Повторение курса алгебры 7 класса

Повторение курса алгебры 7 класса

Выражения, тождества, уравнения (п.1-9)

Базовые знания и умения:

-  иметь представление о числовом выражении и уметь вычислять его значение;

-  знать определение выражения с переменными и уметь находить его значение при выбранных значениях переменных;

-  уметь сравнивать значения выражений;

-  знать и уметь применять свойства действий над числами и вычислениями;

-  уметь выполнять тождественные преобразования выражений (приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок);

-  знать определение уравнения, корней уравнения и уметь решать линейные уравнения с одной переменной;

-  уметь решать задачи с помощью уравнений.

Теоретический материал.

Значение выражения – число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении. Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения (или не имеет смысла), так как на нуль делить нельзя. Выражения, содержащие букву, называют выражением с переменной. Свойства действий над числами.

1)  Переместительное свойство: для любых чисел а и b верны равенства

а + b = b + а, аb = bа.

2) Сочетательное свойство: для любых чисел а, b и с верны равенства

(а + b) + с = а + (b + с), (аb)c = a(bc) = (ac)b

3) Распределительное свойство: для любых чисел a, b и с верно равенство:

a(b + c) = ab + ac

Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Правила тождественных преобразований:

1)  чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

2)  если перед скобками стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;

3)  если перед скобками стоит знак «-», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. При решении уравнений используются следующие свойства:

1)  если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2)  если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то де отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b –некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Решение линейного уравнения ax = b

a≠0 один корень x=

a = b = 0 бесконечное множество корней x – любое число

a = 0, b ≠ 0 решений нет

При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом:

1)  обозначают некоторое неизвестное число буквой u, используя условие задачи, составляют уравнение;

2)  решают это уравнение;

3)  истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Примеры решения заданий.

1. Раскройте скобки:

а) x + (b + c + d – m)

б) (x – y) – m

в) a – (b – c – d)

Решение:

Если перед скобкой стоит плюс или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохранив знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.	а) x + (b + c + d – m) = x + b + c + d – m б) (x – y) – m = x – y – m
Если перед скобкой стоит минус, то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок.	в) a – (b – c – d) = a – b + c + d

2. Упростите выражение и найдите его значение:

(5x – 1) – (2 – 8x) при x = 0,75

Решение:

Раскрываем скобки	5x – 1 – 2 + 8x
Подчеркнем подобные слагаемые	5x – 1 – 2 + 8x
Приводим подобные слагаемые	13x – 3
Подставим вместо x число 0,75	13·0,75 – 3
Сначала выполним умножение	9,75 – 3
Теперь выполним вычитание	6,75

Как оформить в тетради:

(5x – 1) – (2 – 8x) = 5x – 1 – 2 + 8x = 13x – 3

Если x = 0,75, то 13x – 3 = 13·0,75 – 3 = 9,75 – 3 = 6,75

3. Решить уравнение: 2x – 17 = 63 + 4x

Решение:

Перенесем слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, меняя их знаки	2x – 17 – 4x = 63
Перенесем слагаемые без неизвестного в правую часть уравнения, меняя их знаки	2x – 4x = 63 + 17
Приведем в обеих частях подобные члены	– 2x = 80
Разделим обе части уравнения на коэффициент при х	х = 80:(-2) x = - 40

Ответ: - 40.

4. Решите задачу с помощью уравнения.

В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой касса, если всего было продано 792 билета?

Решение:

Пусть во второй кассе продали x билетов, тогда в первой кассе продали (x + 86) билетов. Всего было продано (x + x + 86) билетов, что по условию задачи составляет 792 билета.

Составим и решим уравнение:

х + х + 86 = 792

2х + 86 = 792

2х = 792 – 86

2х = 706

х = 706:2

х = 353

Значит, во второй кассе было продано 353 билета, а в первой 439 билетов.

Ответ: 439 билетов; 353 билета.

Решите самостоятельно

Задания обязательного уровня.

1. Найти значение выражения:

5,4·(-3) + 13,8):1 + 3

2. Упростить выражение:

а) -2,4а·(-5b); в) x + (x – 12) – (15 + x);

б) 14а – а – 10b + 7b; г) 7·(b +·(b – 2).

3. Решить уравнение:

а) x = 2,1; г) 3(4 – 2х) + 6 = - 2х + 4;

б) – 14x = 7; д) 5x – (3x – 8) = 2x;

в) 9x – 7 = 6x + 14; е) 4(2x – 1) – 3x = 5x – 4.

4. В первом ящике было в 5 раз больше мандарин, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 25 кг мандарин, а во второй положили еще 15 кг, то в обоих ящиках мандарин стало поровну. Сколько килограммов мандарин было в каждом ящике?

Задания повышенного уровня.

5. Упростить выражение и вычислить его значение:

а) , если a = - 1; b = -36;

б) 0,5(1,6х – 6,4у) – 2,4(1,5х + у), если х = 3, у = - 4,5;

в) , если m = -10; n = -0,1.

6. Решить уравнение: (12у + 18)(1,6 – 0,2у) = 0.

7. Одной бригаде надо было построить 180 м дороги, а другой – 160 м. Первая бригада прокладывала ежедневно 40 м, а вторая – 25 м. Через сколько дней первой бригаде останется проложить в 3 раза меньше метров дороги, чем второй?

8. При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10:

а) имеет корень, равный 5;

б) не имеет корней?