Многоуровневые методы и их программно-алгоритмическая реализация в задачах оптимизации механических систем при статических и динамических воздействиях (стр. 3 )

Таблица 4. Варианты решений при оптимизации 23-ти стержневой фермы
	Непрерывные параметры	Дискретные параметры
Показатели	Равнопрочная ферма	№ 1	№ 2	№ 3 ГОСТ	№ 4 ТУ
Сечения
h1 (см)	200	300	300	300	300
h2 (см)	200	250	260	250	260
h3 (см)	200	150	150	140	160
Объём (см3)	329433	168400	169117	168925	173037
Объём %	100 %	51,1 %	51,3 %	51,3 %	52,53 %

Решение задачи оптимизации фермы подтвердило, что на сходимость алгоритмов существенное влияние оказывают параметры методов, в частности, минимальное значение коэффициента штрафа, коэффициента нормировки ограничений и др., что делает затруднительным применение алгоритмов оптимизации пользователем, который не знаком с их особенностями. Эти исследования подтвердили актуальность разработки эвристических подходов, обеспечивающих автоматическую настройку параметров поисковых методов, что было сделано в дальнейшем при решении задач оптимизации конструкций более сложной конфигурации с большим числом элементов. Пример такой конструкции показан на рис. 8.

 

Элементы фермы были сгруппированы по типу сечений и материалу, что позволило сократить число варьируемых параметров, время вычислений и в конечном итоге повысило сходимость алгоритма. Оптимальные результаты были проверены на единственность путем выполнения расчётов с нескольких начальных проектов. При непрерывном изменении параметров все решения практически совпали (разница в объёме до 0,0012 %). В случае дискретных изменений сечений согласно сортаментам было получено несколько локальных оптимумов, дающих разницу в объёме до 4,3 %. В качестве оптимального в таком случае может быть выбран проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции и точность в невязках ограничений и т. д.).

  III.  Оптимальное проектирование рам

Рассмотрены примеры оптимизации рам. Одна из таких конструкций изображена на рис. 9. Приняты различные типы сечений: для стоек; для ригелей ; для связей. Задано 2 случая загружения. Назначены нормативные ограничения по прочности и местной устойчивости в элементах рамы. Ограничение по жесткости задано в виде допуска на горизонтальное перемещение узла 9. Варьировались параметры сечений, а также высота h с шагом 10 см. Задача была решена в 2-х вариантах. В первом случае параметры сечений менялись непрерывно (1 параметр кольцевого и коробчатого сечения, 2 параметра двутаврового сечения). Число варьируемых параметров с учетом того, что элементы рамы объединены в группы, равнялось 10-ти. Имело место 42 ограничения, включая ограничение по жесткости. Во втором случае параметры сечений менялись дискретно по сортаментам. Число варьируемых параметров сократилось до 8, число ограничений – 38.

В случае непрерывного изменения параметров результаты во всех примерах практически совпали, уже на 2-й итерации были получены решения близкие к оптимальному, а на 5-й - глобальный оптимум. При дискретных изменениях параметров наблюдалось 2 локальных оптимума с разницей в объёме до 2,8%.

Рис. 9. Оптимизируемая рама

 

Был отмечен ещё один эффект. Если варьировались 2 параметра сечений, например, диаметр и толщина кольцевого сечения, то с разных начальных проектов были получены разные оптимальные решения для параметров сечений (с отличием до 30%), в то время как разницы в площадях были существенно меньше (10-2 %), а значение объёма практически совпадало. Таким образом, при задании избыточного количества параметров варьирования имеет место множество локальных решений при одинаковом значении целевой функции (плато целевой функции).

Рассмотренные примеры показали высокую робастность алгоритма оптимизации, заложенного в ПК РОСК. При решении задачи безусловной минимизации была отмечена высокая устойчивость методов деформируемого многогранника и покоординатного спуска (во всех примерах). Градиентный метод 1-го порядка дал быструю сходимость в задаче оптимизации балки. Метод Ньютона показал устойчивую работу на последних итерациях вблизи оптимума в задачах оптимизации балок и ферм.

Шестая глава посвящена построению явных задач оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях:

найти min f (x, P(x,t)), xÎE nx	(16)
при ограничениях	(17)
	(18)

Здесь целевая функция и ограничения, накладываемые на систему, связаны с варьируемыми параметрами через динамические параметры состояния Р(x,t) :

(19)

Принята КЭ динамическая модель системы в линейной постановке

(20)

с начальными условиями , не зависящими от x. Таким образом, параметры состояния Р(x,t) являются неявными функциями варьируемых параметров. Рассмотрено несколько подходов к построению явной задачи НМП. Для исключения фактора времени отслеживались моменты времени (t CR), где функции ограничений принимали экстремальные значения на заданном временном интервале. Эти моменты времени определялись из условия

,

(21)

где функция hj может быть определена, например, следующим образом:

.

(22)

Размерность задачи при этом существенно возрастает. Для ее сокращения была установлена полоса отбора ограничений.

Явной зависимость функций ограничений от переменных x была получена на основе аппроксимаций. Скорость сходимости при этом сущест­венно зависит от нелинейности ограничительных функций, которая обусловлена, во-первых, сложной зависимостью параметров сос­тояния от варьируемых параметров, связанной со структурой механических систем. Во-вторых, сами ограничения, как правило, нелинейны относительно параметров состояния. Тогда аппрок­симация параметров состояния может дать более качественные приближения, чем аппрок­симация самих функций {g}, поскольку в последних сохраняются нелинейности второго типа. Это позволяет использовать полученные аппроксимации на более широкой области варьируемых параметров, что в конечном итоге при­водит к сокращению числа итераций для поиска оптимума. С учетом этого разработана методика построения аппроксимаций параметров состояния системы, выполненных путём разложения функций в ряд Тейлора в окрестности пробной точки. Были получены выражения чувствительностей для частных случаев, когда параметры состояния являются функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Приведем выражение производной k-го параметра состояния, связанного с перемещениями системы:

Предложено 2 схемы анализа чувствительности 1-го порядка.

а). Прямое дифференцирование: , где производные определяются из условия:

,

(23)

а вектор псевдонагрузки находится по выражению

(24)

с начальными условиями равными нулю.

Трудоемкость прямого метода пропорциональна числу варьиру­емых параметров. Между тем, в задачах оптимизации механических систем число активных ограничений значительно меньше числа варьируемых параметров. Это обусловлено нелинейностью целевой и ограничите­льных функций, а также выходом некоторых варьируемых параметров на границу параметрических ограничений (18). В силу этого, при ста­билизации числа активных ограничений более эффективным становит­ся метод сопряженных переменных.

б). Дифференцирование через сопряженные переменные для k-го параметра состояния выполняется по следующей схеме:

(25)

где вектор определяется решением системы уравнений

(26)

Рассмотрено 2 способа формирования аппроксимаций 2-го порядка: прямое дифференцирование и комбинированный способ, который позволяет сократить число решений уравнения состояния системы. Во всех случаях решение задачи динамического анализа и анализа чувствительности совмещено. Для изменения знака у второго слагаемого в выражении (26) была произведена замена переменных.

Отдельно исследован случай, когда уравнение движения сначала раскладывается по собственным формам колебаний, а затем выполняется покомпонентный синтез чувствительностей по требуемому числу форм. Так как матрица демпфирования не является пропорциональной матрице масс и жесткости, такой переход приводит к разделённым уравнениям удвоенного порядка.

Выбор того или иного метода анализа чувствительности зависит от конкретной задачи. Наиболее рационально на первых итерациях, когда множество активных ограничений не выявлено, использовать метод прямого дифференцирования. На последующих итерациях, если число активных ограничений невелико, целесообразно перейти к определению чувствительностей через сопряженные переменные. Таким образом, эти два подхода могут хорошо дополнять друг друга.

Седьмая глава. Для решения практических задач оптимального проектирования механических систем при нестационарных динамических воздействиях было разработано специализированное программное обеспечение. Приведём описание основных блоков алгоритма, который был положен в основу программного комплекса оптимизации (рис. 10).

В блоке Dirans формируются коэффициенты аппроксимации на основе прямого метода анализа чувствительности. Для решения системы дифференциальных уравнений состояния (20) и (23) использовался метод прямого интегрирования (θ-метод Вилсона). Блок Aprox включает построение приближенной задачи оптимизации. Здесь строятся линейные аппроксимации параметров состояния по варьируемым параметрам. Блок NMPack предназначен для решения задачи условной минимизации по алгоритмам, которые изложены в главе 3.

 

Для апробации программного комплекса были решены задачи оптимизации системы виброударозащиты балочного типа, где установлены присоединенные массы, которые необходимо отстроить от кинематических воздействий на балку. Задача оптимизации была поставлена следующим образом: минимизировались ускорения верхних присоединённых масс. Ограничения накладывались на перемещения точек системы, а также на напряжения, возникающие в результате действия статических и динамических нагрузок. Варьировались геометрические и физические параметры: размеры поперечного сечения, величины масс, демпфирования и жесткости.

На рис. 11 показана расчетная схема амортизатора, имеющая l степеней свободы. Поперечное сечение балки принято в виде составного двутавра. Задано кинематическое воздействие на опоры δоп в виде кратковременного импульса на временном интервале tp.

 

Рис. 11. Схема амортизатора балочного типа с l степенями свободы.

Ниже приведены результаты для наиболее простого случая, когда на балке имеют место только две массы и, расположенные посередине пролёта. Было принято несколько вариантов воздействий на опоры . В таблице 4 показаны результаты решения задачи, когда внешнее воздействие задано симметричным в виде импульса: (t≤τp).

Таблица 5 . Сравнение исходных и оптимальных параметров

(т)	(кН·с/м)	(кН/м)	B (м)	h (м)	b (м)	(м/с2)
Начальные параметры системы
0,3	40	1000	0,2	0,5	0,01	122,2
Оптимальные параметры системы
0,8	11	98	0,12	0,244	0,006	2,056

d2 (мм)

б)

t (с)

t (с)

 

В примере были использованы пря­мые методы анализа чувствительности, что для решения задач такого класса целесообразно вследствие их небольшой размерности, а также того обстоятельства, что число ограничений здесь соразмеримо с числом варьируемых параметров. Кроме того, кратковремен­ный характер импульсной нагрузки позволяет исследовать поведение конструкции за малый промежуток времени (хотя число временных шагов при этом может быть достаточно большим). Совмещение проце­дур динамического КЭ анализа и анализа чувствительности позволило существенно сократить вычислительный процесс оптимизации. Для повышения точности и надежности решения приближенной задачи могут быть реализованы аппроксимации второго порядка.

Задачи оптимизации механических систем при нестационарных динамических воздействиях решались с нескольких начальных проектов. В результате было выявлено, что в ряде случаев различные начальные проекты приводят к разным направлениям поиска по отдельным переменным. Для того, чтобы исследовать эту особенность были построены графики зависимости функций ограничений от варьируемых параметров. Было выявлено, что функции ограничений в большинстве своем существенно нелинейные, невыпуклые функции. Таким образом, проблема поиска глобального опти­мума в задачах оптимизации динамически систем является достаточно сложной. Для её численного решения можно выделить два основных подхода. Первый заключается в получении хоро­шего начального приближения путем прямого вычисления функций ограничений (например, методом случайного поиска). Второй предполагает иссле­дование нескольких случайных точек в области поиска, из которых осуществляется спуск с помощью локальных методов. В случае, если сущест­вует несколько локальных решений, в качестве оптимального берется проект, имеющий лучшие показатели (наименьшее значение целевой функции и точность в невязках ограничений и т. д.). Следующая проблема при решении задачи оптимизации заключалась в том, что вследствие аппроксимации задача на условный экстремум часто становилась несовместной (особенно в области то­чек перегиба ограничительных функций, где градиенты ограничений близки к нулю, что существенно ухудшает сходимость задачи). Для того, чтобы добиться сходимости, на каждой итерации поиска регу­лировалась величина шага изменения варьируемых параметров (обыч­но 1/5-1/15 всего интервала). В случае, если на­блюдалась монотонная сходимость, этот шаг увеличивался, если же в ходе поискового процесса варьируемые параметры ударялись в разные границы, шаг уменьшался. В результате такой постановки приближенной задачи допустимое решение на итерации часто отсутствовало (особенно на первых ите­рациях). Однако применение методов модифицированных функций Лагранжа позволило осуществлять поиск в направлении оптимума и за пределами допустимой области. При этом имело место резкое увели­чение двойственных переменных на внутренних итерациях условно-экстремальной задачи (уровень R). Для того, чтобы ограничить их значения, задавалось всего две итерации этого уровня (ближе к оптимуму число этих итераций было увеличено).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1.  Разработана эффективная комплексная методика оптимизации механических систем на основе численных методов конечно-элементного анализа и нелинейного математического программирования (НМП), позволяющая варьировать физическими и геометрическими параметрами расчетных моделей этих систем, решать рекурсивные задачи оптимизации.

2.  На основе этой методики разработан алгоритм оптимизации в статической постановке, который реализован в двух вариантах: при оптимизации сложных пластинчато-стержневых конструкций строится приближенная задача на основе аппроксимации статических параметров состояния с использованием методов анализа чувствительности первого и второго порядка. В задачах оптимизации стержневых систем предложена схема прямого вычисления функций ограничений. Модули КЭ при этом разработаны с учётом того, что матрица жесткости является функцией варьируемых физических и геометрических параметров оптимизируемой системы.

3.  В алгоритм оптимизации встроены требования по прочности и устойчивости в соответствии с нормативным документом СП 16.13330.201 «Стальные конструкции». Эти требования формализованы в виде функций ограничений задачи НМП. Для надёжной работы алгоритма оптимизации произведена корректировка этих функций таким образом, чтобы они были сглажены и обеспечивали сходимость к оптимальным результатам, как в пределах, так и за пределами допустимых решений. Таким образом, задача оптимизации стальных конструкций реализована наиболее полно с включением нормативных требований и библиотеки стандартных сечений.

4.  Разработана многоуровневая концепция решения стандартной задачи НМП с использованием модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка, позволяющая работать с функциями произвольного вида на широком диапазоне непрерывных и дискретных параметров расчётной модели. В рамках этого концепции развиты двойственные и комбинированные подходы, работающие в редуцированном пространстве потенциально-активных ограничений.

5.  Реализован эвристический механизм переключения методов условной и безусловной минимизации на основе анализа состояния вычислительного процесса оптимизации, позволяющий автоматически настраивать алгоритм на наиболее эффективный поисковый метод.

6.  Рассмотрено несколько подходов к построению явной задачи НМП при решении задач оптимизации механических систем в условиях нестационарных динамических воздействий. Разработана методика построения аппроксимации на основе прямого дифференцирования и дифференцирование через сопряжённые переменные для частных случаев, когда параметры состояния системы являются функциями динамических перемещений, скоростей и ускорений. Отдельно исследован случай покомпонентного синтеза чувствительностей по требуемому числу форм колебаний. Так как в алгоритме использована динамическая модель с матрицей демпфирования не пропорциональной матрице масс и жесткости, такой переход приводит к разделённым уравнениям удвоенного порядка. Предложенные подходы могут хорошо дополнять друг друга на различных стадиях вычислительного процесса оптимизации.

7.  Алгоритм реализован в виде программного комплекса расчета и оптимизации стальных конструкций РОСК, состоящий из 3-х основных блоков, каждый из которых может функционировать автономно: блок конструктивного расчета стальных конструкций, блок оптимизации и блок КЭ анализа. Такая структура ПК дает возможность его расширения, как в пополнении нормативной базы, так и в добавлении новых КЭ модулей.

8.  Произведена апробация программного комплекса РОСК посредством решения тестовых и практических задачи оптимизации конструкций: балок, рам, ферм, пластин при статических и нестационарных динамических воздействиях. На этих задачах выполнено исследование сходимости алгоритма оптимизации. Определены параметры поисковых методов, влияющие на сходимость. Даны рекомендации их настройке, что позволило повысить устойчивость алгоритма. Выявлено, что в задачах, где варьируемые параметры меняются непрерывно, имеет место один глобальный оптимум. В задачах дискретной оптимизации присутствует несколько локальных решений, из которых выбирается проект, имеющий лучшие показатели.

9.  Решение верификационных тестов подтвердило эффективность алгоритмов, на основе которых разработан ПК, как в части вычислительных затрат, так и по степени точности полученных результатов. При решении практических примеров в большинстве случаев сходимость к проектам близким к оптимальным, была получена уже на 2-3 итерации с последующим доведением на последующих итерациях до требуемой степени точности.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1.  Л. Аппроксимация параметров состояния в задачах оптимизации систем, подверженных нестационарным динамическим воздействиям. //Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2008, № 1. С. 110-114.

2.  , Л. Вибрационная защита промышленных конструкций на основе параметрической оптимизации дискретно-континуальных математических моделей “конструкции – виброактивное оборудование” // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Из-во ИрГупс, 2009, № 4. С. 149-158.

3.  , Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций// Известия вузов. Строительство, 2010, № 2. С. 90-95.

4.  Алгоритм автоматизированного проектирования ферм минимального веса // Известия вузов. Строительство, 2010, № 3. С. 98-105.

5.  Оптимизация ферм с дискретными параметрами // Известия вузов. Строительство, 2010, № 8. С. 86-94.

6.  К вопросу оптимизации однопролётной балки двутаврового сечения // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2010, № 5. С. 88-94.

7.  Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, № 4, Иркутск: Из-во ИрГупс, 2010. С. 115-121.

8.  , Алгоритм автоматизированного проектирования механических систем с оптимальными параметрами при импульсных воздействиях // International Journal for Computation Civil and Structural Engineering/ Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций, 2011, v. 7, № 1. P. 85-94.

9.  Программный комплекс «OPTIDEST» и его использование в задачах расчёта и оптимизации стальных конструкций // Вестник МГСУ , 2011, т.1, № 1. C. 100-105.

10.  Решение тестовых задач оптимального проектирования стержневых систем // Вестник Иркутского государственного технического университета, 2011, № 7 (54), C. 40-46.

11.  Оптимизация геометрических параметров стальных рам // Academia. Архитектура и строительство, 2011, № 3. C. 114-119.

СВИДЕТЕЛЬСТВА

о государственной регистрации в федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (РОСПАТЕНТ) программ для ЭВМ

1.  Свидетельство № от 01.01.2001 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс для решения задач нелинейного математического программирования (НМПак)». Авторы: ,

2.  Свидетельство № от 01.01.2001 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК)». Автор:

3.  Свидетельство № от 01.01.2001 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Конструктивный расчет стальных конструкций (КРаСК)». Автор: