Теория вероятностей (стр. 2 )

Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что означает событие АВ + С?

Решение. События АВ + С означает попадание точки в область ( А Ç В ) È С, которая на рисунке 2 заштрихована.

Контрольное задание №1

1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие Аi – попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А1, А2 и А3 следующие события:

А – хотя бы одно попадание,

В – три промаха,

С – три попадания,

D – хотя бы один промах,

Е – не меньше двух попаданий,

F – не больше одного попадания,

G – попадание в мишень после первого выстрела.

2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события Г1, Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие события:

А – выпадение одного герба и двух цифр,

В – выпадение не более одного герба,

С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,

D – выпадение хотя бы двух гербов,

Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,

F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб.

3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события: ВС, , ++, А+ В+ С, + С + В+ А?

4. Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие Ak (k = 1,2) – исправен k-й блок I типа; Bi (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа.

Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков II типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через Ak и Bi.

5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства, Вk ( k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла и Сi ( i = 1,2) – исправность i-й турбины; событие D – судно управляемое, что будет, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразите D и через А, Вk и Сi.

6. Электрическая цепь составленная по схеме, приведенной на рисунке 3.

Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, элемента Bi (i = 1,2) событие Bi.

Запишите события С и , если С означает разрыв цепи.

7. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 4. Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, Элемента С – событие С и элемента Bi (i = 1,2) событие Bi. Запишите события D и , если D – разрыв цепи. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 5.

Выход из строя элемента А – событие А, элемента Bk (i = 1,2) – событие Bk и элемента С – событие С. Запишите события D и , если D – разрыв цепи.

9. Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А – обнаружен ровно один из 4 объектов;

В – обнаружен хотя бы один из объектов;

С – обнаружено не менее 2 объектов;

D – обнаружено ровно 2 объекта;

Е – обнаружено ровно 3 объекта;

F – обнаружены все 4 объекта.

Укажите, в чем состоят события:

1)  А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5)

10. Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В и С означают соответственно попадание точки в области А, В и С (рис.6). Что означают следующие события:

а) А + В + С; б) АВС; в) + + ;

г) + + С; д) А + В + ; е) АВ + ; ж) АВ; з) А + С?

Тема №2

Частота случайного события и

«статистическое определение» вероятности

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в NA случаях. Тогда отношение

называется частотой события А в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события А называется число р(А), около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0,515.

Пример 2. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Пример 3. Английский математик Карл Пирсон () бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

Контрольное задание №2

1. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

2. Пользуясь таблицей простых чисел, найдите частоту появления простых чисел в отрезках натурального ряда: от 1 до 100, от 101 до 200, от 201 до 300 и т. д., от 901 до 1000.

3. Найдите частоту появления буквы «о» в тексте на с.10 учебного пособия «Теория вероятностей» [6].

4. Найдите частоту появления шестерки при 60 бросаниях игральной кости.

5. Найдите частоту шестибуквенных слов в любом газетном тексте.

6. Найдите частоту имени существительного в любом газетном тексте.

7. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.

8. Большой лист бумаги разграфите параллельными прямыми, расстояния между которыми равны 6 см. Расстелите этот лист на горизонтальной поверхности и наудачу бросьте на нее иглу длиной 4 см 200 раз. Найдите частоту пересечения иглой какой-нибудь прямой в данной серии испытаний.

9. Путем опроса всех студентов третьего курса определите частоты дней рождения, падающих на каждый месяц года.

10. Составьте таблицу частот букв русского алфавита, используя текст стихотворения «Родина».

Тема №3

Классический способ подсчета вероятностей

Пусть W - конечное пространство элементарных событий А1, А2, …, Аn. В качестве борелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества W.

Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как р(А1 + А2 +… + Аn) = р(U) = 1, то р(А1) = р(А2) = … = р(Аn) = .

Если теперь А – произвольное событие и А = Ai1 + …+ Aim, то согласно аксиоме 2 имеем р(А) = .

События А1, А2, …, Аn принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называются благоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события А обозначим m(A). Таким образом, р(А) = , т. е. вероятность события А равна отношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.

Пример 1. В урне 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

Решение. Пусть событие А – извлеченный шар оказывается белым. Данное испытание имеет 10 равновероятных исходов, из которых для события А благоприятны три. Следовательно, р(А) = .

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 20 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны наудачу взята одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5 – событие А; кратным 3 – событие В; простым – событие С; составным – событие D; не простым и не составным – событие Е?

Решение. Испытание имеет 20 равновероятных исходов. Из них m(A) = 4; m(B) = 6; m(C) = 8; m(D) = 11; m(E) = 1.

Соответственно событиям получим следующие вероятности:

p(A) = 0,2; p(B) = 0,3; p(C) = 0,4; p(D) = 0,55; p(E) = 0,05.

Контрольное задание №3

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число кратно 5?

2. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того, что это число окажется делителем 20?

3. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется: а) простым; б) составным; в) кратным 5; г) взаимно простым с 100?

4. Наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того, что сумма очков на выбранной кости равна 5?

5. На одинаковых карточках написаны в троичной системе счисления все целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что выбранное число в своей записи содержит: а) не менее 2 единиц; б) хотя бы одну двойку; в) один нуль?

6. В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется белым?

7. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?

8. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

9. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?

10. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное число имеет простой делитель, больший 10?

Тема №4

Комбинаторика и бином Ньютона

Правило произведения. Пусть элемент х1 строки (х1, х2, …, хk) можно выбрать n1 способами; после каждого выбора х1 элемент х2 можно выбрать n2 способами; после выборов х1 и х2 элемент х3 можно выбрать n3 способами и т. д.; после выборов х1, х2, …, хk-1 элемент хk можно выбрать nk способами. Тогда строку (х1, х2, …, хk) можно образовать n1 × n2 × … × nk способами.

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?

Решение. Каждому четырехзначному числу можно поставить во взаимно однозначное соответствие строку (х1, х2, х3, х4), где х1, х2, х3, х4 – соответственно 1, 2, 3 и 4-я цифры. Элемент х1 этой строки можно выбрать 9 способами (любую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); элемент х2 можно выбрать также 9 способами (теперь можно использовать и цифру 0, но первую выбранную цифру повторить нельзя); элемент х3 можно выбрать 8 способами (уже выбранные первые две цифры повторить нельзя); наконец, элемент х4 можно выбрать 7 способами. Согласно правилу произведения искомое число способов выбора четырехзначного числа с различными цифрами равно: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536.

Размещения с повторениями. Пусть Х – множество, состоящее из n элементов (n-членное множество). Тогда любая строка длиной k, составленная из элементов множества Х, называется размещением с повторениями из n элементов по k.

Число всех размещений с повторениями из n элементов по k равно nk.

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля?

Решение. Четырехзначные числа указанного вида можно рассматривать как строки длиной 4, составленные из элементов множества Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, т. е. как размещения с повторениями из 9 элементов по 4. Следовательно, искомое число способов равно: 94 = 6561.

Размещения без повторений. Перестановки. Пусть Х по-прежнему n-членное множество. Тогда любая строка длиной k, составленная из различных элементов множества Х, называется размещением без повторений из n элементов по k. Число всех таких размещений обозначается и равно:

.

В случае, когда k = n, размещения без повторений называются перестановками из n элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn и равно:

Pn = = n!.

Примерспортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами?

Решение. Предположим, что спортсмены пронумерованы числами от 1 до 10 и х1, х2, х3 – номера спортсменов, получивших золотую, серебряную и бронзовую медали. Каждому такому распределению медалей соответствует строка (х1, х2, х3 ), состоящая из различных чисел (номеров спортсменов). Обратно каждой строке (х1, х2, х3) соответствует способ распределения медалей. Следовательно, число способов распределения медалей равно числу размещений без повторений из 10 элементов по 3, т. е.

Сочетания и бином Ньютона. Всякое k-членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается . Справедлива формула

.

Числа , , ,…,, являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона:

(a + b)n = a0 bn + a bn-1 + … + an b0.

Пример 4. Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6 человек?

Решение. Очевидно, команда из 6 человек является 6-членным подмножеством 10-членного множества, т. е. сочетанием из 10 элементов по 6. Следовательно, искомое число способов равно

Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Размещением данного состава (k1, k2,…, km) из элементов m-членного множества Х = {x1, x2 ,…, xm} называется всякая строка длинной k1 + k2 + … + km = n, составленная из элементов множества Х, так, что элемент х1 повторяется k1 раз, элемент x2 – k2 раз и т. д., элемент xm – km раз. Например, если Х= {x1, x2 ,x3}, то (x1, x2 , x2, х1, х1) есть размещение состава (3,2,0).

Количество различных размещений заданного состава (k1, k2,…, km) обозначается А(k1, k2,…, km) и равно:

.

Следующая формула, обобщающая формулу бинома Ньютона, называется полиномиальной:

,

где суммирование проводится по всевозможным наборам целых неотрицательных чисел k1, k2,…, km , для которых k1 + k2 + … + km = n.

Пример 5. Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по математическому анализу?

Решение. Очевидно, всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно соответствует строка длиной 3 + 2 + 1 = 6 состава (3, 2,1). Следовательно, искомое число способов равно числу размещений состава (3, 2, 1) .т. е.

Пример 6. Вычислите (1 + х + х2)3.

Решение. По полиномиальной формуле имеем:

,

где суммирование производится по всем наборам неотрицательных целых чисел k1, k2, k3, для которых k1 + k2 + k3 = 3. Выпишем все такие наборы: (0,0,3), (0,3,0), (3,0,0), (0,1,2), (1,2,0), (2,0,1), (1,0,2), (0,2,1), (2,1,0), (1,1,1). Теперь находим:

Контрольное задание №4

1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

2 Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского – на любой другой из этих 5 языков?

3 У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на книгу? 2 книги на 2 книги?

4. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с дополнительным условием: подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам.

5. Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2 клетки? б) 2 клетки одного цвета? в) 2 клетки разного цвета?

6. Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если: а) никакие 2 письма не посылать по одному адресу; б) по одному можно адресу посылать более одного письма.

7. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно составить, если: а) повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается повторение цифр?

9. Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать каким-то 3 из 15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного подарка; б) подарок А должно получить определенное лицо?

10. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Тема №5

Применение комбинаторики к подсчету вероятности

Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной .

Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна .

Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:

,

в случае выборки без возвращения:

.

Пример 1. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?

Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать способами; если х и у выбраны, то из них можно составить , т. е. 3 трехзначных числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно 36 × (3 + 3) = 216. Искомая вероятность равна:

.

Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?

Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: . Слово «тор» получится в 1 × 2 ×2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). Искомая вероятность равна: .

При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» – двумя способами.

Статистический выбор. Пусть в урне находятся n предметов. Испытание состоит в том, что из урны извлекается группа из m предметов (без возвращения, без учета порядка предметов внутри группы). Количество таких выборок равно и мы предполагаем, что все они имеют равные вероятности .

Пример 3. В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение. Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N - n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно × . Искомая вероятность равна:

.

Пример 4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?

Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека можно выбрать = 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщины = 6 способами, а из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин = 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 × 3 = 18. Таким образом, .

Контрольное задание №5

1. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при этом все выпавшие грани различны?

2. На 6 одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «М», «о», «с». Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «Москва»?

3. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

5. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?

6. Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?

7. В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероятность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?

8. 10 человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?

9. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

10. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

Тема №6

Правила сложения и умножения вероятностей

Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события А1, А2,…,Аn , … попарно несовместны, то справедливо равенство

р(А1+ А2,+…+ Аn +…) = р(А1) + р(А2) +…+ р(Аn)+... (1)

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

. (2)

Для произвольных событий А и В имеет место формула (см. §3, задача 37(а)):

р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ). (3)

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид (см. §3, задача 38):

. (4)

Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению равна:

. (5)

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

р(АВ) = р(А) р(В/А). (6)

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2 / A1) p(A3 / A1A2)+…+ р(Аn /A1A2…An-1) (7)

События А1, А2,… Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события А1, А2,… Аn независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т. е.

р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2) … р(Аn). (8)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р (9)

В частности, если события А1 ,А2,…, Аn независимы, то

р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р =

= 1 – (1 – р(А1))(1 – р(А2))…(1 – р(Аn

Пример 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение. Введем обозначения: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

р(С) = р(А) + р)В) – р(АВ).

Так как события А и В независимы, то

р(С) = р(А) + р)В) – р(А) р(В).

Наконец, учитывая, что р(А) = 0,8, р(В) = 0,6, получаем:

р(С) = 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.

Пример 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.

Решение. Введем обозначения: Аi – выпадение герба при i-м бросании монеты (i = 1, 2, 3), А – выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = А1А2 + А1А3 + А2А3. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:

р(А) =р(А1А2) + р(А1А3 ) + р(А2А3).

Наконец, учитывая независимость событий А1, А2, А3, по правилу умножения вероятностей получаем:

р(А) =р(А1 ) р(А2 ) р() + р(А1 ) р() р(А3 ) + р() р(А2 ) р(А3)=

=.

Пример 3. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

Решение. Укажем 2 способа решения, из которых первый состоит в непосредственном подсчете искомой вероятности по классической схеме, а второй – в применении формулы (7).

Первый способ. Представим себе урну, в которой 5 красных и 7 белых шаров. Красные шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 красных шаров. Тогда искомая вероятность равна: .