Теория вероятностей (стр. 1 )

Калининградский филиал Аккредитованного образовательного частного учреждения высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА»
«Теория вероятностей» Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения
Для студентов экономических специальностей
По направлению подготовки (квалификация (степень) "Бакалавр")

Калининград

2012

Теория вероятностей: Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения / Авт.- сост. – г. Калининград: МФЮА, 2012. – 32 с.
Рассмотрена и одобрена Кафедрой общих гуманитарных и естественно-научных дисциплин, протокол от «___» _ноября_ 2012 г. № 3
Автор:
	© , 20012 © Кафедра общих гуманитарных и естественно-научных дисциплин, 2012 © Калининградский филиал МФЮА, 2012

Введение

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Под опытом понимается некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которой наблюдается то или иное явление. Опыт может представлять как одно испытание, так и серию испытаний.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений: взвешивание тела на аналитических весах, подбрасывание монеты или игрального кубика.

В данных примерах условия опыта неизменны, но результаты опыта варьируются. Эти вариации связаны с воздействием второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не оговоренных в числе основных условий. На практике существует большой класс задач, в которых интересующий исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что учесть их в полном объеме невозможно.

При наблюдении совокупности однородных случайных явлений часто обнаруживается закономерность, получившая название устойчивости частот (бросание монеты при многократном повторении дает число выпадения герба, равное 1/2, бросание игрального кубика дает число выпадений грани с цифрой 6, равное 1/6; процент брака в отлаженном технологическом процессе). Проявление такого рода закономерности при массовом воспроизведении опыта позволяет сделать вывод о том, что отдельные индивидуальности случайных явлений тонут в суммарном результате опытов.

Таким образом, базой для применения вероятностных (статистических) методов является свойство устойчивости частот в массовых случайных явлениях. Методы теории вероятностей не позволяют предсказать исход отдельного опыта, но дают возможность предсказать суммарный результат (в среднем) большого числа опытов. К примеру, случайным является движение молекул газа в сосуде, и не представляется возможным предсказать траекторию движения и скорость отдельной молекулы, однако давление газа на стенки сосуда (при большом числе молекул) является неслучайной величиной.

Зарождение теории вероятностей связано с исследованиями Паскаля (1623–1662), Ферма (1601–1665), Гюйгенса (1629–1695) в области теории азартных игр, когда было сформулировано понятие вероятности, математического ожидания. Классическое определение вероятности события было введено Якобом Бернулли (1654–1705), им же был сформулирован закон больших чисел. В дальнейшем основы теории вероятностей закладывались работами таких математиков, как Муавр (1667–1754), Лаплас(1749–1827), Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). Большой вклад в развитие теории вероятностей внесла русская школа математики в лице (1821–1894), (1856–1922), (1857–1918), (1903–1987).

Правила выполнения контрольной работы

В процессе подготовки к зачету студенты выполняют индивидуальное задание по курсу «Теория вероятностей» и сдают зачет.

Индивидуальное задание необходимо выполнять в тетради синими чернилами, оставляя поля для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия, имя, отчество студента, название дисциплины и группы.

Индивидуальное задание должно содержать решение всех задач, указанных в задании, строго по своему варианту. Индивидуальное задание, содержащее решение не всех задач, а так же решение задач не своего варианта, не засчитываются.

Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

Перед решением каждой задачи необходимо написать полностью ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

Индивидуальное задание состоит из 11 задач. Каждая задача содержит 10 вариантов. Номер варианта индивидуального задания выбирается по последней цифре номера зачётной книжки.

Тема №1

События. Равенство событий. Сумма и произведение событий.

Противоположные события

Событием называется результат некоторого опыта.

Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.

Случайные события обозначаем А, В, С,…

Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем U. Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление – цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие можно определить следующими таблицами:

А	В	А+В	АВ		А
1	1	1	1		1	0
1	0	1	0		0	1
0	1	1	0
0	0	0	0

Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А2, или А4, или А6. Это означает, что А = А2 + А4 + А6.

Рассуждая аналогично, имеем:

В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и D = А4 + А5 + А6.

Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и , доказать равенство А + = А + .

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

А	В		А+		А	В				А+
1	1	0	1		1	1	0	0	0	1
1	0	1	1		1	0	0	1	0	1
0	1	0	0		0	1	1	0	0	0
0	0	1	1		0	0	1	1	1	1

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость равенства А + = А + .

Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и ненаступления события А+ С в зависимости от наступления и ненаступления событий А, В и С.

Решение. Составим таблицу:

А	В	С		А	А + С
1	1	1	0	0	1
1	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	0