Практическое занятие № 1
Основы линейной алгебры
Часть 1. Основы линейная алгебра
§1. Действия над матрицами
Повторение теоретического материала.
Определения.
1) Суммой матриц 
и 
называется матрица
полученная сложением элементов с одинаковыми индексами.
2) Произведением матрицы на число 
называется матрица 
полученная умножением всех элементов матрицы 
на число .
3) Произведением матрицы – строки 
на матрицу – столбец 
, имеющих одинаковое число элементов, называется число 
.
4) Произведением матрицы на матрицу 
, удовлетворяющих условию: число столбов матрицы 
равно числу строк матрицы 
, называется матрица 
где, 
то есть 
равно произведению 
строки матрицы на 
столбец матрицы . Матрица 
имеет 
строк и столбцов.
Выполнить действия над матрицами.
Пример 1.1. Найти 
для матриц
Решение. Согласно определениям, получим
Пример 1.2. Найти 
для матриц
(Ответ: 
).
Пример 1.3. Найти произведение 
матриц
.
Решение. Согласно определению произведения матрицы - строки на матрицу - столбец, получим
.
Пример 1.4. Найти произведение матриц
.
Решение. Матрицы можно умножить, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Получим
.
Пример 1.5. Найти произведение матриц
. (Ответ: 
).
§2. Вычисление определителей
Повторение теоретического материала.
Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу 
он равен разности между произведением элементов, стоящих на главной диагонали, и произведением элементов, стоящих на побочной диагонали.
Определитель третьего порядка вычисляется по следующему правилу
Пример 1.6. Вычислить определитель второго порядка 
.
Решение. Согласно правилу вычисления определителей, находим:
.
Пример 1.7. Вычислить определитель второго порядка 
. (Ответ: 17).
Пример 1.8. Вычислить определитель третьего порядка 
.
Решение. Согласно правилу вычисления определителей, находим:
Пример 1.9. Вычислить определитель третьего порядка 
. (Ответ: 28).
§3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Повторение теоретического материала.
Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
находится по формулам 
,
где 
Определитель 
называется определителем системы, 
,
получаются из определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
находится по формулам: 
где 
– определитель системы,
, 
, 
.
Замечание. Метод Крамера применяется когда 
.
Пример 1.10. Решить систему двух линейных уравнений по методу Крамера
Решение. Вычислим определители
,
Найдем решение системы по формулам Крамера
Проверка. 
Пример 1.11. Решить систему двух линейных уравнений по методу Крамера
(Ответ: 
).
Пример 1.12. Решить систему трех линейных уравнений методом Крамера
Решение. Вычислим четыре определителя
Найдем решение системы по формулам Крамера
Проверка. 
Пример 1.13. Решить систему трех линейных уравнений методом Крамера
(Ответ: 
).
Домашнее задание
Пример 1.14. Найти 
для матриц
(Ответ: 
)
Пример 1.15. Найти произведение матриц
. (Ответ: 
).
Пример 1.16. Вычислить определитель второго порядка 
. (Ответ: 
).
Пример 1.17. Вычислить определитель третьего порядка 
. (Ответ: 
).
Пример 1.18. Решить систему двух линейных уравнений по методу Крамера
(Ответ: 
).
Пример 1.19. Решить систему трех линейных уравнений методом Крамера
(Ответ: 
).
