«Экономико-математические методы» (стр. 4 )

Вложенные средства (x млн. руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
1	1,50	2,00	1,50
2	2,30	2,30	2,90
3	2,50	2,80	3,10
4	3,40	3,50	3,90
5	3,60	3,90	4,50

Тема 4. Элементы теории игр

На практике часто встречаются ситуации, когда приходится принимать решение в условиях конфликта интересов нескольких участников события. Такие ситуации возникают, например, в карточных играх, шахматах и т. п. В экономике конфликтные ситуации возникают при взаимодействии покупателя и продавца, банка и клиента, поставщика и потребителя и т. д. Особенностью подобных ситуаций является неопределенность, вызванная неизвестным заранее поведением участников конфликта, которые стремятся добиться максимальной реализации своих целей. Математическим описанием конфликтных ситуаций теория игр. Её целью является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

Всякая математическая модель социально-экономического явления или конфликта должна выражать присущие ему черты, т. е. по крайней мере, отражать следующие его компоненты:

а) заинтересованность сторон;

б) возможные действия каждой из сторон;

в) интересы сторон.

Заинтересованные стороны будем называть игроками или лицами, а множество всех игроков будем обозначать через . Ограничимся рассмотрением случая, когда множество конечно. Не нарушая общности будем считать, что

Любое возможное для игрока действие называется его стратегией.

Множество всех стратегий игрока обозначим через . В условиях конфликта каждый игрок выбирает некоторую свою стратегию в результате чего складывается набор стратегий называемый ситуацией. Множество всех ситуаций обозначим .

Заинтересованность игроков выражается в том, что каждому игроку в той или иной ситуации приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число называется выигрышем игрока в ситуации и обозначается через . Величина называется функцией выигрыша игрока и обычно является действительным числом.

В этих условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком его стратегии и в получении им в сложившейся ситуации из некоторого источника выигрыша Таким образом множество игроков, их стратегий и их функций выигрыша полностью описывают некоторую игру , что формально записывают так

(1)

Определение Игрой называется действительный или формальный конфликт, в котором имеется, по крайней мере, два игрока, каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Игра как процесс представляет собой многократно повторяющийся выбор игроками своих стратегий, т. е. игру следует считать не как однократный обмен ходами, а как постоянно или, по крайней мере, многократно, осуществляемый процесс.

Определение Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма всех платежей равна нулю, т. е. если сумма проигрышей проигравших игроков равна сумме выигрышей остальных игроков из множества .

Вообще говоря, оценка игроком ситуации путем указания выигрыша не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл. На этом пути создается теория игр с предпочтениями, более широкая, чем теория игр с выигрышами. В дальнейшем будем рассматривать только теорию игр с выигрышами.

Все игры можно разделить на два типа: коалиционные и бескоалиционные. Коалицией называют любое подмножество множества . Игра, в которой действия игроков некоторой коалиции направлены на максимизацию выигрыша всей коалиции без последующего его разделения между игроками коалиции и называются коалиционными. В бескоалиционной игре целью каждого участника является получение по возможности большего индивидуального выигрыша. Существует специальная теория коалиционных игр называемая кооперативной теорией.

Среди всех бескоалиционных игр с нулевой суммой естественным образом выделяется класс антагонистических игр, в которых число игроков равно двум, а значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

Для сокращения обозначений, множества стратегий игроков 1 и 2 антагонистической игре будем обозначать через и , а функция выигрыша - через

Для антагонистических игр с двумя игроками вводится следующее определение.

Определение Пусть каждой стратегии 1-го игрока взаимнооднозначно поставлена в соответствие строка некоторой матрицы , а каждой стратегии 2-го игрока взаимнооднозначно поставлен в соответствие столбец этой матрицы. Матрицу называют платежной матрицей (или матрицей игры), если её элемент равен выигрышу 1-го игрока (т. е. проигрышу 2-го) при выборе 1-м игроком -й стратегии, а 2-м --й.

Следовательно, антагонистическая игра полностью описывается единственной платёжной матрицей и в соответствии с этим называется матричной.

Вальдом был сформулирован принцип суть которого состоит в том, что при принятии решения в условиях неопределенности разумно исходить из того, что сложится наименее благоприятная ситуация. Исходя из этого принципа игрок 1 может рассуждать следующим образом:

«Предположим, что я выберу -ю стратегию, тогда в худшем для меня случае я получу выигрыш величиной

где -количество строк в матрице игры, т. е. количество чистых стратегий 2-го игрока. Тогда я должен выбрать такую строку, т. е. -ю стратегию ( - количество столбцов в матрице игры), при которой этот минимум максимальный».

Определение. Число называется нижней ценой игры или максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) - максиминной.

Аналогично, второй игрок, также исходя из наихудшего исхода, должен рассуждать следующим образом:

«Предположим, что я выберу -ю стратегию, тогда в худшем для меня случае я потеряю величину

Тогда я должен выбрать такой столбец, т. е. -ю стратегию, при которой этот максимум минимальный»

Определение Число называется верхней ценой игры или минимаксом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) - минимаксной.

Теорема Нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры.

Если для некоторой игры верхняя и нижняя цены равны, т. е. выполняется , или что то же самое

где - соответствующий элемент матрицы игры, то очевидно для этого элемента выполняется неравенство

Сравнивая это неравенство с (3) видим, что оказывается ситуация является равновесной, т. е. оптимальной, т. е. решением игры. Величина при этом, очевидно, является ценой игры, т. е. рассматриваемые принципы максимина и минимакса приводят к оптимальному и равновесному состоянию. Это еще раз свидетельствует об обоснованности их использования при принятии решений.

Определение Игра, для которой называется игрой с седловой точкой.

Если среди чистых стратегий решения игры нет, то для его нахождения используются смешанные стратегии. Справедлива теорема.

Теорема Неймана (основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно среди смешанных стратегий.

При этом если - платежная матрица, - оптимальная смешанная стратегия первого игрока, a - второго, то число

является ценой игры.

Определение. Если чистая стратегия входит в смешанную с ненулевой вероятностью, то она называется активной

Активные стратегии обладают свойством, выражаемым следующей теоремой.

Теорема (об активных стратегиях) Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Контрольное задание №4

Вариант № 1.

производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 315 руб., мужских туфель – 180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 430 и 240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1500 ботинок и 2100 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1900 ботинок и 1700 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых , при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 2.

производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 1675 руб., пылесоса – 720 руб., а цена реализации равна соответственно 2160 и 940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 450 холодильников и 1200 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 340 холодильников и 1400 пылесосов. может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить , при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 3.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 18240 руб., детского гарнитура – 9680 руб., а цена реализации равна соответственно 21470 и 12340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 18 жилых комнат и 12 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 16 жилых комнат и 14 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 4.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины
составляют 2640 руб., посудомоечной – 1480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 3670 и 1750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 160 стиральных и 120 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 130 стиральных и 150 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 5.

производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12860 руб., мопеда – 7400 руб., а цена реализации соответственно равна 15200 и 9600 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С может реализовать в течение месяца 700 мотоциклов и 1240 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 820 мотоциклов и 1070 мопедов. может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить , чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 6.

производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 1315 руб., мужских туфель – 1180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 1430 и 1240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1300 ботинок и 1900 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1700 ботинок и 1500 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых , при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 7.

производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 11675 руб., пылесоса – 1720 руб., а цена реализации равна соответственно 15600 и 2940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 400 холодильников и 1100 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 300 холодильников и 1300 пылесосов. может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить , при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 8.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 28240 руб., детского гарнитура – 13680 руб., а цена реализации равна соответственно 33470 и 16340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 16 жилых комнат и 10 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 14 жилых комнат и 12 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 9.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 12640 руб., посудомоечной – 11480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 15670 и 13750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 180 стиральных и 140 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 150 стиральных и 170 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 10.

производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12900 руб., мопеда – 7440 руб., а цена реализации соответственно равна 15300 и 9800 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С может реализовать в течение месяца 500 мотоциклов и 1040 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 620 мотоциклов и 870 мопедов. может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить , чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Тема 5. Моделирование систем массового обслуживания (СМО)

Контрольное задания №5

Вариант № 1.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 0,5 заказа/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 5 мин.

Определите, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия стационарности МО, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества каналов.

Вариант 2.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 5 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 2,5 (у. е.), а для второго случая 4 (у. е.); издержки, связанные с простоем в минуту для первого случая 0,5 (у. е.), а для второго случая 1 (у. е.). Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1,2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0,5 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 45 у. е. Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 3 и 5 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

Вариант 3.

В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 6 чел/мин. Интенсивность обслуживания составляет 1,4 чел/мин. Допустимая длина очереди не должна превышать 3 человек.

Определите, какое минимальное количество касс необходимо установить, чтобы выполнялось условие стационарности системы, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества касс.

Вариант 4.

Торговый центр располагается в 4-хэтажном здании. На его первом этаже находится склад, с которого товары доставляются на верхние этажи с помощью 2-х транспортных лифтов, а затем распределяются по отделам. На складе доставка к лифтам и погрузка в них товаров осуществляются двумя автопогрузчиками. Складирование товаров возле лифтов запрещено, поэтому если оба лифта заняты, автопогрузчики образуют очередь. Интенсивность входящего потока требований на погрузку товаров в лифты составляет 2 треб/час, а интенсивность обслуживания равна 1,5 треб/час. Дирекция торгового центра предполагает использовать только один лифт, а другой сделать резервным.

Определите, возможно ли использовать только один лифт для доставки товаров на этажи здания торгового центра, и рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании реально необходимого количества лифтов.

Вариант 5.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 0,4 заказа/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 4 мин.

Определите, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия стационарности МО, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества каналов.

Вариант 6.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 3 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 4 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 2 (у. е.), а для второго случая 3,5 (у. е.); издержки, связанные с простоем в минуту (у. е.) для первого случая 0,5, а для второго случая 1. Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1,2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0,3 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 35 (у. е.). Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 3 и 4 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

Вариант 7.

В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 5 чел/мин. Интенсивность обслуживания составляет 1,5 чел/мин. Допустимая длина очереди не должна превышать 2 человек.

Определите, какое минимальное количество касс необходимо установить, чтобы выполнялось условие стационарности системы, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества касс.

Вариант 8.

Торговый центр располагается в 4-хэтажном здании. На его первом этаже находится склад, с которого товары доставляются на верхние этажи с помощью 2-х транспортных лифтов, а затем распределяются по отделам. На складе доставка к лифтам и погрузка в них товаров осуществляются двумя автопогрузчиками. Складирование товаров возле лифтов запрещено, поэтому если оба лифта заняты, автопогрузчики образуют очередь. Интенсивность входящего потока требований на погрузку товаров в лифты составляет 3 треб/час, а интенсивность обслуживания равна 2 треб/час. Дирекция торгового центра предполагает использовать только один лифт, а другой сделать резервным.

Определите, возможно ли использовать только один лифт для доставки товаров на этажи здания торгового центра, и рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании реально необходимого количества лифтов.

Вариант 9.

Торговая фирма предполагает предоставлять своим клиентам возможность осуществлять заказ товаров по телефону. Для этой цели необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим: если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент поступления заказа хотя бы одна линия свободна, то осуществляются переключение на эту линию и оформление заказа. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 1 заказ/мин. Длительность же оформления заказа в среднем будет равна 3 мин.

Определите, какое минимальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия стационарности МО, а также рассчитайте основные показатели работы СМО при использовании данного количества каналов.

Вариант 10.

Торговая фирма специализируется на продажах товаров для дома по методу direct marketing: потребители выбирают необходимые им товары по каталогу, а затем делают заказ товаров по телефону. Заказанные товары доставляют клиентам либо по почте, либо прямо на дом. Руководство фирмы приняло решение обновить существующую систему телефонной связи. Имеется возможность приобрести мини-АТС, обеспечивающую подключение 4 телефонных аппаратов, или мини-АТС, обеспечивающую подключение 5 телефонных аппаратов. Издержки, связанные с использованием этих мини-АТС таковы: издержки, связанные с эксплуатацией в минуту для первого случая 3 (у. е.), а для второго случая 4 (у. е.); издержки, связанные с простоем в минуту для первого случая 0,4 (у. е.), а для второго случая 1 (у. е.). Интенсивность входящего потока заказов клиентов составляет 1,2 заказа/мин. Интенсивность обслуживания требований равна 0,5 заказа/мин. Издержки, связанные с отказом в обслуживании, который происходит, когда все каналы связи заняты, составляет 45 (у. е.). Издержки, связанные с пребыванием требования в системе в единицу времени, не учитываются.

Определите основные параметры работы СМО при использовании мини-АТС, обеспечивающих подключение 4 и 5 телефонных аппаратов, и, используя функцию издержек в качестве критерия качества работы системы, осуществите выбор наиболее подходящей мини-АТС.

Вопросы к зачёту по дисциплине «Экономико-математические методы»

Примеры задач линейного программирования. Общая задача линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Особые случаи решения задач линейного программирования. Основы симплекс-метода линейного программирования. Особые случаи симплексного метода. Метод искусственных переменных. Двойственные задачи линейного программирования. Основные теоремы теории двойственности линейного программирования. Объективно обусловленные оценки и их смысл. Модели целочисленного линейного программирования. Постановка задачи нелинейного программирования. Методы поиска экстремума целевой функции задачи нелинейного программирования. Безусловный и условный экстремум. Теорема Лагранжа. Оптимизационные задачи для выпуклых функций. Метод допустимых направлений. Двойственность в нелинейном программировании. Решение задач с линейными ограничениями. Понятие многошагового процесса. Рекуррентные соотношения. Задача дискретного оптимального управления. Основные идеи вычислительного метода динамического программирования. Задачи динамического программирования, допускающие табличное задание рекуррентных соотношений. Принцип оптимальности Беллмана. Примеры задач динамического программирования. Основные понятия теории игр. Платёжная матрица игры. Верхняя и нижняя цена игры. Игры с седловой точкой. Упрощение платёжной матрицы. Доказательство основных теоремы теории игр: теоремы об активных стратегиях, теоремы Неймана о существовании решения. Решение игр в смешанных стратегиях. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования. Игры с природой Корпоративные игры. Понятие плоского графа. Ориентированные и неориентированные графы. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Понятия пути и цикла в графе. Дерево. Метод ветвей и границ. Задача о коммивояжере и ее решение методом ветвей и границ. Понятие сети. Сетевые графики. Построение сетевых моделей. Расчёт и анализ сетевых моделей. Сети Петри. Транспортная задача. Методы решения транспортных моделей. Распределительная задача. Задача о назначениях. Построение максимального потока в сети с заданными пропускными способностями. Задача о кратчайшем пути. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания. Построение одноканальной модели с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания. Построение одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием. Построение многоканальной модели с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания. Построение многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Основная литература

1.  Алесинская -математические методы и модели. Учебное пособие по решению задач. Таганрог: изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.

2.  Основы исследования операций. Тома I-III. –М.: Мир, 1972-73гг.

3.  , . Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.

4.  , , Черемных методы в экономике. – М.: ДИС, 1997

5.  , , . Теория массового обслуживания. М., 1982.

6.  Математические методы в теории игр, программирование и экономика. – М.: Мир, 1964

7.  Сидин -математическое моделирование. Учебное пособие/ Чернигов. Изд-во Черниговского гос. ин-та экономики и управления, 1999г

8.  Солопахо в экономике. Учебно-практическое пособие/Тамбов. Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та,2001. ч. 1. 71с.

9.  Тарасов -математические методы и модели. Учебное пособие/ Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского гос. ун-та,2003. 64с.

10.  Математическая экономика - – М. Ил, 1963

11.  Ашманов в математическую экономику. – М.: Наука, 1984

12.  Громенко экономика. Учебно-практическое пособие. М.:МЭСИ, с.

13.  , , Черемных методы в экономике. – М.: ДИС, 1997

14.  Колесников курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997

15.  Сидин -математическое моделирование. Учебное пособие/ Чернигов. Изд-во Черниговского гос. ин-та экономики и управления, 1999г

16.  Солопахо в экономике. Учебно-практическое пособие/Тамбов. Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та,2001. ч. 1. 71с.

17.  Тарасов -математические методы и модели. Учебное пособие/Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского гос. ун-та,2003. 64с.

Дополнительная

Исследование операций. Тома I, II. (под. ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби) – М.: Мир, 1981 , , . Математические методы принятия решений. Учебное пособие. Тамбов. Изд-во ТГТУ 2004. . Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем. /Под. ред. . М., 1981. , , Рубинов модели экономического взаимодействия. – М.: Наука, 1993. Теория линейных экономических моделей. – М.: Ил, 1963 , Иноземцева математической экономики: web - ориентированный учебник.- Электронное издание.- Кемерово: КемГУ, 1999. Математическая экономика. – М.: Сов. радио, 1972 Элементы математической экономики. – М.: Мир, 1983.