Теория вероятностей (стр. 3 )

Второй способ. Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Введем обозначения: А1 – первый шар красный, А2 – второй красный, А3 – третий красный и А – все 3 шара красные. Тогда А = А1А2А3 и по формуле (7) при n = 3 имеем:

р(А) = р(А1) р(А2/A1) p(A3/A1A2) = .

Пример 4. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D)?

Пусть событие А, В, С – соответственно попадание в мишень 1, 2, и 3-го стрелка. Тогда D= А + В + С. Однако лучше представить D как событие, противоположное (ни одного попадания): D = . По формуле (10) тогда имеем: p(D) = 1 – p() p() p() = 1 – 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,994.

Контрольное задание №6

1. 2 стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найдите вероятность того, что:

а) только один из стрелков попадет в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадет в мишень;

в) оба стрелка попадут в мишень;

г) ни один из стрелков не попадет в мишень;

д) ни один из стрелков не попадет в мишень.

2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите р.

3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2. Произведены 3 независимых измерения. Найдите вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

4. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Найдите вероятность того, что все взятые детали окрашенные.

5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету?

6. Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после 3 операций, предполагая, что получения брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.

7. Из цифр 1, 2, 3, 4,5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.

8. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

9. Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95?

10. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки.

Тема№7

Формула полной вероятности и формула Байеса.

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(Hi) (i = 1,2,…,n) можно переоценить, т. е. найти условные вероятности p(Hi / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н1 – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н2 – переложены 2 разноцветных шара, Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Нi) p(A/Hi) + p(H2) p(A/H2) + p(H3) p (A/H3).

Вероятности гипотез Нi и условие вероятности p(A/ Нi ) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;

, , .

Полученные результаты подставим в формулу (1):

.

б) Вероятность р(Н1/А) находим по формуле Байеса:

.

Контрольное задание №7

1. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.

2. 60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке? Мальчику?

3. Бросается монета, и если она падает так, что сверху оказывается герб, вынимаем один шар из урны I; в противном случае – из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. а) Какова вероятность того, что вынутый шар красный? б) Какова вероятность того, что шар вынимался из I урны, если он оказался красным?

4. На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине В?

5. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найдите вероятность того, что: а) наудачу выбранный стрелок попадет в цель; б) 2 наудачу выбранных стрелка попадут в цель.

6. В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.

7. С первого станка-автомата на сборку поступают 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, с четвертого – 10% деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2% бракованных, вторым – 1%, третьим – 0,5% и четвертым –0,2%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь небракованная.

8. В 3 урнах содержатся белые и черные шары. В первой – 2 белых и 3 черных шара, во второй – 2 белых и 2 черных шара, в третьей – 3 белых и один черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую урну. а) Какой состав шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? б) Определите вероятность того, что во всех урнах состав шаров останется без изменения.

9. Из 5 стрелков 2 попадают в цель с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,4. а) Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет? б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым двум или к трем последним?

10. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

Тема №8

Формула Бернулли

Опыты a1, a2,… называются независимыми, если любая комбинация их исходов является совокупностью независимых событий.

В вероятностной схеме Бернулли рассматривается последовательность n независимых опытов a1, a2,…, an, в каждом из которых некоторое событие А может наступить с одной и той же вероятностью р = р(А). Условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступление (событие ) – как неудача. Вероятность неудачи в каждом опыте равна: q = 1 – p .

Пусть для заданного целого числа k (0 £ k £ n) Pn(k) обозначает вероятность того, что в n опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:

Pn(k) = pk qn-k. (1)

Вероятности Pn(k) (k = 0,1,…,n) называются биномиальными в силу того, что правая часть формулы (1) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:

. (2)

Так как p+q=1, то из формулы (2) следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна 1:

.

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. В этом примере n = 5, р = 0,8 и k = 2; по формуле Бернулли находим: .

Пример 2. 2 равносильных шахматиста играют ряд партий, причем ничьи в счет не идут. Что более вероятно в счете: ( 1 : 1), ил (2 : 2), или (3 : 3) и т. д.?

Решение. Найдем по формуле Бернулли вероятность того, что в 2n результативных партиях один из шахматистов выиграет n партий, т. е. счет будет n : n. Принимая во внимание, что p = q = , имеем:

.

Преобразуем полученное выражение с целью найти связь между P2n(n) и P2n+2(n+1):

.

Из полученного соотношения

(3)

видно, что счет (n : n) более вероятен, чем (n + 1 : n + 1). Расчеты по формуле Бернулли показывают, что последовательности событий (1 : 1), (2 : 2), (3 : 3), (4 : 4), … соответствует последовательности вероятностей

, , , , …. .

То число успехов k0, которому при заданном n соответствует максимальная биномиальная вероятность Pn(k0), называется наиболее вероятным числом успехов.

Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k0 по заданным n и р можно воспользоваться неравенствами

np – q £ k0 £ np + p (4)

или правилом: если число np + p не целое, то k0 равно целой части этого числа

(k0 = [np + p]); если же np + p целое, то k0 имеет два значения и р.

Пример 3. Найдите наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах, используя условие примера 1, и соответствующую этому числу вероятность.

Решение. Так как np + p = 5 × 0,8 = 4,8 не целое, то k0 = [4,8] = 4; вероятность Р5(4) находим по формуле Бернулли:

.

Пример 4. Найдите наиболее вероятное число выпаданий герба при 25 бросаниях монеты.

Решение. В этом примере n = 25, p = 0,5. Число np + p = 25 ×0,5+0,5=13 –целое, поэтому и .

Пусть Рn (k1 £ k £ k2) – вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли успех наступит от k1 до k2 раз (0 £ k1 £ k £ n ). Тогда имеет место формула

Рn (k1 £ k £ k2) = ; (5)

вероятность Рn (1 £ k £ n) того, что в n опытах успех наступит хотя бы один раз, равна:

Рn (1 £ k £ n)= 1 – qn. (6)

Пример 5. Монета брошена 10 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. А) По формуле (5) при n = 10, k1 = 4, k2 = 6, p = q = 0,5 получим:

Р10 (4 £ k £ 6) = Р10 (4) + Р10 (5) + Р10 (6) = .

б) По формуле (6) Р10 (1 £ k £ 10) = .

Пример 6. Какое минимальное число опытов достаточно провести, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем a (0 < a < 1), можно было бы ожидать наступления успеха хотя бы один раз, если вероятность успеха в одном опыте равна р?

Решение. Потребуем, чтобы вероятность наступления успеха хотя бы один раз в n опытах (см. формулу (6)) была не меньше чем a:

1 – qn ³ a, или 1 – (1 – р)n ³ a.

Решив полученное равенство относительно n, получаем неравенство

.

Отсюда заключаем, что минимальное число опытов n0, удовлетворяющее условию примера, равно:

. (7)

В частности, если р = 0,02 и a = 0,98, то формула (7) дает n0 = 80.

Пусть производится n независимых опытов, каждый из которых имеет m (m ³ 2) попарно несовместных и единственно возможных исходов А1, А2,…, Аm с вероятностями р1= р(А),…,рm = (Am), одинаковыми во всех опытах (имеется в виду, что р1+р2+…+ рm=1). Для произвольных целых неотрицательных чисел k1, k2,…,km (k1+ k2+…+km = n) обозначим через Pn (k1, k2,…,km) вероятность того, что в n опытах исход А1 наступит k1 раз, исход А2 - k2 раз и т. д., исход Am - km раз. Тогда справедлива формула

Pn (k1, k2,…,km) = , (8)

которая является обобщением формулы Бернулли на случай, когда каждый из независимых опытов a1, a2,…, an имеет m исходов (m ³ 2).

Вероятности Pn (k1, k2,…,km), соответствующие всевозможным наборам целых неотрицательных чисел k1, k2,…,km с условием k1+ k2+…+km = n назовем полиномиальными, ввиду того что выражение, стоящее в правой части формулы (8), представляет собой общий член разложения (р1+р2+…+ рm)n по полиномиальной формуле.

Вывод формулы (8) аналогичен выводу формулы Бернулли.

Пусть событие В означает: в n независимых опытах событие Аi наступит k1 раз, событие А2 - k2 раз и т. д., событие Am - km раз. Тогда Pn (k1, k2,…,km) = р(В). Каждый вариант реализации события В можно интерпретировать как строку длины n, составленную из символов А1, А2,…, Аm , в которой Аi повторяется k1 раз, А2 - k2 раз и т. д., Am - km раз. Количество N таких строк равно числу размещений состава (k1, k2,…,km), т. е.

;

вероятность же каждого варианта равна . Отсюда по правилу сложения вероятностей имеем (8).

Пример 7. Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найдите вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и одно попадание в третью зону.

Решение. В этом примере n = 6, k1 = 3, k2 = 2, k3 = 1, p1 = 0,5, p2 = 0,3 и p3 = 0,2. Подставляя эти данные в формулу (8), получаем искомую вероятность:

Контрольное задание №8

1. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

2. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке.

3. В семье 5 детей. Найдите вероятность того, что среди детей 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика принимается 0,5.

4. Найдите наиболее вероятное число выпаданий шестерки при 46 бросаниях игральной кости.

5. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» и «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов.

6. Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» или «нет». Найдите вероятность того, что учащийся, давший 8 правильных ответов, знает 8 вопросов, если известно, что 10% учащихся знают ответы на 6 вопросов, 30% - на 7 вопросов, 30% - на 8 вопросов, а остальные знают ответы не более чем 8 вопросов.

7. Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55?

8. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью 0,01 имеет дефект. Каков должен быть объем случайной выборки с возвращением, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно дефектное изделие была не меньше 0,95?

9. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 автомашин.

10. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному.

Тема №9

Приближенные формулы Лапласа и Пуассона.

Локальная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (1)

где , .

(Таблицу значений функции j(х) см. в приложении).

Интегральная приближенная формула Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, (2)

где

, , .

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа (таблицу ее значений см. в приложении). При нахождении значений функции j(х) и Ф(х) для отрицательных значений аргументов следует иметь в виду, что j(х) четная, а Ф(х) – нечетная.

Отметим еще, что приближенными формулами Лапласа (1) и (2) на практике пользуются в случае, если npq ³ 10. Если же npq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Приближенная формула Пуассона. При больших n и малых р справедлива формула

, где l = np. (3)

(Для функции таблицу значений см. в приложении).

Пример 1. Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р = 0,8. Найдите вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз; в) от 710 до 740 раз.

Решение: Так как npq = 900 × 0,8 × 0,2 = 14,4 > 10, то в пунктах а) и б) воспользуемся формулой (1), а в пункте в) – формулой (2).

а) ; j(2,5) » 0,0175;

Р» ;

б) ; j (- 0,83) = j (0,83) » 0,2827;

Р» ;

в) ; ;

Ф(-0,83) = - Ф(0,83) » - 0,2967; Ф(1,67) » 0,4527;

Р£ k £ 740) » 0,4525 + 0,2967 = 0,7492.

Пример 2. Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение. Пусть k – число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить вероятность выполнения неравенства

.

Оно равносильно неравенству 11 £ k £ 29. Следовательно

.

Так как npq = 1000 × 0,02 × 0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности Р1£ k £ 29) воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа. В данном случае

; ;

Ф( - 2,03) » - 0, 4788; Ф(2,03) » 0,4788.

Следовательно, по формуле (2) имеем:

Р1£ k £ 29) » 0,4788 + 0,4788 = 0,9576.

Пример 3. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при l = 400 × 0,01 = 4.

а) Р» » 0,156293; (см. таблицу 4 приложения).

б) Р£ k £ 4) » 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 + 0,195367 = =0,628838;

в) Р£ k £ 400) = 1 - Р£ k £ 4) = 1 – 0,018316 – 0,073263 – 0,146525 = = 0,761896.

Контрольное задание №9

1. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 400 семян; в) 450 семян; г) от 425 до 450 семян.

2. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек.

3. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают: а) 85 станков; б) от 75 до 85 станков.

4. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что за время t из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя: а) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов; в) от 14 до 26 конденсаторов.

5. Вероятность появления события А в каждом из 1500 независимых испытаний равна р = 0,4. Найдите вероятность того, что число появлений события А заключено между: а) 570 и 630; б) 600 и 660.

6. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие А появится не менее 75 раз?

7. Вероятность получения положительного результата в каждом из независимых опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

8. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найдите вероятность наиболее вероятного числа бракованных деталей среди наудачу отобранных 100 деталей.

9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,0002. Найдите вероятность того, что среди 5000 изделий в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) ровно одно изделие; в) не более 3 изделий; г) более 3 изделий.

10. Кинотеатр вмещает 730 зрителей. Найдите вероятность того, что: а) 3 зрителя родились в один день (скажем, 1 марта); б) не более 3 зрителей родились в один день.

Тема №10

Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать жирными буквами х, у,….

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано конечное или счетное множество чисел

х1, х2…

и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi, причем

р1 + р2 + …= 1.

Числа х1, х2… называются возможными значениями случайной величины х, а числа р1 , р2 ,… - вероятностями этих значений (pi = Р(х = xi)).

Таблица

xi	x1	x2	…
pi	p1	p2	…

называется законом распределения дискретной случайной величины х.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины х.

 

Пример 1. По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется: а) найти закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 £ х £ 3; х > 3; в) построить многоугольник распределения.

Решение. а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:

Закон распределения х представится таблицей:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

б) Вероятность событий 1 £ х £ 3 и х > 3 равны:

р (1 £ х £ 3) = р ({1,2,3}) = р1 + р2 + р3 = 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 = 0,5888;

р( х > 3) = р ({4}) = р4 = 0,4096.

в) Многоугольник распределения представлен на рисунке 11.

Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, k = 0,1,…n; q = 1- p,

то говорят, что случайная величина х имеет биномиальный закон распределения:

xi	0	1	…	n
pi	pn(0)	pn(1)	…	pn(n)

Рассмотренная выше в примере 1 случайная величина х имеет биномиальный закон распределения, в котором n = 4, p = 0,8.