Глава 5. Рынок финансов (стр. 5 )

рис. 5.15.

В соответствии с рассматриваемой концепцией доходность не только отдельной акции, но и любого портфеля, составленного из обращающихся на рынке акций, определяется характеристиками рыночного портфеля. Если в приведенных выше рассуждениях на место акции вида j поставить некий портфель, то придем к выводу, что, где – ожидаемая доходность портфеля. Она зависит как от объема и структуры данного портфеля, так и от доходности рыночного портфеля и соотношения рисков их обоих. По мере приближения структуры данного портфеля к структуре рыночного величина αp будет стремиться к нулю, а величина βp – к единице.

Модель ценообразования капитальных активов. В отличие от модели рынка, постулирующей исключительную роль характеристик рыночного портфеля при определении доходности отдельных рисковых активов, CAPM обосновывает это положение.

Из теоремы сепаратности теории портфеля следует, что у всех покупателей акций структура спроса одинакова; хотя размеры портфелей у инвесторов различны, все они хотят иметь одинаковый ассортимент рисковых активов. Для обеспечения равновесия на рынке рисковых ценных бумаг необходимо, чтобы структура предложения совпадала со структурой портфеля, определяемой на рис. 5.16 точкой M – точкой касания прямой, проходящей через i с линией области эффективного выбора портфеля. Отсюда вытекает исходное положение CAPM: при равновесии на рынке ценных бумаг рыночный портфель как совокупность всех обращающихся на рынке рисковых активов совпадает с оптимальным для инвесторов портфелем. Поэтому в состоянии равновесия ожидаемая доходность имущества (υ), определяемая по формуле (5.8), у любого инвестора равна

. (5.17)

рис.5.16.

Уравнение (5.17) получило название уравнения линии рынка капитала CML (capital market line), которая показана на рис. 5.16. Она представляет множество эффективных структур финансовых вложений при равновесии на рынке рисковых ценных бумаг. Это означает, что при равновесии на финансовых рынках имущество рационального инвестора состоит из рыночного портфеля определенного размера и вложений или задолженности на денежном рынке.

Угол наклона CML отражает цену риска вложений на рынке рисковых активов: он показывает, на сколько повышается доходность имущества инвестора при увеличении на единицу их риска, который изменяется прямо пропорционально изменению доли рисковых активов в общей сумме имущества. Иначе говоря, tgα – предельная доходность риска имущества при наличии на рынке рисковых и безрисковых активов .

Можно доказать[12], что приведенное соотношение у рыночного портфеля акций определяется по формуле

,

где – соответственно ожидаемая доходность, мера риска и коэффициент корреляции некоторого j-го вида рисковых активов.

Поскольку структура рыночного портфеля определяется точкой касания прямой CML с эффективной областью выбора портфеля, то. Поэтому

. (5.18)

Второе слагаемое в формуле (5.18) представляет премию за риск: ожидаемая доходность рискового актива j превышает доходность безрисковой ссуды. Если риск измерять посредством ковариации доходностей j-й акции и рыночного портфеля, то есть цена риска.

В графическом виде зависимость между ожидаемой доходностью рискового актива и величиной присущего ему риска (формула 5.18) представляется линией рынка ценных бумаг SML (security market line), изображенной на рис. 5.17,а. Она показывает, что между доходностью и риском финансового актива существует положительная линейная зависимость. В отличие от линии CML, которая показывает, как растет ожидаемая доходность имущества по мере роста его риска, линия SML представляет связь между ожидаемой доходностью отдельной акции и ее риском, измеряемым посредством cov.

Обратим теперь внимание на то, что сомножитель, стоящий за скобкой в уравнении (5.18), есть коэффициент βj, характеризующий в модели линейной регрессии взаимозависимость между и : . Поэтому уравнение линии SML можно записать следующим образом:

. (5.19)

Ее график изображен на рис. 5.17,б.

рис. 5.17.

Ожидаемую доходность акции за период можно представить в виде

, (5.20)

где – сумма ожидаемых дивидендов плюс цена акции на конец периода; zj – текущая цена акции.

Из формул (5.19) и (5.20) следует, что в модели САРМ

, (5.21)

т. е. цена рискового актива определяется путем дисконтирования
ожидаемого от него дохода по рыночной ставке процента, увеличенной на премию за риск.

Пример 5.6. Определим равновесную цену акции, на которую через год в виде дивидендов и выручки от ее продажи ожидается получить 110 ден. ед. с вероятностью 0,35; 120 ден. ед. с вероятностью 0,45 и 130 ден. ед. с вероятностью 0,2. Предполагается также, что индекс рынка акций, равный в настоящее время 1600, через год с вероятностью 0,35 примет значение 1750, с вероятностью 0,45–1700 и с вероятностью 0,2–1800. Доходность безрисковых вложений равна 8%.

Рассчитаем ожидаемый доход на данную акцию (), ожидаемую доходность и риск рыночного портфеля, а также:

= 0,35×110 + 0,45×120 + 0,2×130 = 118,5;

;

Прежде чем продолжить расчет равновесной цены данной акции, установим, в каком соотношении находятся значения, необходимое для определения величины bj, и, для вычисления которого в рассматриваемом примере имеются следующие данные:

где n—число всевозможных исходов; wl–вероятность исхода n.

Тогда

.

Подставим данное выражение в формулу (5.21)

.

В условиях примера

.

Теория арбитражного ценообразования APT (arbitrage pricing theory). Она возникла как дальнейшее развитие модели САРМ в конце 1970-х гг.[13]. Сама теория достаточно сложна и подробно излагается лишь в специальных учебниках по корпоративным финансам. Здесь ограничимся изложением ее сути на числовых примерах.

В основе теории лежат два положения:

·  в состоянии общего экономического равновесия на всех конкурентных рынках, включая рынок ценных бумаг, устанавливаются цены, исключающие возможность арбитража;

·  ожидаемая величина и риск дохода ценной бумаги
определяются не одним, как в модели САРМ (колебаниями доходности рыночного портфеля), а несколькими факторами (колебаниями ВВП, темпа инфляции, обменного курса национальной валюты и др.).

Пример 5.7. Цены обращающихся на рынке акций A, B, C и D равны 77; 85; 110 и 75 ден. ед. Ожидаемый от них через год доход зависит от того, сохранится ли существующий обменный курс национальной валюты, повысится он или снизится (табл. 5.10).

Таблица 5.10.

Ожидаемая доходность акций

Акция	Текущая цена, ден. ед.	Ожидаемый доход, если обменный курс, ден. ед.
понизится	не изменится	повысится
A	77	60	75	90
B	85	100	75	75
C	110	95	120	105
D	75	50	50	105

При текущих ценах в рассматриваемом примере возможен арбитраж. Составим портфель из трех первых акций, обеспечивающий такой же ожидаемый доход, какой имеет акция D. В такой портфель нужно включить 2,43 акций A, 0,22 акций B и –1,24 акций C (т. е. продать взятое на время это количество акций C). Структура такого портфеля находится из системы уравнений

x2 = 0,22; x3 = -1,24.

Его цена будет: 77•2,43 + 85•0,22 – 110•1,24 = 69,4. Следовательно, продав акцию D и купив указанный портфель, получим 75 – 69,4 = 5,6 ден. ед. дохода. По мере увеличения предложения акций D и спроса на остальные акции на рынке акций установится система цен, исключающая получение арбитражного дохода. Одной из таких систем может быть: zA= 77; zB = 85; zC = 110; zD = 69,4.

Ожидаемая доходность отдельной акции в концепции АРТ рассчитывают по формуле

,

где n – число факторов риска; βi – реакция (чувствительность) ожидаемой доходности акции на изменение значения i-го фактора риска; λ0 – доходность безрисковых вложений; li – премия за риск, обусловленный i-м фактором.

Пример 5.8. На рынке обращаются три вида акций – A, B и C. Их ожидаемая доходность и коэффициенты ее реакции на изменения темпа роста ВВП (b1) и темпа инфляции (b2) представлены в табл. 5.11.

Таблица 5.11.

Характеристики акций

Акция		b1	b2
А	11,5	1,0	0,6
В	10,0	1,1	0,4
С	12,0	0,5	0,8

В заданных условиях не будет возможности извлечения дохода от арбитража, если l1 = 3,75; l2 = 2,5; l3 = 8,75. Их значения находятся из следующей системы уравнений:

Допустим, фирма D решает выйти на рынок капитала, предлагая свои акции с ожидаемой доходностью rD = 11 при bD1 = 0,75 и bD2 = 0,45. Из акций A, B и C можно составить портфель, имеющий такую же чувствительность к факторам риска, какую имеет акция D. Возьмем, например, 0,4 акции A, 0,257 акции B и 0,134 акции C. Коэффициент чувствительности этого портфеля к изменению темпа роста ВВП равен

0,4∙1 + 0,257∙1,1 + 0,134∙0,5 = 0,75,

а к изменению темпа инфляции

0,4∙0,6 + 0,257∙0,4 + 0,134∙0,8 = 0,45,

но его ожидаемая доходность ниже, чем у акции фирмы D

0,4∙11,5 + 0,257∙10 + 0,134∙12 = 8,78.

Поэтому имеется возможность арбитража. Осуществим «пустую продажу» составленного портфеля и на вырученные деньги купим акции фирмы D. Результаты этой операции в расчете на 1000 ден. ед. представлены в табл. 5.12.

Таблица 5.12.

Результаты реструктурирования портфеля

Вид операции	t0	t1	b1	b2
Продажа портфеля А, В,С	+1000	–1087,8	–0,75	–0,45
Покупка акции D	–1000	+1100	+0,75	+0,45
Итого	0	+122,2	0	0

Использование обнаруженной возможности выигрыша на описанной операции приведет к снижению цен акций, входящих в портфель, и повышению цены
акции фирмы D. Когда возможности арбитража будут исчерпаны, на рынке акций снова установится равновесие и цена акции D примет свое равновесное значение.

Сравнивая концепции АРТ и САРМ, можно отметить, что теория арбитражного ценообразования может быть представлена в многопериодном варианте, в ней не предполагается в качестве обязательного условия существование финансового инструмента
с безрисковой доходностью и для ее применения не нужно исчислять среднеожидаемое значение дохода от ценных бумаг и его вариацию. С другой стороны, САРМ представляет собой модель определения всей системы равновесных цен обращающихся на рынке ценных бумаг, в то время как АРТ объясняет формирование равновесной цены на отдельную, вновь появляющуюся на рынке акцию.

Краткие выводы

Посредством рынка капитала сбережения переводятся в инвестиции. Структура последних формируется в процессе оптимизации структуры имущества домашних хозяйств, в котором выделяются две составляющие: финансовые средства (деньги и облигации) и вложения в реальный капитал (акции). Совместное выравнивание спроса и предложения на всех кредитных рынках достигается благодаря гибкости взаимосвязанной системы ставок процента, выступающих в роли прокатных цен соответствующих капитальных активов. При одинаковых у всех инвесторов ожиданиях относительно развития конъюнктуры на рынке ценных бумаг структура вложений в реальный капитал (пакета акций) у всех избегающих риск инвесторов будет одинаковой. Различия их предпочтений относительно всевозможных комбинаций доходности и риска проявятся в пропорциях распределения имущества между финансовыми и реальными вложениями. В условиях инфляции рисковыми являются вложения не только в реальный капитал, но и финансовые. В то же время каждая составляющая имущества имеет свой источник риска. Поэтому финансовые и реальные вложения для инвесторов неодинаково взаимозаменяемы. Расхождения в оценке степени взаимозаменяемости исходят из их различного отношения к риску.

Теория портфеля лежит в основе некоторых современных концепций спроса на деньги (в частности, монетаристской концепции) и теорий ценообразования на рынке ценных бумаг. Ценообразование на финансовые инструменты определяет условия, на которых фирмы могут привлекать внешние денежные средства, а инвесторы повышать свое благосостояние. Кроме традиционной концепции ценообразования на рынке ценных бумаг, определяющей цену как сумму дисконтированных ожидаемых доходов, в настоящее время существуют модель САРМ, основанная на теории портфеля, и как дальнейшее ее развитие – модель АРТ.

Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из n разновидностей рисковых ценных бумаг

Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: ri – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги; i=1, 2, ¼, n; gi – доля i-й ценной бумаги в портфеле; sij – ковариация между i-й и j-й ценными бумагами; rp – ожидаемая доходность портфеля; σp – стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля.

В соответствии с теорией вероятности

Дана функция полезности инвестора, характеризующая его отношение к доходности и риску:, где ψ – параметр предпочтения между риском и доходностью.

Задача. max при.

Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа

где λ – сомножитель Лагранжа.

Условия максимизации в матричной форме имеют следующий вид:

. (1)

Обозначим буквой R уменьшаемое в равенстве (1), первый сомножитель вычитаемого (матрицу) – буквой C, а второй сомножитель (вектор) – буквой G. Тогда условие максимизации функции Лагранжа можно записать в виде:

R – C G = 0 Þ G = C–1 R.

Определим обратную матрицу к матрице C. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, aij. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обозначим ci.

C-1 =

В этой матрице.

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить систему уравнений

Обозначив, получим следующую формулу для расчета оптимальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:

. (2)

Определим портфель с минимальным риском. Параметр ψ представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбора инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.13). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому ψ = 0. Следовательно, у такого портфеля gi = ci, т. е. последний столбец (строка) обратной матрицы C–1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут

; (3)

. (4)

Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель

.

Посредством показателей rpmin, σpmin и J легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора.

Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходностью. В соответствии с равенствами (2) и (3)

(5)

Из равенства (5) определим, какому значению ψ соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную,

. (6)

Подставив значение ψ, полученное из выражения (6), в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью.

Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что

(7)

Первое слагаемое в выражении (7) – вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде

,

а третье слагаемое равно нулю. Поэтому

. (8)

Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска.

Пример. На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов акций установлены характеристики, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Акция	, %	si %	Корреляция ρij	Ковариация sij
А	В	С	А	В	С
А	10	14	1	0,5	– 0,35	196	98	– 196
В	15	14	–	1	0,3		196	168
С	25	40	–	–	1			1600

Составим из этих акций портфель: а) с минимальным риском; б) максимизирующий функцию полезности; в) с ожидаемой доходностью 17 %; г) с риском sp = 18 %. В данном примере матрицу системы уравнений (1) можно представить в виде табл. 2, а обратную к ней – в виде табл. 3.

Таблица 2

	А	В	С
А	392	196	–392	1
В	196	392	336	1
С	–392	336	3200	1
	1	1	1	0

Таблица 3

0,00339	–0,004	0,00062	0,69882
–0,0040	0,00508	–0,00107	0,15469
0,00062	–0,0010	0,00045	0,1465
0,69882	0,15469	0,1465	–246,83

Последний столбец табл. 3 указывает на то, что в портфеле с минимальным риском должно быть акций, %, A – 69,88, акций B – 15,47 и С – 14,65. Обратим внимание на то, что акций A в портфеле оказалось значительно больше, чем B, хотя по сочетанию доходности и риска первые уступают вторым. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 12,97 % при σp= 11,11 %.

Для определения структуры портфеля, максимизирующей заданную функцию полезности, вычислим bi:

Теперь по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

gA = 0,69882 – 40∙0,01077 = 0,268;

gB = 0,15469 + 40∙0,00931 = 0,527;

gC = 0,1465+40∙0,001462 = 0,205.

Ожидаемая доходность этого портфеля равна 15,7 %, а σp = 13,35 %.

Для нахождения структуры портфеля с заданной ожидаемой доходностью 17 % определим значение J в условиях рассматриваемого примера:

J = –0,01077×10 + 0,009308×15 + 0,001462×25 = 0,06848.

По формуле (6) определим значение y, соответствующее желанию инвестора иметь rp= 17 %,

.

И снова по формуле (2) найдем искомую структуру портфеля

gA = 0,69882 – 58,84•0,01077 = 0,0651;

gB = 0,15469 + 58,84•0,00931 = 0,7024;

gC = 0,1465 + 58,84•0,001462 = 0,2325.

Портфель с такой структурой имеет = 17%, sp= 15,55%.

И наконец, определим структуру портфеля с риском sp = 18%. Такому желанию инвестора соответствует

.

Тогда

gA = 0,69882 – 76,54∙0,01077 = –0,126;

gB = 0,15469 + 76,54∙0,00931 = 0,8671;

gC = 0,1465 + 76,54∙0,001462 = 0,2584.

Такой портфель имеет = 18,21%, sp= 18%.

Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля

Предположим, что финансовые средства субъекта состоят из двух частей: рыночного портфеля определенного размера и еще одной акции j-го вида, уже содержащейся в нем в соответствующей пропорции. Доля цены этой акции в общем имуществе инвестора равна n. Тогда в соответствии с равенством (5.1) ожидаемая доходность имущества определяется по формуле

,

а стандартное отклонение будет

.

Найдем предельное соотношение между доходностью и риском имущества субъекта

С помощью этого выражения можно установить предельное соотношение между доходностью и риском рыночного портфеля. Для этого нужно принять n = 0, т. е. предположить, что портфель рисковых активов субъекта в точности соответствует структуре рыночного портфеля, тогда

.

[1] EZB // Monatsbericht, 2002. Febr. S. 30–31.

[2] Fischer I. Die Kaufkraft des Geldes. Berlin, 1916.

[3] Сост. по: Бюлл. банковской статистики, 1998. № 12; 2000. № 12; 2001. № 12.

[4] Коэффициенты корреляции курсов (доходностей) акций, обращающихся на рынке ценных бумаг, регулярно публикуются в периодической печати.

[5] Rubinstein M. E. A comparative statics analysis of risk premiums // Journal of Business, 1973. Vol. 46. P. 605–615.

[6] Evans J., Archer S. Diversification and the reduction of dispersion: An empirical analysis // Journal of Finance, 1968. Vol. 23. P. 761–767.

[7] Vock T., Zimmermann H. Risiken und Renditen schweizerischen Aktien // Schweizerische Zeitschrift für Völkswirtschaft und Statistik, 1984. Apr. S. 547–576.

[8] Friedman M. Studies in the quantity theory of money. Chicago, 1956.

[9] БД AK&M List.

[10] Sharpe W. F. A simplified model for portfolio analysis // Management Science, 1963. Jan. Vol. 9. P. 277–293.

[11] Sharpe W. F. Capital asset prices // Journal Finance, 1964. Sept. Vol. 19. P. 425–442; Lintner J. Security prices, risk and maximal gains from diversification // Journal Finance, 1965. Dec. Vol. 20. P. 587–615; Mossin J. Equilibrium in a capital asset market // Econometrica, 1966. Oct. Vol. 34. P. 768–783.

[12] См. Математическое приложение 2 к данной главе.

[13] Ross S. The arbitrage theory of capital asset pricing // Economics Theory, 1976. Dec. P. 341–360.