Удивительный мир чисел (стр. 5 )

II. 4. Наибольшее известное простое. Закономерности некоторых простых чисел.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 231 − 1 = .[8,С.137]

Наибольшим известным простым числом по состоянию на ноябрь 2011 года является − 1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.[10, сайт EFF].

Кстати, за нахождение простых чисел из более чем и 1 десятичных цифр EFF (Electronic Frontier Foundation (EFF), Фонд Электронных Рубежей) назначил денежные призы соответственно в и долларов США.

И еще один факт: если в простое число в начало, конец и между каждой парой цифр добавить одинаковые нечётные цифры: 1, 3, 7 или 9, полученное число будет простым.

Подставляя, получим: , ,
, – простые числа (проверили через компьютер по таблице простых чисел).

И еще одна закономерность: рассматривая простые числа, заметила, что все без исключения простые числа в диапазоне до 1000 могут быть представлены в виде суммы двух рядом стоящих натуральных чисел, например:

17 = 8 + 9

29 = 14 + 15

61 = 30 + 31.

Данная закономерность проверена экспериментально (использование компьютера, Microsoft Excel). Таблица представлена в приложении.[3]

k	6k-1	3k-1
1	5	2	3
2	11	5	6
3	17	8	9
4	23	11	12
5	29	14	15

k	6k+1	2k+(k-1)+1
1	7	3	4
2	13	6	7
3	19	9	10
5	31	15	16
6	37	18	19
7	43	21	22

II. 5. Числа – близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". Используя таблицу простых чисел в интервале (1;8000) мною они были найдены.[4]

Конечно или бесконечно множество чисел-близнецов неизвестно. Близнецы в натуральном ряду простых чисел появляются без какой-либо периодичности, но чем больше числа, тем реже близнецы встречаются.

3,5	101,103	227,229	311,313	419,421	521,523	617,619	809,811	1151,1153
5,7	107,109	239,241	347,349	431,433	569,571	641,643	821,823
11,13	137,139	281,283		461,463	599,601	659,661	827,829
17,19	149,151						857,859
29,31	179,181						881,883
41,43	191,193
59,61	197,199
71,73

В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно.

Замечены и другие скопления чисел-близнецов: (3,5,7,11,13,17,19), (101,103,107,109), (137,139,149,151)… Но какой-либо зависимости в их расположении также не просматривается.

Для чисел-близнецов закономерны следующие свойства, которые проверены экспериментально:

1. Каждую пару, начиная с чисел больших 3, можно выразить формулой p=6k-1 и q=6k+1. (если числа-близнецы)

k	p	q
1	5	7
2	11	13
3	17	19
4	23
5	29	31
6		37
7	41	43
8	47
9	53
10	59	61

2.. Суммы чисел-близнецов делятся на 2, на 3, на 4, на 6, на 12.

Показать можно, используя вышеназванные формулы:

p +q = 6k-1+6k+1 = 12k / 2, 3, 4, 6, 12.

3. Все числа-близнецы – нечетные числа.

4. Произведение тройки – близнецов равно числу Шахиризады. 1001=7*11*13

5. Покажем, что (pp + qq ) / (p + q) (вычисления произведены на компьютере)

p	q	p^p	q^q	p+q	p^p+q^q	частное
3	5	27	3125	8	3152	394
5	7	3125	823543	12	826668	68889
11	13	2,85E+11	3,03E+14	24	3,03E+14	1,26E+13
17	19	8,27E+20	1,98E+24	36	1,98E+24	5,5E+22
29	31	2,57E+42	1,71E+46	60	1,71E+46	2,85E+44
41	43	1,33E+66	1,73E+70	84	1,73E+70	2,06E+68
59	61	3E+104	8E+108	120	8E+108	6,7E+106

III. Числа, вызывающие интерес.