Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине
«Математика и математические методы в биологии»
1. Понятие вектора, линейные операции над векторами.
2. Линейная зависимость и независимость векторов. Критерии линейной зависимости векторов.
3. Декартова система координат в пространстве. Координаты точки и вектора в прямоугольной системе координат.
4. Линейные действия над векторами в координатной форме. Выражение вектора через координаты его начала и конца.
5. Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
6. Определители 2-го и 3-го порядка, их вычисление.
7. Свойства определителей, понятия: минор, алгебраическое дополнение.
8. Матрицы и действия над ними.
9. Понятие обратной матрицы. Алгоритм составления обратной матрицы. 10. Обращение матрицы методом Гаусса.
11. Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным способом.
12. Решение систем алгебраических уравнений методом Гаусса - Жордана.
13. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
14. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.
через простые произведения.
15. Уравнение линии на плоскости, уравнение окружности,
16. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой (частные случаи)..
17. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (параметрическое уравнение прямой в векторной форме, каноническое уравнение прямой на плоскости).
18. Канонические уравнения прямой в пространстве, направляющие косинусы, угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
19. Множества и операции над ними.
20. Понятие функции и способы ее задания.
21. Числовая последовательность и ее предел.
22.Основные свойства пределов последовательности.
23. Сходимость монотонной ограниченной последовательности.
24. Предел функции в точке и на бесконечности.
25. Основные теоремы о пределах.
26. Бесконечно малые функции и их свойства.
27. Связь функции, ее предела и бесконечно малой. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
28. Замечательные пределы и их использование.
29. Сравнение бесконечно малых.
30. Непрерывность функции в точке. Особенности непрерывных функций.
31. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.
32. Точки разрыва и их классификация.
33. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
34. Производная функции в точке, ее физический и геометрический смысл.
35. Производные сложной и обратной функции.
36. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
37. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.
38. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
39. Свойства дифференциала, инвариантность его формы, применение дифференциала в приближенных вычислениях.
40. Основные теоремы дифференциального исчисления. (Теорема Ферма, теорема Ролля).
41. Основные теоремы дифференциального исчисления. (Теорема Лагранжа, Каши и правило Лопиталя).
42. Формулы Тейлора, Маклорена и их применение.
43. Условия возрастания и убывания функции. Понятие экстремума функции.
44. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремумов.
45. Исследование функции на экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
46. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции.
47. Асимптоты кривых. Схема полного исследования функции и построение графика.
48. Комплексные числа, их геометрическое представление. Модуль и аргумент комплексного числа.
49. Формы представления комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами.
50. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и комплексной формах.
51. Возведение комплексного числа в степень, формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической и показательной формах. Формулы Эйлера.
52. Понятие функции нескольких аргументов. Предел и непрерывность функции нескольких аргументов.
53. Частные производные функции нескольких переменных.
54. Полное приращение функции. Полный дифференциал.
55. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
56. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных.
57. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.
58. Неопределенный интеграл и его свойства. Общие методы интегрирования (непосредственное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям).
59. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
60. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.
61. Основные методы приближенного вычисления определенного интеграла.
62. Обыкновенные дифференциальные уравнения, порядок уравнения, общее и частное решения.
63. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Уравнения разделяющимися переменными.
64. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения и методы их решения. Уравнение Бернулли.
65. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
66. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.
67. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности.
68. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий, противоположные события.
69. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
70. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Сумма вероятностей зависимых и независимых совместных событий.
71. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности.
73.Вероятность гипотез. Формула Байеса. Формула Бернулли и ее применение.
74. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
75. Закон распределения вероятности дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины.
76. Плотность вероятности случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
77. Числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) и их свойства.
78. Биномиальный и пуассоновский законы распределения случайной величины.
79. Равномерный и показательный законы распределения случайной величины.
80. Нормальный закон распределения, вероятность попадания в заданный интервал.
81. Понятие о системе случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
82. Функции распределения двумерной случайной величины и ее свойство.
83. Способы отбора. Статистическое распределение выборки.
84. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма.
85. Статистические оценки параметров распределения.
86. Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования.
87. Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению.
88. Математические модели биологических объектов и методы их исследования.
