Алгебраические критерии устойчивости САР
Вопросом определения устойчивости систем автоматического регулирования, не решая исходных дифференциальных или характеристических уравнений, занимались многие ученые. В результате были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости, каждый из которых применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагаем. Существуют различные формы критериев устойчивости, но математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.
Расположение корней для устойчивой и неустойчивой автоматических систем
Если известны исходные дифференциальные уравнения автоматической системы, то чаще всего применяюталгебраические критерии устойчивости.
Было установлено, что необходимым, но недостаточным условием устойчивости автоматической системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения |
Это значит, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения автоматическая система может быть устойчивой, но не исключена возможность того, что данная автоматическая система будет неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то автоматическая система является неустойчивой и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.
Заметим, что возможны случаи, когда вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Тогда умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, формально можно сделать их положительными и, казалось бы указанное выше условие выполняется, хотя на самом деле автоматическая система неустойчива.
Критерий Вышнеградского. Расположение корней характеристического уравнения системы третьего порядка на комплексной плоскости положено в основу метода . Исследуя систему третьего порядка
ввел новую переменную
и получил новое уравнение
Постоянные А и В выражены через коэффициенты характеристического уравнения следующим образом:
Исходя из этого определил условия устойчивости для систем третьего порядка:
1. Автоматическая система будет устойчивой еслиА·В > 1; |
После вычисления коэффициентов А и В построил диаграмму, определяющую области устойчивости
Диаграмма Вышнеградского
На диаграмме граница устойчивости (А·В = 1) представляется равнобокой гиперболой (красная линия), разделяющей площадь диаграммы на две области: область устойчивости, лежащую выше гиперболы, и область неустойчивости, лежащую ниже гиперболы.
Анализируя решение кубического уравнения доказал, что область устойчивости разделяется на зоны с различным характером протекания переходных процессов в зависимости от расположения корней уравнения.
Критерий Гурвица. Ранее мы убедились, что значения корней характеристического уравнения зависят от значений коэффициентов уравнения. Это очевидное обстоятельство позволяет судить об устойчивости системы, не решая уравнения ее движения, на основе анализа коэффициентов характеристического уравнения. Корни характеристического уравнения второй степени
определяются по выражению
Посредством простых алгебраических действий можно убедиться, что корни будут отрицательными, если все коэффициенты уравнения положительны. Это является условием устойчивости для уравнений второго порядка.
Для системы более высокого порядка это условие остается необходимым, но не является достаточным. Кроме знаков коэффициентов, должны быть соблюдены и определенные численные их сочетания.
Для систем третьего порядка
Гурвиц вывел второе условие устойчивости
1. Автоматическая система будет устойчивой если а1 а2> а0 а3; |
Для систем четвертого порядка
второе условие устойчивости формулируется следующим образом:
1. Автоматическая система будет устойчивой если а1( а3 а2 -а4 а1) > а3 2а0; |
Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была впервые сформулирована Максвеллом. Однако, эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом.
Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его на практике является неудобным. Поэтому математиком А. Гурвицем был предложен более практичный критерий.
В этом случае для характеристического уравнения любого порядка составляется квадратная матрица коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов
Эта матрица составляется следующим образом. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до аn . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.
Определители Гурвица составляются по следующему правилу
Последний определитель включает в себя всю матрицу.
1. Автоматическая система будет устойчивой если диагональные определители Гурвица больше нуля; |
Критерий Рауса. Для исследования устойчивости автоматической системы высокого порядка
более удобен критерий Рауса, который формулируется в виде таблицы
Таблица коэффициентов критерия Рауса
а0 | а2 | а4 | . . . |
а1 | а3 | а5 | . . . |
С13 | С23 | С33 | . . . |
С14 | С24 | С34 | . . . |
С15 | С25 | С35 | . . . |
. . . | . . . | . . . | . . . |
В первой строке выписываются все четные коэффициенты характеристического уравнения, во второй - нечетные коэффициенты. Коэффициенты, стоящие в каждой следующей строке, вычисляются по коэффициентам двух вышележащих строк посредством определителей. Решение имеет вид:
Индексы вычисленных коэффициентов состоят из номеров столбцов и строк. Автоматическая система будет устойчивой в случае, когда все коэффициенты таблицы положительны, в противном случае автоматическая система неустойчива.
Критерий Рауса особенно удобен для расчета на ЭВМ в тех случаях, когда коэффициенты характеристического уравнения заданы численно. Это позволяет проверять устойчивость системы при различных значениях ее параметров, т. е. при произвольной вариации коэффициентов характеристического уравнения. Это особенно важно при проектировании автоматической системы, когда возникают различные варианты исполнения отдельных звеньев. Кроме того, если при проверке устойчивости какой-либо из вычисленных коэффициентов окажется отрицательным, то можно установить, по какой причине получен тот или иной результат, т. е. какие из параметров автоматической системы превращают ее в неустойчивую. При этом можно определить возможность или невозможность сделать автоматическую систему устойчивой.
Критерий Тимофеева. Недостатком методов Гурвица и Рауса является то, что они без дополнительных вычислений не дают представления о запасе устойчивости, т. е. о том, сохраняется ли устойчивость при некоторых возможных в условиях эксплуатации изменениях параметров автоматической системы.
Этого недостатка лишен простой графический критерий , основанный на построении ортогонов из коэффициентов характеристического уравнения. Для систем третьего порядка
Начиная с некоторой точки О, взаимно перпендикулярными отрезками изображают в одном масштабе все коэффициенты характеристического уравнения от а0 до а3.
Порядок построения ортогонов Тимофеева для устойчивой системы 3-го порядка
определил второе условие устойчивости
1. Автоматическая система будет устойчивой, если точка D находится выше диагонали ОВ; |
Ортогоны Тимофеева для неустойчивой системы а) и системы, находящейся на границе устойчивости б)
Для систем четвертого порядка
порядок построения ортогонов Тимофеева для системы четвертого порядка
Порядок построения ортогонов Тимофеева для системы 4-го порядка
В этом случае условия устойчивости формулируются аналогично системе третьего порядка.
1. Автоматическая система будет устойчивой, если точка D находится выше диагонали ОВ; |
Существенным недостатком алгебраических критериев устойчивости является то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива автоматическая система. При этом в случае неустойчивой автоматической системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры автоматической системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.
