Небесная механика - один из разделов астрономии (стр. 4 )

Векторное решение вытекает из основного уравнения (30.49)

ρ= r-R. (30.51)

Скалярное же решение описывается более сложным образом, где учитывается различие СК как по положению начала координат, ориентировки СК, так и их вида.

Примем следующие принципы обозначений координат :

координаты спутника будем обозначать малыми буквами;

1.  координаты наблюдателя – заглавными;

2.  небесные координаты будем отмечать нижним индексом γ (гамма), γ – точка весеннего равноденствия или восходящий узел орбиты Земли;

3.  земные координаты будем обозначать нижним индексом G (первая буква начального меридиана Гринвича);

4.  горизонтальные координаты будем отмечать нижним индексом H (первая kfnbycrfz буква слова «горизонт»);

5.  топоцентрические координаты в отличие от геоцентрических будем помечать знаком «˜» - тильда.

Тема 30.8 Принцип преобразования координат из одной системы в другую

Наиболее просто преобразование координат осуществляется в прямоугольную систему координат. Если же исходные криволинейны и преобразуемые координаты, то нужно сначала криволинейные координаты преобразовать в прямоугольные, затем их преобразовать из одной системы в другую.

В общем случае преобразования координат состоит из четырех этапов:

1- преобразование криволинейных координат в прямоугольные;

2-параллельный перенос прямоугольных координат из одного начала в другое;

3-поворот перенесенной прямоугольной СК в прямоугольную искомую СК;

4-преобразование координат повернутой СК в криволинейные координаты.

Покажем на рисунке 30.15 прямое и обратное преобразование криволинейных и прямоугольных координат.

Рис. 30.15 Прямое и обратное преобразование криволинейных и прямоугольных координат.

1)  Прямое преобразование:{λ,φ,r}→{x, y,z}.

Даны сферические координаты λ,φ,r вектора r.

Требуется получить его прямоугольные координаты x, y,z.

Решение вытекает из трех треугольников (рис. 30.15) Oxq, Oqm, Oyq.

x=r cosφ cosλ,

y=r cosφ sinλ, (30.52)

z=rsinλ.

2)  Параллельный перенос СК из одного О начала в другое О`.

Рисунок 30.16 Параллельный перенос и поворот исходной СК Oxyz до совмещения с новой O`x`y`z`.

Напишем векторное равенство (из треугольника ОО`m):

r`=r-δr

Представим (30.53) разложением в проекциях на оси СК: Oxyz и O`x`y``z``:

x``i`+y``j+z``k=xi+yj+zk-(δx0i+ δy0j+ δz0k

Умножая скалярно на орт i левую и правую части, получаем:

x``(i·i)+ y``(j·i)+ z``(k·i)=x`, x``=x - δx0. (30.55)

Аналогично умножая скалярно на орт i левую и правую части, получаем:

x``(i·i)+ y``(j·i)+ z``(k·i)=x`, x``=x - δx0. (30.56)

Объединяя (30.54) – (30.56):

(30.57)

Итак, при параллельном переносе одноименные компоненты вектора вычитаются, если координаты всех трех векторов спроектированы на параллельные оси.

В векторной форме (30.58):

r`=r r-δr0. (30.58)

3)  Поворот СК.

Дано:

1. r`={x``,y``,z``}= x``i+y``j+z``k; (30.59)

2. α, β, γ, … - углы Эйлера, задающие взаимную ориентировку двух СК O`x`y`z` и O`x`y``z`` (или Oxyz).

Требуется определить преобразованные координаты вектора r` в проекциях на оси СК O`x`y`z`, т. е.:

r`={x`,y`,z`}= x`i`+y`j`+z`k`. (30.60)

Решение :

Приравнивая выражение (30.61) и (30.60), получаем:

x`i`+y`j+z`k=x``i`+y``j+z``k, r`= r`. (30.61)

Умножая скалярно (30.62) последовательно сначала на орт i`, затем на j` и на k`, получаем:

x`=(i·i`)x``+(j·i`)y``+(k·i`)z``,

y`=(i·j`)x``+(j·j`)y``+(k·j`)z``, (30.62)

z`=(i·k`)x``+(j·k`)y``+(k·k`)z``.

Перепишем (30.63) в матричном виде

(30.63)

Введем матрицу общего (результирующего) поворота Ω:

(30.64)

Тогда преобразование вращения (30.64) перепишется так:

, (30.65)

где матрица поворота находится, как правило, с помощью заданных углов Эйлера α1, α2,…, αn.

Ω=Rin(αn)… Ri2(α2) Ri1(α1), (30.66)

где Rik(αk) – элемент матрицы поворота.

Объединяя два этапа в одно преобразование, подставляем в (30.66) вместо {x``,y``,z``} равенство (30.57), получаем:

. (30.68)

Или перепишем (30.68) в векторно-матричной форме:

r`= Ω(r-δr0), (30.69)

или

r`= Ωr-Ω δr0, Ω δr0= δr0`, r`= Ωr- δr0`. (30.70)

4)  Обратное преобразование: {x, y,z}→{λ,φ,r}.

Даны прямоугольные координаты x, y,z вектора r.

Требуется получить его сферические координаты λ,φ,r.

Решение вытекает из обращения системы (30.51) из трех уравнений относительно трех неизвестных:

 

r = x2+y2+z2,

tg λ= y/x; λЄ[0;2π], (30.71)

tg φ= r/( x2+y2); φЄ[-π/2; π/2].

Тема 30.9 Пример решения прямых и обратных задач небесной механики в различных СК.

Дано:

1)ρ={A, h,ρ} – топоцентрический радиус-вектор спутника m в момент времени Т={d, t}, в горизонтальной сферической СК,

2)R={Λ, Φ, R} – геоцентрический радиус-вектор наблюдателя М в земной экваториальной сферической СК (Oxyz)G,

3){S(d), ωE} – главные параметры вращения Земли,

4){i,Ω,ω} – некоторые элементы орбиты спутника.

Требуется определить:

r={ξπ, ηπ, ζπ} - геоцентрический радиус-вектор спутника m на момент времени Т={d, t} в неподвижной орбитальной СК (Oxyz)π, с осью абсцисс Oxπ , направленной в перигей орбиты π.

Решение:

покажем на рис. 30.17 три точки О, m, M и три СК MxHyHzH, OxGyGzG, Oξπ,ηπ,ζπ , в которых даны исходные данные и требуется получить результат.

Рисунок 30.17 – Положение наблюдателя М и спутника m в различных СК.

 

Рисунок 30.18 – Горизонтальная топоцентрическая сферическая СК.

На рис.30.18:

М – наблюдатель,

m – спутник,

Z – зенит (геоцентрический) наблюдателя,

Е – точка востока,

N – точка севера,

А – азимут спутника, отсчитываемый от точки севера по ходу часовой стрелки через точку Е от 0° до 360°,

h – угловая (геоцентрическая) высота спутника над горизонтом.

Покажем на рис. 30.19 положение наблюдателя М в геоцентрической земной экваториальной сферической СК и связь с горизонтальной топоцентрической СК.

Рисунок 30.19 – Земная геоцентрическая экваториальная СК OxGyGzG и топоцентрическая горизонтальная СК Mx˜Hy˜Hz˜H.

Покажем на рис. 30.20 орбитальную СК Оξπηπζπ, в которой требуется найти вектор r={ξπ, ηπ, ζπ}.

Рисунок 30.20 – Орбитальная СК

О – геоцентр,

Р – северный полюс вращения Земли,

γ – точка весеннего равноденствия,

G – точка пересечения меридиана Гринвича с экватором,

Q - точка пересечения меридиана наблюдателя с экватором,

S – истинное звездное время на текущий момент времени T={d, t}.

Решение:

с помощью рисунков (30.17) – (30.20) получаем аналитическое решение в виде следующих форму на основании блок-схемы (рис. 30.21).

Рисунок 30.21 Блок-схема решения задачи

Этап 1

	xG		ρ cosh sinA
ρ=	yG	=	ρ cosh cosA
	zG		ρ sinh

(30.72)

Этап 2

	xG		ρ cosh sinA
ρ=	yG	=R3[-(π/2+Λ)] ·R1[-(π/2-Φ)]	ρ cosh cosA
	zG		ρ sinh

(30.73)

Этап 3

	XG		R cosΦ cosΛ
R=	YG	=	R cosΦ sinΛ
	ZG		R sinΦ

(30.74)

Этап 4

	xG		xG		XG
r =	yG	=	yG	+	YG
	zG		zG		ZG

(30.75)

	ξ		xG
r =	η	=R3(ω) R1(i) R3(Ω) R3(-S)	yG
	ζ		zG

(30.76)

где

S=S0(d)+ωEM; T={d, t}; M=t(UTC)+ΔUT1(d), (30.77)

ΔUT1(d) – поправка во всемирное координированное время t(UTC) за переход ко всемирному времени М.

Тема 31 Постановка задачи возмущенного движения искусственных спутников Земли

В небесной механике возмущенным движением небесного объекта называется всякое движение под действием помимо центральной силы тяготения любой другой силы, оказывающей влияние на траекторию ИСЗ.

Сумма всех сил, отличных от силы центрального тяготения, называется возмущающей силой. Если эту силу поделить на массу спутника, то (в соответствии со вторым законом Ньютона: сила пропорциональна массе и ускорению, F=mw) получится возмущающее ускорение спутника.

Постановку задачи возмущенного движения рассмотрим в сравнении с постановкой задачи невозмущенного движения.

невозмущенное движение	возмущенное движение
Дано: 1)три закона Ньютона классической механики, 2)начальные условия движения ИСЗ (КА) в виде вектора положения r0`={x`0,y`0,z`0} и вектора скорости r0`={x`0,y`0,z`0}; 3)математические модели (ММ) сил, действующих на КА.
-ММ силы центрального тяготения (или ускорения) F=f (Mm/r2) (-r/r), (1.1) где -r/r=r0 – орт вектора положения КА, он же с обратным знаком есть орт F0 – силы центрального тяготения.	-ММ силы центрального тяготения (или ускорения) F=f (Mm/r2) (-r/r), (1.1) -ММ силы, аномалиями гравитационного поля Земли F1; -ММ сил, создаваемых движениями Луны, Солнца, планет: F2, F3, F4; -ММ силы сопротивления атмосферы F5; -ММ силы прямого светового давления F6; -ММ силы светового давления отраженного от Земли и Луны F7, F8; -ММ силы, вызываемой тепловой радиацией Земли F9; -ММ сил, вызываемых приливами и отливами в твердой и жидкой оболочках Земли F10, F11; -ММ электромагнитных сил F12; -ММ сил, вызываемых релятивистским эффектом F13; -ММ активных сил, вызываемых утечками сжатого воздуха в баллонах КА F14; -ММ других сил.
Требуется: получить вектор положения КА r и его скорости r` как функцию времени Т начальных условий движения КА и параметров ММ сил, действующих на КА r(T)=r(r0,r0`,C;T), r`(T)= r`(r0,r0`,C;T).

Рисунок 31.1 – Схема математических моделей сил, действующих на КА

На рис. 31.1 точка О – центр масс Земли, точка m – КА.

Тема 32 Понятие возмущающего ускорения спутника

Обозначим через F равнодействующую всех сил, оказывающих влияние на траекторию КА. Она будет равна векторной сумме:

F=F0+F1+…+Fn= Fi , (32.1)

где F0 – сила центрального тяготения, Fi, i=1,…,n – возмущающие силы.

Если из равнодействующей F вычесть силу центрального тяготения F0, то разность двух векторов даст (суммарную) возмущающую силу FВ:

FВ= F - F0. (32.2)

Рисунок 32.1 – Введение возмущающей силы FВ, как разности F-F0

Из равенства (32.2) получим возмущающее ускорение

Φ= FВ/m, (32.3)

где m – масса КА, n n

FВ= Fi, Φ= Φi= Fi/m. (32.4)

i=1 i=1

Тема 33 Дифференциальное уравнение возмущенного движения

В соответствии со вторым законом Ньютона:

F=m·r``, (33.1)

где F – равнодействующая всех сил, оказывающих влияние на движение КА,

r – текущий радиус-вектор КА,

r`` - ускорение КА,

m – масса КА.

Выделим из F силу центрального тяготения

F=F0+FB=mr``. (33.2)

Но сила центрального тяготения по универсальному закону Ньютона:

F0=f ·(Mm/r2)· (-r/r). (33.3)

Поставляя (33.3) в (33.1) с учетом (33.2), получаем:

mr``+ f ·(Mm/r2)· (-r/r)=FB (33.4)

или, деля на m левую и правую части (33.4), находим:

r``+ μ/r2 (r/r) = Φ , (33.5)

где μ=f/M – универсальный гравитационный параметр.

Выражение (33.5) и есть ДУ возмущенного движения КА в векторной форме.

Сравним ДУ невозмущенного движения:

r``+ μ/r2 (r/r) = 0. (33.6)

Отличие только в правой части. Уравнение (33.5) является более общим, т. к. при Φ=0 оно переходит в (33.6).

Векторное уравнение (33.5) перепишем в координатной форме. Для этого нужно каждый вектор, входящий в равенство представить его разложением по координатам:

r=xi+yj+zk, (33.7)

т. к. i, j, k – орты инерциальной СК, то

r``=x``i+y``j+z``k, (33.8)

Φ= Φxi+ Φyj+ Φzk. (33.9)

Проставляя (33.7) в (335) и умножая скалярно последовательно сначала на орт i, затем j и k, окончательно получим:

x``= μ/r2 · x = Φx,

y``= μ/r2 · y = Φy, (33.10)

z``= μ/r2 · z = Φz.

Выражение (33.10) – это ДУ возмущенного движения спутника в координатной форме.

Тема 34 Аналитические и численные методы решения ДУ возмущенного движения спутника

В уравнении возмущенного движения спутника

r``+(μ/r2)·(r/r)= Φ , (34.1)=(33.5)

где искомые функции – вектор положения спутника:

r=r(t)={x(t), y(t), z(t)} (34.2)

и вектор скорости:

r`=r`(t)={x`(t), y`(t), z`(t)} (34.3)

известная функция – вектор возмущенного ускорения:

Φ={Φx, Φy, Φz}, (34.4)

где

Φx= Φx (r(t), r`(t); c; t),

Φy= Φy (r(t), r`(t); c; t), (34.5)

Φz= Φz (r(t), r`(t); c; t)

и гравитационный параметр центрального тела μ= f/M.

ДУ возмущенного движения (отличающееся от (34.1) только нулевой правой частью)

r``+(μ/r2)·(r/r)=0 (34.6)

имеет точное аналитическое решение (которое было получено в предыдущих разделах небесной механики).

Решение ДУ невозмущенного движения (34.6) представляет собой замкнутые явные формулы для вычисления вектора положения r(t) и вектора скорости r`(t) как функции времени элементов орбиты

{a, e, i, ω, Ω, tπ} (34.7)

и параметра М математической модели силы центрального тяготения, т. е.

r(t)=r (Eπ; c={μ}; t)

r`(t)= r`(Eπ; c={μ}; t) (34.8)

В отличие от ДУ невозмущенного движения (34.6), ДУ возмущенного движения (34.1) не имеет точного аналитического решения в замкнутых формулах подобно решению (34.7). Существует две группы методов решения ДУ возмущенного движения (34.1):

1) приближенные методы аналитического решения (методы Делоне, Цептеля, Пуакуре, Якоби и др.);

2) численные методы приближенного решения ДУ (34.1).

Из многочисленных аналитических методов решения ДУ возмущенного движения (34.1) мы рассмотрим только один – метод Лагранжа – вариации произвольных постоянных интегрирования.

Тема 35 Метод Лагранжа.

35.1 Оскулирующие орбиты и Оскулирующие элементы орбит

Идея метода Лагранжа состоит в том, чтобы предоставить аналитическое решение возмущенного движения в виде тех же самых формул, что и решение невозмущенного движения. Однако элементы орбиты, входящие в эти формулы необходимо рассматривать как функции времени, а не как константы. Т. е. аналитическое решение ДУ возмущенного движения имеет вид:

	r(t)
r(t)=R3(-Ω(t)) R1(-i(t)) R3(-U(t))	0
	0

U(t)=ω(t)+υ(t);

p(t)=a(t) (1-e(t)2);

r(t)=p(t) /(1+e(t) cosυ(t)); (35.1)

tg υ(t) = 1-e2(t) sinE(t)/(cosE(t)-e(t) );

E(t)-e(t) sinE(t)=M(t);

M(t)=n(t) (t-tπ).

n(t)= μ/a3(t).

Элементы орбиты:

{a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t), tπ} (35.2)

называются оскулирующими элементами, а орбита, которую они представляют называется оскулирующей. Геометрическую интерпретацию оскулирующих орбит и их переменные покажем на рис. 35.1

Рисунок 35.1 – Оскулирующие орбиты и возмущающая траектория спутника относительно инерциальной СК Оxyz.

Согласно идее Лагранжа, оскулирующие элементы орбиты могут быть определены вектором положения r(t) и вектором скорости r`(t) по обычным формулам невозмущенного движения:

c(t) = r(t) x r´(t);

λ(t) = - c(t) x r´(t) - μ(r(t)/r(t));