2) НУ движения спутника
{ r0, r0` } в T
Требуется определить:
положение с скорость КА
r0={x0, y0, z0}, r0`=V={ x`0, y`0, z`0} (30.3)
на заданный момент времени
T0={d0, t0}. (30.4)
Схему решения задачи можно представить в виде нескольких этапов.
Схема 30.1 Блок-схема прогнозирования
Тема 30.2 Определение Кеплеровых элементов орбиты по НУ движения спутника (этап1 рис. 1)
Исходные данные: μ, r0={x0,y0,z0}, r`0=V0={x`0,y`0,z`0}, Т0 относительно инерциальной системы СК (в частности «небесной»).
Требуется получить : {a, e, i, Ω, ω0,M0} на Т0.
Решение задачи основано на четырех интегралах дифференциального уравнения
r``+ μ/r2 · r
Интеграл площадей
r×r`=c, (30.6)
где r0 – орт вектора r , r=r· r0.
Интеграл Лапласа
λ = r`×с- μ· r
Интеграл энергии
V2=2μ/r+h, h= -μ/a. (30.8)
Уравнение Кеплера
E-esinE=M, M=M0+n(T0-t0) , n= μ/a3. (30.9)
Рис. 30.2 Начальные условия r0, V0, T0 и элементы орбиты Е0={a, e, i, Ω, ω0,M0}
Применяя интегралы (30к начальному моменту (таким образом, они справедливы для любого Т), получаем первые три константы
c= r0×r0`= r0· V0;
λ= V02-2μ/r0,
где (30.10)
V0=| V0| ;
r0==| r0| .
Отсюда находим большую полуось орбиты
a=h/ μ; (30.11)
и эксцентриситет
e=λ/ μ. (30.12)
Находим первую группу элементов, которые характеризуют размеры и форму орбиты. Далее находим углы Эйлера, определяющие ориентировку орбит эллипса относительно инерциальной СК Oxyz.
-наклонение орбиты:
i=arccos(k·c0); c0= c/c, c= | c| ; (30.13)
-долготу узла орбиты Ω:
Ω0=k×c/ |k×c |, f=i· Ω0, g=j· Ω, (30.12)
область определения tgΩ=g/f, 0<=Ω<=2π .
-перицентр орбиты:
е0=с0×Ω0; f=λ0· Ω0= cosω ; g= е0· λ0= sinω, (30.14)
область определения tgω=g/f, 0<ω<=2π.
И наконец, находим последний шестой элемент орбиты, который на орбите определяется пятью элементами {a, e, i, Ω, ω}, а именно по элементу М0 в Т0. Для его получения используем уравнение Кеплера; но для его применения нужно получить вначале истинную аномалию спутника υ0 на эпоху Т0. Из рис. 30.2 векторной алгебры имеем
mº=cº× λ, f= r0`· λ0=cos υ0, g= r0`· mº=sin υ0, (30.15)
tg υ0=g/f, 0<= υ0<=2π. (30.16)
Теперь решение выполняется по цепочке υ0→Е0→М0.
tgE0=( 1-е2 sinυ0)/(cosυ0+е); 0<=Е0<=2π. (30.17)
Из уравнения Кеплера находим М0
М0=Е0-е sin υ
Таким образом, мы решили 6 элементов орбиты{a, e, i, Ω, ω,M0} на эпоху Т0.
Тема 30.3 Прогнозирование движения спутника в орбитальной системе координат
Постановка задачи
Дано:
1)μЕ=fM – гравитационный параметр центрального тела с массой М,
2)НУ движения спутника относительно ИСК Oxyz в виде Кеплеровых элементов орбиты {a, e, i, Ω, ω,U0} на эпоху Т0
Т0={d0,t0}. (30.19)
Требуется определить:
1)положение спутника
r(T) ={ξ(T), η(T), ζ(T)}, (30.20)
2)скорость спутника
r`(T) =V(T)={ξ`(T), η`(T), ζ`(T)} (30.21)
на текущий момент времени Т={d, t} в наипростейшей СК, т. е. орбитальной подвижной СК Оξηζ.
Решение задачи.
Орбитальная СК Оξηζ – эта такая СК, у которой основная координатная плоскость (плоскость, содержащая оси абсцисс и ординат) параллельна или совпадает с плоскостью орбиты Земли; вообще, прилагательные орбитальная, экваториальная, горизонтальная в названии СК указывает на один из характерных признаков выбранной СК. Как известно, орбитальная плоскость сохраняет свою ориентировку неизменной относительно ИСК, следовательно и орбитальная СК тоже будет являться инерциальной, если ее оси абсцисс и ординат будут неподвижны в плоскости орбиты.
В орбитальной СК теория движения спутника описывается простейшими формулами.
Преимущества такого подхода состоит в том, что получив траекторию движения спутника в орбитальной СК в дальнейшем производится только преобразование полученных координат в нужную для пользователя систему отсчета. Хотя подвижная орбитальная СК становится неинерциальной, тем не менее в сохраняются все формулы невозмущенного движения. Покажем на рисунке 30.3 подвижную ИСК и вектор положения r(Т) и вектор сокрости V(Т) в текущий момент времени Т.
Рис.30.3 Положение r(Т), скорость V(Т)= r`(Т) в текущий момент времени Т и орбитальной подвижной СК Оξηζ.
На рис. 30.3 вектор положения r(Т) спутника в текущий момент времени в подвижной орбитальной СК Оξηζ имеет на любой момент времени проекцию.
ё | ξ(T) |
r(T)= | η(T) |
ζ(T) |
ξ(T)=|r|, |
(30.22) Оξηζ | ||||||
η(T)=o=const; | |||||||
ζ(T)=o=const; |
Вектор скорости V в осях подвижной орбитальной СК будет иметь координаты (проекции) из рис. 30.3
ξ`(T) | |
V=r`(T)= | η`(T) |
ζ`(T) |
Vr (T) | |
V=r`(T)= | Vτ(T) |
0 |
(30.23)
ξ`(T)=|Vr|=|Vr|,
η`(T) =|Vτ|=|Vτ|,
ζ`(T)=0,
Vr – радиальная составляющая скорости спутника,
Vτ – трансверсальная составляющая скорости спутника.
На основе интегралов невозмущенного движения (площадей, энергии, Лапласа и уравнения Кельвина) раскрываем формулы (30.22) и (30.23):
r(T)=ρ/(1-e cosυ(T)), (30.24)
уравнение орбиты в полярных координатах r, υ:
Vr= μ/p e sinυ, Vτ= μ/p (1+ е cosυ), (30.25)
где фокальный параметр орбиты p и истинная аномалия спутника υ(Т) выражается через НУ (30.19) следующим образом:
p=a(1-e2)=const. (30.26)
Цепочка преобразований НУ:
U0(T0)→υ0(T0)→E0(T0)→M0(T0)→M(T)→E(T)→ υ(T). (30.27)
{U0, е, а, Т0}→ υ(T) раскрывается с помощью формул:
1) υ0(T)= U0-ω; (30.28)
2) tgE0=( 1-е2 sinυ0)/(cosυ0+e); E0 Є [0;2π] (30.29)
или
tgE0/2= (1-е)/(1+e) ·tgυ0/2; E0 Є [0;2π]; (30.30)
3) М0=Е0-еsinЕ0, (30.31)
Уравнение Кеплера.
4) М(Т)=М0+n(Т-Т0), (30.32)
n= μЕ/а3 (30.33)
- третий закон Кеплера.
5) Итеративное решение уравнения:
Е(к)=М(Т)+е sinЕ(к-1), где к=1,2, …n до тех пор, пока │ Е(к)- Е(к-1)│>ε,
ε – заданная погрешность вычисления. (30.34)
6) tgυ= 1-е2 sinЕ(Т))/(cosЕ(Т)-e); υЄ [0;2π] (30.35)
или
tgυ/2= (1+е)/(1-e) ·tgЕ/2; υЄ [0;2π]; (30.36)
Тема 30.4 Прогнозирование движения спутника относительно земной системы координат
Постановка задачи.
Дано:
1) r(Т) в орбитальной подвижной СК Оξηζ на текущий момент времени Т;
2) {Ω, ω, i, υ(Т)} – элементы орбиты на момент Т;
3) S0(d) и ωЕ – параметры модели вращения Земли, S0(d) – угол, определяющий положение начального меридиана (меридиана Гринвича) относительно ИСК (в случае небесной СК Оxyz) в полночь (т. е. 0h) даты d эпохи Т={d, t}.
Требуется определить: положение спутник в земной СК ОxGyGzG на текущий момент времени Т.
Решение задачи вытекает из рис. 30.4 связи трех СК: орбитальной Оξηζ, небесной (ИСК) Оxyz и земной ОxGyGzG.
xG(Т) | r(T) | ||
r(Т)= | yG(Т) | =R3(S(T))R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T)) | 0 |
zG(Т) | 0 |
, (30.37)
где R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T)) – координаты КА в небесной СК Oxyz,
R3(S(T))R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T)) – координаты КА в земной СК OxGyGzG,
U(T)=υ(T)+ω, (30.38)
S(T)=S0(d)+ ωE(T-T0), (30.39)
угол S(T) – звездное время на меридиане Гринвича в текущий момент времени Т.
Рис. 30.4 Преобразование координат спутника из орбитальной СК в земную СК
На рисунке 30.2:
точка О – цент масс центрального тела (например, Земли),
точка m – спутник (например, ИСЗ), в текущий момент времени Т={d, t},
точка Р – северный полюс мира,
точка р – северный полюс вращения Земли,
ОР и Ор – ось Земли,
точка γ – точка весеннего равноденствия,
Оγ – линия узлов орбиты Земли относительно Солнца,
Оxγyγzγ – инерциальная СК, в частности – это небесная СК (вторая экваториальная),
ОрG – начальный (земной) меридиан, меридиан Гринвича,
ОγΩG – плоскость экватора Земли,
ОxGyGzG – земная(неинерциальная)СК(в геодезии - геоцентрическая общеземная СК).
Как было показано в разделе 30.3, положение КА в орбитальной (подвижной) СК Оξηζ определяется вектором
| |
r= | 0 |
|
rtgυ= 1-е2 sinЕ(Т))/(cosЕ(Т)-e); υЄ [0;2π]; (30.40)
E(k)=M+e sinE(k-1);
M=M0+(T-T0);
n= μE/a3 ;
р=а(1-е).
(Считается, что {a, e, i, Ω, ω,М0} известны).
Теперь, чтобы получить вектор положения КА r в нужной СК, надо преобразовать вектор r из орбитальной СК Оξηζ в общеземную СК ОxGyGzG. Для этого достаточно сделать четыре элементарных поворота СК Оξηζ до совмещения с общеземной СК ОxGyGzG.
1-й поворот на угол «-U» вокруг оси 3,
2-й поворот на угол «-i» вокруг оси 1,
3-й поворот на угол «-Ω» вокруг оси 3,
4-й поворот на угол «+S(T)» вокруг оси 3.
Тема 30.5 Трасса искусственного спутника Земли (ИСЗ)
Трассой ИСЗ называется след пересечения радиуса-вектора спутника с поверхностью Земли. Трасса обычно в плоской проекции поверхности Земли приближенно так, что рельеф поверхности Земли не учитывается, а так же как правило не учитывается и сжатие Земли. Поэтому в большинстве случаев трасса ИСЗ представляет собой след пересечения радиуса-вектора спутника с земной сферой, изображаемой в плоской проекции (рис. 30.5).
Рис. 30.5 Трасса ИСЗ
На рисунке 30.5 φ и λ – географические координаты подспутниковой точки на поверхности сферической модели Земли.
Подспутниковой точкой называется точка пересечения радиуса-вектора спутника с поверхностью земной сферы. Чтобы рассчитать координаты подспутниковой точки достаточно перейти от прямоугольных координат спутника {xG, yG, zG} в общеземной СК к сферическим координатам КА { φ, λ } по формулам, вытекающим из рис. 30.6.
Рис. 30.6 Связь прямоугольных { xG, yG, zG} и сферических { φ, λ } координат спутника
На рисунке 30.6 видна прямая связь прямоугольных {xG, yG, zG} и сферических {φ,λ,r} координат спутника из трех треугольников: Omc, Oac, Obc.
xG=r cosφ cosλ,
yG= r cosφ sinλ, (30.41)
zG= r sinφ.
Обратная связь прямоугольных {xG, yG, zG} и сферических { φ, λ, r } координат следует из решения системы из трех уравнений (30.40) относительно трех неизвестных: φ,λ,r.
tgλ=yG/xG, λЄ[0;2π];
tgφ=zG/ (x2+y2) , φЄ[-π/2;+π/2]; (30.42)
r= x2G+ y2G+ z2G.
Имея элементы орбиты КА {a, e, i, Ω, ω,М0, Т0}, рассчитываем координаты спутника {φi,λi,} на заданные моменты времени Тi, i=1, 2, …, к по формулам (30.38) – (30.41).
В результате получим эфемериду (таблицу положения КА в сферических координатах); в произвольной плоской проекции строим трассу КА. На рис. 30.5 точка Ω` - положение восходящего узла орбиты на первом витке и точка Ω`` - на втором витке.
Дуга экватора Ω`Ω`` - есть смещение восходящего узла Ω орбиты за один оборот спутника Р (переид обращения спутника).
Дуга
Ω`Ω``=ωЕР, (30.43)
где ωЕ – угловая скорость вращения Земли.
Тема 30.6 Зоны радиовидимости искусственных спутников Земли
В небесной механике различаются две зоны радиовидимости:
- зона земной радиовидимости,
- зона небесной радиовидимости.
Зона земной радиовидимости – сферический сегмент поверхности земного шара, который виден с борта КА. Зона небесной радиовидимости - это сферический сегмент небесной сферы радиуса r (r – модуль геоцентрического радиуса-вектора спутника), который виден из пункта наблюдения, расположенного на земной поверхности.
Рис. 30.7 Зона земной радиовидимости с борта КА (сферический сегмент дуги М1m’M2 сферического радиуса β)
Рис. 30.8 Зона небесной радиовидимости НП (сферический сегмент дуги pq сферического радиуса β)
В трехмерном пространстве сферический сегмент можно изобразить на рис. 30.9 (сферический сегмент дуги радиуса β).
Рисунок 30.9 – Сферический сегмент радиуса β
На рис. 30.7 и 30.8 точки М, М1, М2 обозначают положение наблюдателя,
точка О – центр масс Земли,
точка m – КА,
Угол hmin – угловая высота, ниже которой радиоизмерение практически невозможны из-за сильных радиопомех – слишком малое отношение силы ЭМС к радиошуму. Обычно hmin<=15º:20º.
Вычислим сферический радиус β зоны радиовидимости. Из треугольника ОМ1m (рис. 30.7) по теореме синусов имеем: r/ sin(90+hmin)= R/ sin(90-(hmin+β)); r/ coshmin= R/ cos(hmin+β); разрешая отсюда cos(hmin+β),
cos(hmin+β)=R/r· coshmin (30.44)
или
β=arcos(R/r· coshmin. (30.45)
Угол β обычно достаточно рассчитать с погрешностью около 1º, поэтому можно использовать приближенные значения для r и R.
Задав hmin и приняв R≈aE – средний радиус земного эллипсоида или большая полуось земного эллипсоида (аЕ=6378137 м) и приняв r≈a (a – большая полуось орбиты КА, если е<0,01). Можно вычислить угол β по формуле (30.44).
Определение географических координат границы зоны земной радиовидимости. Под географическими координатами мы будем понимать геоцентрическую долготу λ и географическую широту φ подспутниковой точки. Покажем на рис. 30.10 единичную земную сферу (ее фрагмент), подспутниковой точки, положение наблюдателя на ней М, «i»-ую точку на границе зоны радиовидимости.
Рис.30.10 К определению географических координат φi, λi точек mi на границе радиовидимости
На рис. 30.8 :
точка М – проекция наблюдателя на земную сферу,
углы Λ и Φ – геоцентрические долгота и широта наблюдателя М,
φi, λi – географические широта и долгота точки mi на границе зоны радиовидимости,
угол β – сферический радиус зоны радиовидимости,
О – центр масс Земли,
Ор – ось вращения Земли,
ОрG – начальный меридиан,
OxGyGzG – геоцентрическая земная экваториальная СК,
OxHyHzH - геоцентрическая земная горизонтальная СК,
угол Аi – азимут точки mi.
Пара углов Аi и β определяют сферические координаты точки mi в осях СК OxHyHzH. Воспроизведем фрагмент рис 30.10 на следующих рисунках.
Рис 30.11 Связь прямоугольных {xH, yH, zH} и сферических{λi, φi, 1} координат в точке mi
Выражения (30.46) вытекают из прямоугольных треугольников Omiq, Oqx и Oqy.
 |
xG= R cosφi cosλi,
yG= R cosφi sinλi, (30.46)
zG= R sinφi.
Рис 30.12 Связь прямоугольных геоцентрических горизонтальных {xH, yH, zH} и сферических{Аi, βi, R=1} координат в точке mi
Из прямоугольных треугольников Omiq, OqЕ, OqN получаем
xH=R sinβ sinА,
yH=R sinβ cosА, (30.47)
zH=R cosβ.
Установим связь между прямоугольными координатами {xH, yH, zH} и {xG, yG, zG}точки m с помощью матрицы поворота. Для этого воспользуемся рис. 30.10 и правилом преобразования координат:
xG | |
yG | =R3[-(90+Λ)] R1[-(90-Φ)] . (30.48) |
zG |
Переход от {xH, yH, zH} к {xG, yG, zG} можно осуществить двумя элементарными поворотами.
Наша цель, задавая массив сферических координат точек mi{Аi, βi} i=1, 2, …, n, вычилить географические координаты{λi, φi} точек mi{Аi, βi} i=1, 2, …, n по всему периметру зоны радиовидимости.
Алгоритм расчета координаты{λi, φi} можно изобразить блок-схемой, где n – требуемая плотность точек на границе зоны.
Из решения системы (30.46), состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными {λi, φi, R} при заданных{xG, yG, zG}, получаем:
R= x2G+y2G+z2G;
(Но R=1, поэтому здесь его можно не искать)
tgλi=yG/xG, λi Є[0;2π]; (30.49)
tgφi = zG/ x2G+y2G, φi Є[-π/2; π/2].
Получив массив координат точек mi в виде таблицы со столбцами mi,λi,φi и строчками 1,2,…,n, наносим точки mI на проекцию, в которой построена трасса спутника.
Рис. 30.13 Зона радиовидимости трассы спутника на двух витках и точки входа, выхода и кульминации в зоне радиовидимости
Тема 30.7 Некоторые системы координат, используемые в небесной механике
30.7.1 Основные признаки классификации систем координат и система обозначений
Все многообразие СК, используемых в небесной механике, можно классифицировать по четырем признакам:
1) по виду координат
- прямоугольные (декартовые СК),
- косоугольные (декартовые СК),
- цилиндрические (сферические СК),
- сферические (сферические СК),
- эллипсоидальные (сферические СК) и др.
В небесной механике используются прямоугольные и сферические СК.
2) по положению начала координат
- геоцентрические,
- топоцентрические,
- гелиоцентрические,
- барицентрические и др.
В небесной механике используются геоцентрические и топоцентрические.
3) по ориентировке основной координатной плоскости (т. е. плоскости, содержащей оси абсцисс и ординат)
- экваториальные,
- орбитальные,
- горизонтальные (горизонтные),
- эклиптические и др.
В небесной механике используются экваториальные и орбитальные.
4) по ориентировке первой координатной оси (оси абсцисс) в основной координатной плоскости
- небесные,
- земные и др.
Обе используются в небесной механике.
Примем следующую систему обозначений координат (рис. 30.14)
Рис.30.14 Основной векторный треугольник, используемый в небесной механике
В решении эфемеридных и орбитальных задач небесной механики используется векторный треугольник с вершинами в центре масс Земли О, в спутнике m и в точке стояния наблюдателя М. с помощью векторного треугольника ОmМ решаются прямые эфемеридные и обратные (орбитальные или геодезические)задачи. Из векторного треугольника, принимая принцип обхода, например, по часовой стрелке, получаем
+r-ρ-R=0. (30.50)
Отсюда вытекает решение прямой и боратной задач небесной механики.
Например,
1)прямая задача: дан вектор положения наблюдателя М R={XG, YG, ZG} в земной СК ОxGyGzG; дан вектор r положения спутника m r= {xγ, yγ, zγ} в небесной СК Оxγyγzγ.
Требуется рассчитать эфемериду спутника в топоцентрической горизонтальной СК МxHyHzH в сферических координатах A, h, ρ, т. е. определить вектор ρ={ A, h, ρ },где А – азимут, h – высота угловая, ρ – топоцентрическое расстояние до спутника.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
