτ = μ / p (1+eCosυ) (22.18)
Формулы (22.16) и (22.18) устанавливаем связь Vr и Vτ с направлением орбиты р, е и υ. Полезны формулы, связи скорости:
V² = Vr² + Vτ² (22.19)
V = 2μ / r + h (22.20) - интеграл энергии.
ТЕМА №23. Эксцентрическая аномалия (геометрическая интерпретация) спутника.
Для определения положения спутника на заданной орбите в небесной механике используется три аномалии:
Истинная,
Эксцентрическая,
Средняя.
Истинная была введена в разделе уравнения орбиты нормальных координат. Она отслеживает истинный угол вращения спутника рис.23.1.
m в t
r(t) υ
λ
O, F
Рис. 23.1 Истинная аномалия
Истинная аномалия более сложным образом связана со временем t. Эксцентрическая аномалия Е связана со временем Е(t) более простой формулой, чем υ(t).
Средняя аномалия М связана со временем наиболее просто по линейному закону.
Все три аномалии связаны между собой.
υ ( E ( M (t))) = υ (t) (23.1)
Покажем на рис.23.2 геометрическую интерпретацию эксцентрической аномалии.
m´(t)
а m(t)
E
α .F2 υ
О´ O F1 q π λ
Рис. 23.2 Эксцентрическая аномаоия
На рис.23.2 О' – центр симметрии орбитального эллипса, О – притягивающий центр
( центральное тело ), m – положение спутника на орбите в текущий момент времени, вектор qm перпендикулярен линии апсид Оπ,
угол πОm = υ – истинная аномалия спутника, которая отслеживает истинный угол υ поворота радиус – вектора спутника r относительно вектора Лапласа λ ( или линии апсид ), угол πО'm' = Е – эксцентрическая аномалия спутника, вершина угла Е находится не в центре масс тела, а в центре симметрии орбитального эллипса, точка m' – виртуальная точка движения по окружности радиуса в центре с центром симметрии эллипса и получается как результат пересечения перпендикулярно вектору qm с окружностью.
Из рис.23.2 видно, что две точки m и m' при движении спутника m по орбите сливаются в одну точку в двух случаях:
1. когда спутник находится в перицентре π,
2. когда спутник находится в апоцентре α.
Правильное применение терминов перицентр ( перигей ), апоцентр ( апогей ) и т. п.
Когда центральное тело безымянное или же обсуждается задача двух без относительно какого либо центрального тела, то точки орбиты π и α называется перицентром и апоцентром. Если же уентральное тело имеет имя, или решение конкретной реальной задачи двух тел, то название точек меняется ( см. в таблице ).
центральное тело перицентр апоцентр
Земля( спутник: Луна, иск. Спутник ) перигей апогей
Солнце ( спутник 6 Земля, Венере и т. д. ) перигелий афелий
Луна ( иск. спутник ) переселений апоселений
Тема№24. Эксцентрическая аномалия спутника. Аналитическая связь двух аномалий.
Для получения формулы выражающие эксцентриситет аномалии через истинную или наоборот введем три орбитальных системы координат. Орбитальная система - основная плоскость совпадает с плоскостью орбиты.
1. Система координат Oξη с началом притягивающим центре О и осью Oξ абсцисс, направленный по линии апсид Oπ.
y
η
m´
b η
α m линия апсид полярная ось
O E λ ξ x
ac o ξ q
a
Рис. 24.1 Связь истинной и эксцентрической аномалии.
2.Полярная система координат с полюсом в точке О и полярной осью направлена по линии апсид с полярными координатами r и υ.
r – полярное расстояние
υ – полярный угол
( в небесной механике r – модуль радиус-вектора спутника, υ – истинная аномалия спутника)
3. Прямоугольная система координат О´xy с началом O´ в центре симметрии орбиты и осью абсцисс O´y направленной по линии апсид. Уравнение орбиты спутника в системе координат О´xy имеет вид (см. аналитический геометрический метод ).
x²/a² + y²/b² = 1 (24.1)
Уравнение орбиты спутника в полярной системе координат ( r,υ) имеет вид
r = p/ 1+ eCosυ (24.2)
где p = a(1-e²), e² = a² – b² / a² , b = a 1 - e² (24.3)
ae = О´О– полуфокальное расстояние
Уравнение орбиты спутника в параметрической форме
x = aCosE
(24.4)
y = bSinE
Уравнение дано без выводов, где Е - параметр. Если подставить (24.4) в (24.1),то получим тождество, что свидетельствует о правомерности введение уравнения (24.4).уравнение орбиты в координатах ξ и η (из рис. 24.1)
ξ = rCosυ, η = rSinυ (24.5)
С другой стороны, с центром (24.4) и рис.24.1 получаем
ξ = x – ae = aCosE – ae = a(CosE – e)
η = y = bSinE = a 1 - e² Sin E
ξ = a(CosE – e)
y = a 1 - e² Sin E (24.6)
Сопоставляя (24.6) и(24.5), находим искомую связь
rCosυ = a(CosE - e)
rSinυ = a 1 - e² Sin E (24.7)
Заменим r с помощью формулы
r = a(1 - eCosE) (24.8),
которая получается из рис.24.1 по теореме Пифагора
r² = ξ² + η² = [a(CosE – e)]² + (a 1 - e² Sin E )²
Подставляя (24.8) в (24.7), получаем окончательно –
Cosυ = CosE – e / 1 – eCosE (24.9)
Sinυ = 1 - e² Sin E / 1 – eCosE (24.9)
Формулы (24.9) устанавливают связь Е и υ в одну сторону: Е => υ. Получим обратную связь:
υ =>Е. Можно воспользоваться формулой для тангенса половинного угла
tg α/2 = 1 – Cosα/ 1 + Cosα (24.10)
Заменим в (24.10) α на υ
tg υ/2 = 1 – Cosυ/ 1 + Cosυ (24.11)
Подставив в (24.11) равенство (24.9), получим окончательно
tg υ/2 = 1 + e / 1 – e tg E/2 (24.12)
tgE/2 = 1 + e / 1 – e tg υ/2 (24.13),
формулы (24.9),(24.12),(24.13) устанавливают связь Е <=> υ.
Тема№25. Уравнение Кеплера.
Уравнение Кеплера - последний четвертый независимый интеграл решаемого дифференциального уравнения.
r´´ + μ/r²•rº = 0 (25.1)
Уравнение устанавливает связь угла поворота равенств со временем t. Для получения этой связи воспользуемся интегралом площадей в полярной форме
с = r²•υ´ (25.2)
Где υ´=dυ/dt - скорость измерения истинной аномалией υ со временем t.
Из (25.2) получаем интеграл r²•dυ/dt = c или разделяя переменные υ и t, так чтобы они находились в различных частях равенства.
r² dυ = cdt (25.3)
и интегрируя t(υ)
∫ r²dυ = ∫ cdt (25.4)
υ=0 t(υ= 0)
Интеграл (25.4) сложен
υ
∫ a(1 - e²) /1 + eCosυ dυ = ?
υ=0
Необходимо привести его к табличному виду
r = a ( 1 – eCosE ) (25.5)
Остается найти dυ через dE.
Для этого воспользуемся формулой
Cosυ = CosE – e / 1 – eCosE (25.6)
Дифференцируя по υ левую часть и по Е правую, находим
-SinEdE (1 – eCosE) – (CosE – e)(eSinE)
-Sinυdυ =
(1 – eCosE)²
Завершить самостоятельно; используем для Sinυ формулу (24.9)
Итог: dυ = 1 - e² dE / 1 - eCosE (25.7)
Подставляя (25.7), (25.5) в (25.4), получаем
E(υ) t(υ)
∫ a²(1 - eCosE)² 1 - e² / 1 – eCosE dE = ∫ cdt
E(υ=0) t(υ=0)
E(υ) t(υ)
∫ (1 - eCosE) dE = ∫ c / a² 1 - e² dt (25.8)
E(υ=0) t(υ=0)
Выражение (25.8) легко интегрируется.
Интегрируя левую часть (25.8), находим
E(υ)
E – eSinE = E – eSinE (25.9)
E(υ=0)
Учитывая, что при υ=0, эксцентрическая аномалия Е так же равна нулю.
Интегрируя правую часть (25.9), находим
t(υ) t
с μp μa(1 - e²)
t = t = (t - tπ) = n (t - tπ) (25.10) a 1 - e² a² 1 - e² a 1 - e²
t(υ=0)
m в t
линия апсид λ
π
Из третьего закона Кеплера n²a3 = μ имеем n = μ/а3
Где n - среднее движение спутника,
а - большая полуось орбиты,
μ - гравитационный параметр центрального тела.
Объединяя (25.10) и (25.9) согласно (25.8), находим окончательно, что
E – eSinE = n (t - tπ) (25.11)
Выражение (25.11) носит название в небесной механике – уравнение Кеплера.
Оно связывает эксцентрическую аномалию спутника Е со временем t через три параметра : e, a, tπ - константы.
Уравнение Кеплера – четвертый интеграл r´´ + (μ/r²)rº = 0, для четвертого интеграла достаточно построить траекторию спутника и выразить явно радиус спутника r как функцию времени t: r(t).
Тема№26. Средняя аномалия спутника.
В уравнение Кеплера Е – eSinE = n (t - tπ) (26.1)≡(25.11),
выясним физический смысл правой части n (t - tπ) - ?
Параметр n - есть угловая скорость (средн.) движения спутника по орбите. Тогда произведение n (t - tπ) представляет собой угол, который обозначен через μ.
μ = n (t - tπ) (26.2)
При текущем времени t, равном tπ, из формулы (26.2) следует, что μ = 0. Отсюда вытекает, что угол μ отсчитывается от точки π - перицентра. Угол μ в небесной механики называется средней аномалией спутника. И этот угол отслеживает движение фиктивной точки по окружности с постоянной угловой скоростью n. (см. рис.26.1). Момент tπ истинная υ и эксцентрическая Е аномалии равны 0. В tπ : υπ = 0, Еπ = 0 и как следует из (26.2), Мπ так же равняется 0. То есть образованные все три аномалии учитываются от одного и того же направления – линии апсид (или, что то же самое от вектора Лапласа ).
В небесной механики вводят понятие средней аномалии спутника в начальную эпоху t0, по формуле, на основе (26.2)
M0 = M(t0) = n (t0 - tπ) (26.3)
Тогда выражение (26.2) для средней аномалии M перепишется так:
M = M0 + n (t – t0) (26.4)
m´
m´´
E m M λ
F2 O´ F1 π
Рис.26.1 три аномалии спутника: υ(t), E(t), M(t).
Подстановкой в (26.4) формулы (26.3) самостоятельно проверить совпадение с формулой (26.2) С учетом введенных обозначений для средней аномалии M уравнение Кеплера (25.11) ≡ (26.1) обычно записывают в виде
E – eSinE = M (26.5) .
Тема№27. Итеративный метод решения уравнения Кеплера.
Уравнение Кеплера M = E – eSinE (27.1) ≡ (26.5)
в одну сторону решается явно (то есть когда дана эксцентрическая аномалия Е и ищется средняя аномалия спутника M, при условии, что эксцентриситет известен). В обратную сторону (то есть когда дано M, а ищется Е то нет в математике способов решения таких нелинейных (трансцендентных уравнений) явно аналитического решения получить не возможно, то есть
M => E - проблема аналитического решения.
Для таких трансцендентных уравнений (когда искомая функция входит под знак тригонометрической функции так и явно) существует множество численных методов, мы рассмотрим один - итерационный способ решения. Этот способ применим только тогда, когда
e ≤ 0
Итеративная формула имеет вид
E(k)= M + eSinE(k,
Где k = 1, 2…. – порядковый номер итерации
В качестве начального значения Е (0) можно принять любое число, например Е(0) = 0º,или Е(0) =М (в последнем случае на одну итерацию будет меньше).
Процесс итерации:
к = 0 Е(0) = М
к = 1 Е(1) = М + e sin Е(0)
………………………………………
k = k E(k) = M + e sin Е(k-1)
продолжая до тех пор пока не выполнится критерии окончания итерации: два последовательных значения эксцентрической аномалии E(k) и Е(k-1) не станут различаться между собой на заданную величину погрешности расчетов ε.
│E(k) - Е(k-1)│≤ ε ( в радианах ).
Тема 28. Связь трёх аномалии спутника v, Е и М со временем t полёта.
Приведем здесь сводку формул, полученных в предыдущих разделах, связывая три аномалии спутника v, Е и М, как между собой, так и со временем t.
tg (v/2) = 1 + e /1 - e tgE/2 (28.1)
tg (Е/2) = 1 + e /1 - e tgυ/2 (28.2)
М = Е – е sin E (28.3)
(28.7)
M = n (t - tπ) (28.4)
M = M0 + n(t – t0) (28.5)
n = μ/а3 (28.6)
С помощью формул (28.7) решается все множество задач связанных с полетом спутника от одной точки орбиты до другой. В этих задачах вычисляется либо время полета между двумя точками либо угол поворота.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
