Глава 5. Рынок финансов (стр. 2 )

Второй способ увеличения избыточных резервов, а затем и банковских кредитов – это продажа населению государственных ценных бумаг. Пусть исходное положение коммерче­ского банка характеризуется балансом 4.

Баланс 4

Актив	Пассив	М1 = 200
Обязательные резервы	20	Депозиты до востребования	200	М3 = 200
Ценные бумаги	200	Собственный капитал	20	К = 0
Всего	220	Всего	220

При таком состоянии баланса банк не может предоставлять кредит. Однако если он продаст своим вкладчикам государственные облигации, то его обязательные резервы превратятся в избыточные, так как в пассиве исчезнут бессрочные вклады вследствие использования их на приобретение государственных облигаций
. Баланс банка при этом сократится, как это показано балансом 5, но тем не менее у него теперь появится возможность предоставить кредит.

Баланс 5

Актив	Пассив	М1 = 0
Избыточные резервы	20	Собственный капитал	20	М3 = 0
Всего	20	Всего	20	К = 0

Используя эту возможность, банк превращает избыточные резервы снова в обязательные, и его баланс принимает вид баланса 6.

Баланс 6

Актив	Пассив	М1 = 200
Обязательные резервы Кредиты	20 200	Депозиты до востребования Собственный капитал	200 20	М3 = 200 К = 0
Всего	220	Всего	220

При продаже населению облигаций объем банковских кредитов возрос, не изменив пропорции денежных агрегатов.

Источником дополнительных кредитов и в случае переоформления бессрочного вклада в срочный, и при продаже населению государственных ценных бумаг является ускорение оборачиваемости денег: банки пускают в оборот средства, хранящиеся у населения.

5.2. Доходность и риск портфеля ценных бумаг

Перейдем теперь к комплексному анализу логики поведения экономического субъекта, стремящегося постоянно поддерживать оптимальную структуру своего имущества, представленного портфелем ценных бумаг. Для этого он в начале каждого периода так меняет структуры своего портфеля, чтобы максимизировать прирост его ценности к концу периода или, что то же самое, обеспечить максимальную доходность имущества, которая определяется как отношение дохода за период к ценности имущества. Доход портфеля складывается из дивидендов и приращения ценности его активов, поэтому доходность определяется по формуле

,

где r – доходность за период; d – процент (дивиденд), выплачиваемый за период; Ft, Ft–1 – рыночный курс портфеля соответственно в конце и начале периода.

На решение индивида о распределении общей суммы сбережений между различными видами ценных бумаг воздействуют четыре фактора:

-  доходность конкретного вида ценной бумаги
;

-  трансакционные затраты, связанные с превращением ценной бумаги в деньги;

-  степень риска получения ожидаемого дохода;

-  отношение индивида к риску.

Если бы ценные бумаги отличались только доходностью, то в портфеле экономического субъекта находился бы лишь один вид ценной бумаги, т. е. тот, который имеет наибольшую норму доходности. Именно к такому выводу привел нас проведенный в предыдущей главе анализ спроса на деньги как имущество: пока доход на облигацию превышал ожидаемые потери от снижения ее курса в портфеле индивида были только облигации; когда эти потери стали превышать сумму процентных выплат, тогда имущество индивида состояло только из денег. Однородность портфеля обусловлена в данном случае тем, что, кроме доходности, никакие другие свойства ценных бумаг не принимались во внимание.

Когда при определении оптимальной структуры портфеля учитываются также трансакционные затраты, как это было при исследовании спроса на деньги для сделок по модели Баумоля–Тобина, тогда в портфеле индивида одновременно были и деньги, и облигации.

Рассмотрим теперь роль риска при формировании портфеля ценных бумаг. Риск, связанный с приобретением некоторых видов ценных бумаг, обусловлен тем, что ожидаемый от них доход – величина случайная; он может принимать различные числовые значения с определенными вероятностями.

Вероятность характеризует степень достоверности наступления некоторого события. Вероятность гарантированного события принимают за единицу, а невозможного – за нуль. Вероятность случайной величины больше нуля, но меньше единицы, причем сумма вероятностей всех возможных ее значений равна единице.

Существуют два основных способа определения вероятности наступления случайного события: объективный (исторический) и субъективный (прогнозный). Объективная оценка вероятности выводится по данным статистической обработки результатов наблюдений за повторяющимися процессами, порождающими случайные события. Таким образом можно определить вероятность того, что в апреле текущего года в Москве среднемесячная температура будет выше нуля или что 31 декабря в городе не будет дорожно-транспортных происшествий. Иногда объективную оценку вероятности наступления некоторого случайного события можно дать априори: например, вероятность выпадения числа 3, как и любого другого от 1 до 6, при бросании шестигранного кубика равна 1/6. Субъективная оценка вероятности сводится к более или менее обоснованному прогнозу частоты появления возможных значений случайной величины. В инвестиционных расчетах обычно приходится иметь дело с новыми технологиями, и поэтому с субъективными оценками вероятности.

На основе заданных вероятностей случайных величин строят различные алгоритмы определения их средних ожидаемых значений. Чаще всего ожидаемое значение рассчитывают как средневзвешенную по вероятностям величину. Так, если в следующем году прибыль фирмы с вероятностью 0,1 может равняться и 15, и 30 ден. ед., с вероятностью 0,2 – и 18, и 24 ден. ед. и с вероятностью 0,4 – 20 ден. ед., то ожидаемая величина составит 0,1(15 + 30) + 0,2(18 + 24) + 0,4 ∙ 20 = 20,9 ден. ед.

Поскольку количественные оценки вероятности не всегда достоверны, то фактическое значение прогнозируемой величины может не совпасть с ожидаемым. Отсюда возникает понятие риска: существует риск, что фактическая величина не совпадет с ожидаемой. Вероятность отклонения фактической величины от ожидаемой тем больше, чем шире разброс значений случайной величины. Поэтому в качестве меры риска, присущего решению с вероятностным исходом, используют так называемое стандартное отклонение (σ) – среднеквадратическое абсолютное отклонение возможных значений случайной переменной от ожидаемого. В приведенном выше примере риск не получить в будущем году прибыль в размере 20,9 ден. ед. составит

σ = [(20,9 – 15)2 + (20,9 – 18)2 + (20,9 – 20)2 + (20,+ (20,9 – 30)2]0,5 = 11,7.

Величину σ2 называют дисперсией или вариацией.

Две случайные переменные x, y могут оказаться стохастически зависимыми или независимыми. Это определяется тем, насколько появление значения (i= 1, ¼ , n) связано с появлением значения (j = 1, ¼ , m). Обозначим буквой wij вероятность того, что переменная y примет значение тогда, когда переменная x примет значение . Тогда характер зависимости двух случайных переменных можно отобразить следующей матрицей:

x1 x2 … xn

y1 w11 w12 … w1n

y2 w21 w22 … w2n

… … … … …

ym wm1 wm2… wmn..

Количественной мерой взаимозависимости двух случайных переменных служит ковариация

.

Часто удобней характеризовать степень взаимозависимости двух случайных переменных посредством коэффициента корреляции:. По построению значение коэффициента корреляции находится в интервале –1 £ r £ +1. Если (соответственно r = 0), то x и y являются стохастически независимыми или некоррелируемыми случайными переменными; при r = 1 случайные значения x и y находятся в положительной, а при r = –1 – в отрицательной линейной зависимости. На рис. 5.2 показано, как располагаются точки, представляющие одновременные значения доходности двух ценных бумаг при r ® 0, r ® +1 и r ® – 1.

Каждая точка в системе координат rA, rB представляет определенную комбинацию доходности двух видов ценных бумаг А и В. При нулевой корреляции (см. рис. 5.2,а) расположение точек не имеет ярко выраженной направленности. Если рост доходности одной акции сопровождается ростом доходности другой (рис. 5.2,б), то наблюдается положительная корреляция. При отрицательной корреляции с ростом доходности одной акции происходит снижение доходности другой (рис. 5.2,в)[4].

Рис.5.2.

Пример 5.2. Случайная переменная x с вероятностью 0,3 может принять значение 50, с 0,2 – 100 и с 0,5 – 130. Случайная переменная y с вероятностью 0,6 примет значение 150, с 0,4 – 275. Вероятность того, что x будет равно 50 тогда, когда y = 150, составляет 0,2. Все другие показатели вероятности совместного появления различных значений x и y представлены в виде следующей матрицы:

	50	100	130
150	0,2	0,1	0,3
275	0,1	0,1	0,2

В данном примере ожидаемые значения

= 0,3×50 +0,2×100 + 0,5×130 = 100; = 0,6×150 + 0,4×275 = 200.

Определим стандартные отклонения

Вычислим ковариацию

= 0,2 ∙ (150 – 200) • (50 – 100) + 0,1 • (150 – 200) • (100 – 100) + 0,3 ∙ (150 – 200) • (130 – 100) + 0,1 • (275 – 200) • (50 – 100) + 0,1• (275 – 200) • (100 – 100) + 0,2 ∙ (275 – 200) • (130 – 100) = 125.

Теперь можно определить коэффициент корреляции

.

В дальнейшем нам придется воспользоваться еще рядом положений теории вероятностей. Ожидаемое значение суммы случайных переменных равно сумме их средних ожидаемых значений

.

Если a и b некоторые константы, то

. (5.1)

Дисперсия суммы двух случайных переменных

соответственно

. (5.2)

Если случайные переменные стохастически независимы, то r = 0, тогда

,

соответственно

. (5.2а)

Необходимость учитывать наряду с доходностью акции и ее риск значительно расширяет область выбора инвестора при формировании портфеля. Допустим, на фондовом рынке обращаются акции шести фирм. Характеристики этих акций приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4.

Доходность и риск акций

Показатели, %	Акции фирмы
A	B	С	D	Е	F
r	7	9	9	12	15	15
σ	12	8	20	30	30	25

Для большей наглядности представим эти данные в графическом виде (рис. 5.3).

Рис. 5.3.

На первый взгляд акции фирм A, C и D будут вытеснены с рынка, так как с точки зрения типичного инвестора по соотношению доходности и риска акции фирмы B предпочтительнее акций фирм A и C, а вместо акций фирмы D целесообразнее купить акции либо фирмы E, либо F. В действительности на фондовом рынке могут одновременно и постоянно обращаться акции всех указанных фирм. Почему это так, объясняет теория портфеля.

5.3. Составление портфеля из двух разновидностей акций

При наличии на рынке ценных бумаг лишь двух акций A и B область выбора инвестора не сводится к двум сочетаниям rA, sA и rB, sB. Для составления портфеля можно использовать бесчисленное множество комбинаций из определенного количества каждой из акций. Согласно свойству (5.1) ожидаемая доходность таких комбинаций определяется по формуле

, (5.3)

где – ожидаемые доходности соответственно портфеля и акций A и B; nA, (1– nA) = nB – доли каждой из акций в общей ценности портфеля.

Степень риска каждого из возможных вариантов портфеля в соответствии со свойством (5.2) будет

. (5.4)

Из уравнения (5.3) следует, что при nA + nB = 1 доходность портфеля не может превышать доходность наиболее доходной акции. Поэтому, казалось бы, составлять смешанный портфель нет смысла. Однако риск портфеля, как следует из уравнения (5.4), ниже риска отдельных акций, включенных в него, не только при отрицательном коэффициенте корреляции. Чтобы этот вывод сделать более наглядным, составим портфель из акций двух фирм, имеющих не только одинаковую ожидаемую доходность , но и одинаковую степень риска . Ожидаемая доходность такого портфеля – r, а ее вариация

σ2.

Отсюда следует, что основным параметром, который определяет соотношение рисков портфеля и составляющих его ценных бумаг, является коэффициент корреляции. Поскольку –1 £ r £ +1, то риск портфеля не выше риска входящих в него акций. При r = 0 измеряемый дисперсией риск данного портфеля вдвое меньше, чем отдельной акции: . Если r = –1, то получаем безрисковый портфель: = 0. Объяснение того, как из двух рисковых активов получается безрисковый портфель, представлено на рис. 5.4, где показана динамика доходности во времени двух акций при r = –1. Несмотря на колебания доходности каждой из акций, у портфеля она не изменяется.

Рис. 5.4

Согласно выражению (5.4) риск портфеля, состоящего из двух акций, является функцией от одной переменной nA. Поэтому условие минимизации риска портфеля можно представить следующим равенством:

, (5.5)

Чтобы убедиться в том, что найденный экстремум является минимумом, определим вторую производную

;

так как –1 £ r £ +1, то вторая производная всегда неотрицательна.

Решение равенства (5.5) относительно nA дает структуру портфеля с минимальным риском

(5.6)

При r = – 1 доли каждого вида акций, минимизирующие риск, будут

/ (5.7)

Портфель с такой структурой имеет нулевой риск. В этом можно убедиться, подставив значения (5.7) в формулу (5.4) при r = – 1:

.

Портфель из двух стохастически независимых акций (r = 0) в соответствии с условием (5.5) имеет минимальный риск при

.

У такого портфеля

.

При совершенной положительной корреляции двух акций (r = + 1) структура портфеля с минимальным риском следующая:

,

он тоже может быть безрисковым, так как

.

Но при этом, как следует из приведенных формул, определяющих доли каждого вида акций этого портфеля, одна из них должна быть отрицательной: если sB > sA, то < 0, а если sA > sB, то < 0. На практике этому соответствует продажа акций «без покрытия», т. е. реализация акций, взятых на время.

Однако не все выбирают портфель с минимальным риском. Некоторые инвесторы согласны иметь более рисковый портфель с более высокой ожидаемой доходностью. Поэтому нужно найти все множество возможных сочетаний p, sp. Чтобы получить функциональную зависимость ожидаемой доходности портфеля непосредственно от степени его риска: p = rp(sp), нужно решить уравнение (5.4) относительно nA и найденное значение подставить в формулу (5.3). Графическое построение данной функции приведено на рис. 5.5. Здесь представлен случай, когда = 13, sA = 3,16, = 18, sB = 6 и r = 0.

рис. 5.5.

В нижней части рис. 5.5 представлена зависимость доходности и риска портфеля от доли в нем наиболее доходной акции. По мере увеличения этой доли rp повышается (квадрант III), а его риск сначала снижается, а потом возрастает (квадрант IV). Посредством вспомогательной линии, проведенной в квадранте II под углом 45°, в квадранте I строится график rp(sp) путем совмещения проекций графиков sp(nB) и rp(nB). График rp(sp) в квадранте I есть геометрическое место точек, представляющих все возможные комбинации значений ожидаемой доходности и степени риска портфеля, составляемого из двух разновидностей ценных бумаг с вероятностно независимой друг от друга доходностью.

Как уже отмечалось, область выбора инвестора при составлении портфеля из двух разновидностей рисковых ценных бумаг существенно зависит от коэффициента корреляции. Чтобы нагляднее представить это, определим области выбора при составлении портфеля из двух разновидностей акций A и B, у которых = 13, sA = 3,16, = 18, sB = 6, при различных вариантах взаимозависимости их доходностей. В табл. 5.4 приведены результаты расчетов по формулам (5.3) и (5.4) интересующих инвестора характеристик при четырех значениях ρ. На рис. 5.6 они представлены в графическом виде.

Рис 5.6.

Таблица 5.4.

Доходность и риск портфеля при различных коэффициентах корреляции

nB	rp	σp
ρ = –1	ρ = 0	ρ = 0,5	ρ = 1
0	13	3,16	3,16	3,16	3,16
0,1	13,5	2,24	2,91	3,19	3,44
0,2	14	1,33	2,80	3,30	3,73
0,3	14,5	0,41	2,85	3,48	4,01
0,4	15	0,50	3,06	3,73	4,30
0,5	15,5	1,42	3,39	4,03	4,58
0,6	16	2,34	3,82	4,37	4,86
0,7	16,5	3,25	4,31	4,75	5,15
0,8	17	4,17	4,84	5,15	5,43
0,9	17,5	5,08	5,41	5,56	5,72
1	18	6	6	6	6

Какую точку кривых выбора предпочтет инвестор, зависит от его отношения к риску. Предпочтения индивида относительно дохода и риска можно представить в виде функции полезности: U = U(, s). В зависимости от отношения к риску люди делятся на: