Теория вероятностей (стр. 4 )

Пример 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара; х – число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х и вероятность события х ³ 2.

Решение. Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности р0, р1, р2, р3 подсчитываем классическим способом:

; ;

;

Закон распределения х:

xi	0	1	2	3
pi

Вероятность события х ³ 2 равна:

р (х ³ 2) = + = .

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем m£ s £ n. Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

pk = p(x = k) = , k = 0,1,…,m,

то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.

Случайная величина х из примера 2 имеет гипергеометрический закон распределения с n =7, s = 3, m = 4.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

xi	1	2	3	…	k	…
pi	p1	p2	p3	…	pk	…

где pk = qk-1p, q = 1 – p (0 < p < 1);

Закон распределения Пуассона:

xi	0	1	2	3	…	k	…
pi	p0	p1	p2	p3	…	pk	…

, l - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при n ® ¥, p ® 0, np = l = const. Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

, где l = np.

Пример 3. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу поврежденных изделий, и найдите вероятности следующих событий:

А – повреждено менее 3 изделий;

В – повреждено более 2 изделий;

С – повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения х: 0, 1, 2, ..., 500; так как n = 500 велико, а р = 0,002 мало, то положив l = 500 × 0,002 = 1, вычислим вероятности

pk = p(x = k)

приближенно по формуле Пуассона:

, k = 0, 1, 2, ..., 500.

Закон распределения случайной величины х приближенно имеет вид:

xk	0	1	2	3	…	500
pk					…

или

xk	0	1	2	3	…	500
pk	0,368	0,368	0,184	0,061	…	0,000

Используя полученную таблицу, находим вероятности событий А, В и С:

p(A) = p(x < 3) = p ({0, 1, 2}) = 0,368 + 0,368 + 0,184 = 0,92.

p(B) = p (x > 2) = 1 – p( x £ 2) 1 – p ({0, 1, 2}) = 0,008.

p(C) = p (x ³ 1) = 1 – p( x £ 0) 1 – p ({0}) = 1 – 0,368 = 0,632.

Контрольное задание №10

1. Дискретная случайная величина х – число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий: А – в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В – не более 3 мальчиков; С – более одного мальчика.

2. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина х – число промахов. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: x < 2; x £ 3; 1 < x £ 3.

3. 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле – 0,5, для второго – 0,4. Дискретная случайная величина х –число попаданий в мишень. а) Найдите закон распределения х. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события х ³ 1.

4. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0 < x £ 2.

5. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения дискретной случайной величины х, равной числу оцененных на «отлично» работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события x > 0?

6. Дискретная случайная величина х имеет закон распределения:

xi	0	3	4	5	8
pi	0,2	0,1	0,3	p4	0,15

Чему равна вероятность Р4 = Р (х = 5)? Постройте многоугольник распределения.

7. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения случайной величины х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.

8. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

9. Дважды брошена игральная кость. Случайная величина х равна разности между числом очков при первом бросании и числом очков при втором бросании. Найдите закон распределения х и вероятность события 2 £ х £ 4.

10. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина х равна количеству бросаний кости. Найдите закон распределения случайной величины х и вероятность события х £ 5.

Тема №11

Функция распределения случайной величины

На практике для задания случайных величин общего вида обычно используется функция распределения.

Вероятность того, что случайная величина х примет определенное значение х0 , выражается через функцию распределения по формуле

р (х = х0) = F(x0 +0) – F(x0). (3)

В частности, если в точке х = х0 функция F(x) непрерывна, то

р (х = х0) =0.

Случайная величина х с распределением р(А) называется дискретной, если на числовой прямой существует конечное или счетное множество W, такое, что р(W,) = 1.

Пусть W = {x1, x2,…} и pi = p({xi}) = p(x = xi), i = 1,2,…. Тогда для любого борелевского множества А вероятность р(А) определяется однозначно формулой

. (4)

Положив в этой формуле А = {xi / xi < x}, x Î R, получим формулу для функции распределения F(x) дискретной случайной величины х:

F(x) = p(x < x) =. (5)

График функции F(x) представляет собой ступенчатую линию. Скачки функции F(x) в точках х = х1, х2 …(x1<x2<…) равны соответствующим вероятностям р1, p2, ….

Пример 1. Найдите функцию распределения

дискретной случайной величины х из примера 1 § 13.

Используя функцию распределения, вычислите

вероятности событий: х < 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)

0 х1 х2 х3 х4 х

Решение. Используя данные из таблицы,

полученной в § 13, и формулу (5), получим

функцию распределения:

По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 £ x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p ( 1 £ x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

= F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Пример 2. Дана функция

Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины? В случае положительного ответа найдите . Построить график функции F(x).

Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (характеристических свойств функции распределения):

1.  F(x) – неубывающая функция.

2.  , .

3.  При любом х Î R F(x – 0) = F(x).

Для заданной функции F(x) выполнение

этих условий очевидно. Значит,

F(x) – функция распределения.

Вероятность вычисляем по

формуле (2):

.

График функции F(x) представлен на рисунке 13.

Пример 3. Пусть F1(x) и F2(x) – функции распределения случайных величин х1 и х2 соответственно, а1 и а2 – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Доказать, что F(x) = a1F1(x) + a2F2(x) является функцией распределения некоторой случайной величины х.

Решение. 1) Так как F1(x) и F2(x) – неубывающие функции и а1 ³ 0, а2 ³ 0, то a1F1(x) и a2F2(x) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x) тоже неубывающая.

2) ;

.

3) При любом х Î R F(x - 0) = a1F1(x - 0) + a2F2(x - 0)= a1F1(x) + a2F2(x) = F(x).

Пример 4. Дана функция

Является ли F(x) функцией распределения случайной величины?

Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x) не является неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины. Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.

Контрольное задание №11

1. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi	-1	0	1
pi	0,25	0,5	0,25

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события х £ 0. Постройте график функции F(x).

2. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi	-2	-1	0	1	2
pi	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятности событий: а) –2 £ х < 1; б) ½х ½£ 2. Постройте график функции распределения.

3. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,05	0,2	0,3	0,35	0,1

Найдите функцию распределения F(x) и найдите вероятности следующих событий: а) x < 2; б) 1 £ х < 4; в) 1 £ х £ 4; г) 1 < x £ 4; д) х = 2,5.

4. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х, равной числу выпавших очков при одном бросании игральной кости. Используя функцию распределения, найдите вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.

5. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения случайного числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора 0,9.

6. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:

а) Найдите вероятность события 1 £ х £ 3.

б) Найдите таблицу распределения случайной величины х.

7. Задана функция распределения дискретной случайной величины х:

Составьте таблицу распределения данной случайной величины.

8. Монету бросают n раз. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений герба. Постройте график функции распределения при n = 5.

9. Монету бросают, пока не выпадет герб. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений цифры.

10. Снайпер стреляет по цели до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна р. Найдите функцию распределения числа промахов.

Вопросы к экзамену по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Статистическое и классическое определение вероятности.

2. Аксиомы теории вероятностей и простейшие следствия из них. Теорема сложения вероятностей.

3. Условная вероятность. Независимость событий. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.

4. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли.

5. Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Дискретная случайная величина, ее ряд распределения и функция распределения.

6. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности и функция распределения непрерывной случайной величины, их свойства.

7. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины, их свойства.

8. Нормальный закон распределения, вероятностный смысл его параметров. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал. Правило "трех сигма".

9. Системы случайных величин. Матрица распределения системы двух

дискретных случайных величин.

10. Функция распределения системы случайных величин и ее свойства.

11. Непрерывная система случайных величин. Двумерная плотность

вероятности и ее свойства.

12. Условные законы распределения. Независимость случайных величин.

13. Числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции, их свойства. Зависимость и коррелированность.

14. Условное математическое ожидание. Функция регрессии.

15. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова (формулировка).

16. Математическая статистика и ее основные задачи. Выборочный метод. Вариационный ряд. Выборочная функция распределения.

17. Математическая статистика и ее основные задачи. Выборочный метод. Группированная выборка, гистограмма и кумулята.

18. Оценивание параметров распределения. Общие требования к оценкам. Метод моментов.

19. Метод моментов. Несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

20. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.

21. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

22. Доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

23. Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

24. Задача регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов и функции регрессии.

25. Проверка статистических гипотез. Постановка задачи. Выбор критической области. Ошибки 1 и 2 рода.

26. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин с известными дисперсиями.

27. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально

распределенных случайных величин с неизвестными одинаковыми дисперсиями.

28. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий Колмогорова.

29. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий Пирсона.

30. Корреляционные функции.

Список литературы

основная литература

1.  , Мхитарян статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

2.  Вентцель вероятностей. М., Высшая школа, 2002.

3.  Вентцель вероятностей. М., Высшая школа, 2002.

4.  , , Титаренко и случайные величины. Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероятностей. М., МАТИ, 2004.

5.  , , Титаренко и случайные величины. Методические указания и варианты курсовых заданий по теории вероятностей. М., МАТИ, 2004.

6.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2003.

7.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2003.

8.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2004.

9.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2004.

10.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., Высшая школа, 1986.

11.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., Высшая школа, 1986.

12.  Длин статистика в технике. М., Советская наука, 1949.

13.  , Скитович по теории вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 1967.

14.  , Филиппова вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

15.  Кремер вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2001.

16.  Мешалкин задач по теории вероятностей. М., Изд. МГУ, 1963.

17.  Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. . М., Наука, 1984.

18.  Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. . М., Наука, 1970.

19.  Севастьянов теории вероятностей и математической статистики. М., Наука, 1982.

20.  , , Зубков задач по теории вероятностей. М., Наука, 1980.

21.  Чистяков теории вероятностей. М., Наука, 1988.

22.  Шведов вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа экономики, 1995.

дополнительная литература

1.  Длин статистика в технике. М., Советская наука, 1949.

2.  , Скитович по теории вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 1967.

3.  , Филиппова вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1982.

4.  Мешалкин задач по теории вероятностей. М., Изд. МГУ, 1963.

5.  Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. . М., Наука, 1984.

6.  Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. . М., Наука, 1970.

7.  Севастьянов теории вероятностей и математической статистики. М., Наука, 1982.

8.  , , Зубков задач по теории вероятностей. М., Наука, 1980.

9.  Чистяков теории вероятностей. М., Наука, 1988.