В третьей главе приведён многоуровневый алгоритм решения задачи нелинейного математического программирования с использованием методов модифицированных функций Лагранжа. Преимущество такого подхода состоит в том, что он позволяет рассматривать широкий класс условно-экстремальных задач как выпуклого, так и невыпуклого программирования.
В алгоритме используются 2 модифицированные функции Лагранжа:
| (8) |
| (9) |
где 
– функция Лагранжа, {Y} – вектор двойственных переменных (или множителей Лагранжа) размерностью m. В выражении (8) [K] – диагональная матрица штрафных коэффициентов. Элементы матрицы [d] определяются из условия: если 
иначе 
ΔZj – величина сдвига j-го ограничения в допустимую область. Параметры kf и t , входящие в функции (8), (9) регулируют сходимость алгоритма.
Численный алгоритм решения задачи НМП основан на двух попеременных процедурах. На первом шаге при определенных {Xt}, {Yt} решается задача на безусловный экстремум при наличии параметрических ограничений:
| (10) |
в результате чего вычисляется вектор {Xt+1}. Для решения этой задачи могут быть реализованы методы безусловной минимизации различных классов. На первых итерациях при отсутствии хорошего начального приближения используется метод случайного поиска. Метод деформируемого многогранника обладает высокой надежностью и позволяет получать оптимальные решения для функций произвольного вида, но при этом требует большого числа обращений к вычислению целевой и ограничительных функций. В методе наискорейшего спуска поиск ведется вдоль градиента минимизируемой функции. Скорость этого метода на порядок выше, но он применим для гладких дифференцируемых функций. Метод покоординатного спуска предполагает спуск вдоль соответствующей координаты при фиксированных значениях других переменных. Этот метод используется в задачах дискретного программирования. На последних итерациях для получения результатов высокой точности, возможно переключение на метод Ньютона. Однако метод может быть реализован только для континуальных задач, если функция Fp выпукла и дифференцируема. В градиентных методах для определения длины вектора, вдоль которого осуществлялся спуск к экстремуму, используются методы одномерного поиска. В этом случае сначала выявлялся интервал, где расположена «выпуклая тройка» точек, а далее методом золотого сечения, либо методом квадратичной интерполяции этот интервал исследовался на экстремум.
Второй шаг итерационного процесса заключается в определении двойственных переменных {Yt+1}, для чего предусмотрено 3 способа.
Способ 1 предполагает, что вектор двойственных переменных определяется из сравнения условий стационарности функции Fp и функции Лагранжа FL. Этот способ дает линейную скорость сходимости по Y:
| (11) |
j = 1, 2, …, m.В способе 2 приращение двойственных переменных вычисляется путем максимизации Fp методом Ньютона в редуцированном пространстве потенциально-активных ограничений 
, что дает квадратичную сходимость по Y.
В 3-м способе вектор 
определяется непосредственно через прямые переменные путем максимизации функции FM по Y.
| (12) |
Этот способ не требует выполнения условий стационарности функции Fp по исходным переменным X.
В соответствие этим способам было поставлено 3 схемы решения задачи НМП:
В схеме 1 реализуются прямые поисковые методы либо градиентный метод 1-го порядка для решения задачи (10) в сочетании с 1-м способом пересчёта переменных Y . Этот приём был использован на 1-х итерациях алгоритма.
Схема 2 даёт квадратичную сходимость по прямым и двойственным переменным.
| (13) |
| (14) |
где |
, 
Добавки [D] и {V} учитывают влияние параметрических ограничений. Сочетание задач (13), (14) дает существенное сокращение вычислительных операций за счет того, что треугольное разложение матрицы вторых производных [A] здесь выполняется 1 раз. Практические расчёты показали высокую эффективность метода Ньютона и по времени вычислений, и в точности невязок ограничений, которая была на 5-7 порядков выше. Однако устойчивая работа этого метода имеет место лишь в том случае, если установилось множество потенциально активных ограничений, то есть на последних итерациях поискового процесса.
В схеме 3 был применен комбинированный подход с использованием сразу 2-х функций. Прямые переменные определялись их условия (10), однако, итерационный процесс при этом мог не достигать точности в её решении, а двойственные переменные вычислялись через функцию FM по выражению (12). Такой подход оказался эффективен в задачах на основе линейных аппроксимаций. В этом случае (особенно на первых итерациях) не всегда существует допустимое оптимальное решение, т. к. задача часто становится несовместной.
При решении задач дискретной минимизации поиск безусловного оптимума осуществляется методом покоординатного спуска в сочетании с 1-м либо 3-м способом пересчета двойственных переменных.
Алгоритм решения задачи НМП связан системой уровней, на каждом из которых используется своя группа методов (многоуровневая модель алгоритма приведена в главе 4). Комплексная реализация предложенных схем делает этот алгоритм надежным и устойчивым, т. к. если не срабатывают градиентные методы, то автоматически производится переключение к прямым поисковым методам. Решение тестовых задач показало эффективность многометодного, многоуровневого подхода. Была отмечена широкая области сходимости алгоритма, его устойчивость, а также в возможность получения результатов требуемой точности.
В четвёртой главе даётся описание программного комплекса расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, разработанного на основе алгоритмов, изложенных в главах 2-4. Этот комплекс может функционировать в двух режимах: на основе построения приближенной задачи и при прямом обращении к вычислению целевой и ограничительной функций.
Приведена общая архитектура ПК, включающая следующие блоки:
§ Блок построения приближенной задачи Aprox.
§ Блок статического анализа Statics.
§ Блок конструктивного расчета стальных конструкций Steel.
§ Блок решения задачи нелинейного математического программирования NMPack.
§ Библиотека сечений Section.
Показана взаимосвязь программных процедур каждого блока, дано описание основных процедур.
Выходными параметрами блока Aprox являются коэффициенты аппроксимации. В зависимости от заданного режима это могут быть аппроксимации первого либо второго порядка. При этом программы блока NMPack автоматически настраиваются на режим аппроксимаций.
Блок статического КЭ анализа Statics реализован в перемещениях для пластинчато-стержневых систем.
Блок поверочного конструктивного расчёта стальных конструкций включает в себя проверки на прочность и устойчивость соответственно нормативным требованиям СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции».
Блок решения задачи НМП NMPack рассмотрен наиболее подробно, как блок, обеспечивающий надежную работу всего алгоритма оптимизации. Здесь реализованы алгоритмы условной и безусловной минимизации, которые были приведены в главе 3. Блоки NMPack и Aprox связаны между собой системой уровней (рис. 3).
Уровень С (Control) – уровень контроля исходных данных.
|
 | |
|
Уровень М (Minimum) включает методы безусловной минимизации на интервале изменения варьируемых параметров, обозначенном параметрическими ограничениями.
Уровень L (Line) предназначен для решения задач одномерного поиска.
Уровни D (Derive) – уровень вычисления производных, где используются как аналитические методы, так и методы численного дифференцирования.
На Уровне F (Fun) – вычисляются значения целевой и ограничительных функций, а также значения модифицированных функций Лагранжа.
Приведен интерфейс ПК РОСК. Для ввода данных разработан табличный редактор, где задаются физические и геометрические параметры конструкции. Выходные данные выводятся в текстовые и графические файлы:
§ текстовый файл, куда выводятся параметры алгоритма оптимизации на каждой итерации (используемые методы, значения варьируемых параметров, целевой функции и невязок ограничений, штрафные коэффициенты и т. д.);
§ текстовый файл, где приведены исходные и оптимальные геометрические и физические параметры конструкции;
§ текстовый файл, где приведены данные КЭ анализа исходной и оптимальной системы;
§ графический файл, куда выведена расчетная схема исходной и оптимальной конструкции.
В данной версии ПК реализованы задачи расчёта и оптимизации стальных конструкций. Однако архитектура комплекса позволяет расширять его возможности. Предусмотрено встраивание пользовательских процедур, реализующих требования к поведению конструкции. Так, добавление модулей в блок КЭ анализа дает возможность для оптимизации конструкций с физическими, либо геометрическими нелинейностями. Блок конструктивного расчета может быть пополнен нормативными требованиями к расчету алюминиевых, ж/б и др. конструкций. Особого внимания заслуживает тот факт, что данные, передаваемые в различные блоки ПК, помещены в специальный модуль Global Control (таким образом, данные отделены от программного кода). Такая конструкция позволяет решать рекурсивные задачи оптимизации любой степени вложенности.
В пятой главе выполнена апробация ПК РОСК. Для этого были решены тестовые и практические задачи оптимального проектирования конструкций в статической постановке. Ниже приведены 2 верификационных теста.
I. Оптимизация 10-стержневой статически неопределимой фермы.
Минимизируется объем фермы (рис. 4). Варьировались площади сечений.
 | |
| |
Дано сравнение решений, которые были получены в вариантах 1, 2, 3, с известным решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры «Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции». Точность результатов оценивалась по невязкам ограничений при условии, что они нормированы к единице.
В варианте 1 устойчивую работу показал метод деформируемого многогранника. В варианте 2 хорошая сходимость была получена методом деформируемого многогранника с переходом на метод Ньютона, что обеспечило получение результатов высокой точности. В оптимальном проекте варианта 3 площади стержней 3, 5, 6, 8 стремились к нулю (ферма близка к статически определимой). Невязки в активных ограничениях при этом были несколько выше. Сходимость к решению заданной точности (10-4), таким образом, не была достигнута, и итерационный процесс был остановлен по максимальному числу итераций (20). Метод Ньютона в этом варианте не показал сходимости, т. к. функция Fp была не выпукла по ряду переменных даже вблизи оптимума.
Таблица 2. Сравнение результатов расчетов | |||
Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Э. Xoг, Я. Арора |
Значение целевой функции (м3) | |||
0, | 0, | 0, | 0,8294476 |
Максимальные невязки ограничений | |||
0,236010·10-3 | 0,618394·10-12 | 0,474823·10-3 | 0,27·10-4 |
Число итерций | |||
7 | 6 | 20 | 15 |
В целом, сравнивая результаты варианта 2 с решением, приведенным в монографии Э. Xoга и Я. Ароры, следует отметить, что метод Ньютона в данной задаче дал большую точность в невязках ограничений при более низком значении целевой функции (на 0,77%). Число итераций алгоритма здесь также самое низкое.
II. Оптимизация консольной пластины
Приведено сопоставление решений задачи оптимизации консольной пластины (рис. 5), выполненных в ПК ANSYS Mechanical и в ПК РОСК. Варьировались значения полутолщин в четырех сечениях пластины. Были приняты ограничения по напряжениям и на максимальное перемещение точек пластины. Минимизировался её объем.
|
В ПК ANSYS конструкция рассчитывалась как пластина, работающая в условиях плоского напряженного состояния (к расчету была взята верхняя ее часть). КЭ схема моделировалась плоскими четырехузловыми элементами, что позволило получить хорошее приближение в задаче анализа на достаточно разряженной сетке (было использовано 16 элементов).
С помощью ПК РОСК задача была решена в нескольких вариантах.
Вариант 1. Расчетная схема принята в виде стержня переменного сечения. Так как размеры сечения на порядок меньше длины консоли, то это решение в дальнейшем рассматривается как точное.
Вариант 2. Расчетная схема принята в виде консольной пластины ломаного очертания, работающей в условиях плоского напряженного состояния с треугольной КЭ сеткой, имеющей шаг 2´192. Погрешность в решении задачи анализа в перемещениях при этом составила 14%. На рис. 6 показана сходимость алгоритма с 2-х начальных проектов на всех поисковых итерациях (рис. 6,а) и в более крупном масштабе на последних четырех (рис. 6,б).
|
Использование густой КЭ сетки в этом варианте привело к достаточно громоздким вычислениям в задаче анализа, решение которой занимало основное время счета. С этой точки зрения существенным показателем эффективности алгоритма явилось число обращений к функции ограничений, вычисление которой включало КЭ расчет. В вариантах 1,2 число таких обращений составило от 320 до 425. Сокращения вычислений при решении подобных задач можно добиться, если ослабить требование к точности в невязках ограничений, например, до 1% (оптимальное решение при этом будет получено уже на 2-3 итерации), либо использовать режим построения аппроксимаций.
Вариант 3. На внешних итерациях алгоритма строились линейные аппроксимации функции ограничений, что требовало ng обращений к прямому вычислению ограничений (ng=2·nx+1). Таким образом, общее число решений задачи КЭ анализа было сокращено. На внутренних итерациях алгоритма задача поиска условного экстремума с использованием линеаризованной функции ограничений производилась по схеме 3. Как уже отмечалось, такой подход не требовал точности в поиске прямых переменных X , поэтому предельное число внутренних итераций было ограничено до 5-ти.
Таблица 3. Сопоставление результатов расчёта | ||||
Объем, in 3 | ε (%) | Число итераций | ||
Источник | 3,600 | |||
ANSYS Метод аппроксимации подзадачи | 3,616 | 0,434 | 12 | |
ANSYS Метод первого порядка | 3,609 | 0,261 | 17 | |
РОСК | в. 1 | 3,60332 | 0,092 | 9 |
в. 2 | 3,60218 3,6026 | 0,061 0,072 | 6 7 | |
в. 3 | 3,60826 | 0,229 | 8 |
Рассмотренные примеры показали высокую робастность алгоритмов оптимизации, заложенных в ПК РОСК. При решении задачи безусловной минимизации была отмечена высокая устойчивость метода деформируемого многогранника. Метод Ньютона показал устойчивую работу на последних итерациях только в варианте 1, что позволило получить высокую точность в невязках ограничений (10-5). Во всех вариантах была продемонстрирована быстрая сходимость к решениям близким к оптимальным уже на 2-3 итерации (рис. 6). Последующие итерации доводили результат до требуемой степени точности.
В главе приведены также примеры решения практических задач оптимизации стальных конструкций.
I. Оптимизация стальной балки составного двутаврового сечения, работающей на изгиб в плоскости стенки
Целевая функция f(x) в этой задаче представляла площадь поперечного сечения балки, где варьировалось 4 параметра. В качестве ограничений были приняты проверки по прочности и устойчивости в соответствии с требованиями СП 16.13330.201 «Стальные конструкции». Было выполнено исследование результатов задачи на единственность путем решения с 5-ти начальных проектов. Максимальная разница в варьируемых параметрах при этом составила 0,03%, т. е. решения практически совпали. Число итераций колебалось от 7 до 8, невязки ограничений имела порядок 10-4. В качестве методов безусловной минимизации были использованы метод деформируемого многогранника и градиентный метод 1-го порядка. На этой задаче было исследовано влияние параметров методов на сходимость алгоритма.
II. Оптимальное проектирование ферм
Решено несколько примеров оптимального проектирования ферм, в которых предусмотрено варьирование геометрией сечений, а также координатами узлов расчетной модели. Учтено несколько случаев загружения. Минимизировался объем при соблюдении нормативных требований по прочности, устойчивости и жесткости.
|
 | |
 | |
 | |
|
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
