Теория вероятностей, математическая статистика (стр. 3 )

Дискретные случайные величины

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Наудачу выбираются 3 детали. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа стандартных деталей в выборке. Определить вероятность события Х 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

№ 2. Рабочий обслуживает 2 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего 0,7; второй станок не потребует внимания рабочего 0,8. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа станков, потребовавших внимание рабочего в течение часа. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

№ 3. Составить закон распределения (определить вид распределения), функцию распределения с. в. Х − числа попаданий мяча в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске р = 0,4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

№ 4. Два стрелка стреляют по мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5, для второго стрелка равна 0,6. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − общего числа попаданий в мишень. Определить вероятности событий: 2<Х 4, Х. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

№ 5. Вероятность того, что банкомат сработает правильно 0,999. Составить закон распределения (вид распределения – ?) с. в. Х − число раз использования банкомата до первой ошибки.

№ 6. По условию задачи №1 оценить и , используя неравенство Чебышева.

(Неравенство Чебышева:

Вероятность того, что с. в. ξ отклонится по абсолютной величине от на величину, меньшую δ (δ>0) будет больше или равна , т. е. .

Вероятность того, что с. в. ξ отклонится по абсолютной величине от на величину, большую или равную δ (δ>0) будет меньше или равна , т. е. )

№ 7. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

xi	-3	-2	-1	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,1	0,3	0,2	0,1

Составить закон распределения, функцию распределения с. в. . Найти , и

№ 8. С. в. может принимать 2 значения: с вероятностью и с вероятностью . Составить закон распределения с. в., если и .

№ 9. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2:1. Наудачу на отрезок АВ бросаются 4 точки. Случайная величина ξ – число точек, попавших на отрезок АС. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. В урне 5 белых, 4 черных шара. Наудачу извлекают два шара. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа белых шаров в выборке. Найти , и .

№ 2. Вероятность того, что первый из трех вылетевших самолетов долетит до места назначения 0,9, второй − 0,95, третий − 0,92. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа самолетов, долетевших до места назначения. оценить и .

№ 3. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа выпадений герба при четырехкратном подбрасывании монеты. Определить вероятности следующих событий: , . Найти , и .

№ 4. Два мальчика играют в игру: один загадывает любое натуральное число от 1 до 20, другой отгадывает. Игра идет до первого правильного ответа. Составить закон распределения с. в. Х − число раз, которое мальчики играют до первого отгадывания.

№ 5. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

xi	-1	0	1	2	3
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Составить закон распределения, функцию распределения с. в. . Найти , и .

№ 6. С. в. может принимать 2 значения: с вероятностью и с вероятностью . Составить закон распределения с. в., если и .

№ 7. На базу отправлено 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Случайная величина ξ − число поврежденных изделий. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

№ 8. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,02. Случайная величина ξ − число купленных билетов до первого выигрыша. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

Непрерывные случайные величины

Теория

Функция распределения . Плотность распределения вероятностей f(x)= .

Условие нормировки .

Замечания: 1)

2) ξ – непрерывная с. в. F(х) – непрерывная функция (не распространяется на f(x)).

Числовыми характеристиками с. в. являются математическое ожидание , и .

Если ξ – непрерывная с. в, то .

=, =.

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения

Доказать, что функция распределения непрерывна. Найти плотность распределения вероятностей f(x), проверить выполнимость условия нормировки. Найти . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.

№ 2. Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения

Доказать, что функция распределения непрерывна. Найти плотность распределения вероятностей f(x), проверить выполнимость условия нормировки. Найти . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ. Оценить вероятность и .

№ 3. Непрерывная случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятностей.

Определить постоянную С. Найти функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ.

№ 4. Найти плотность распределения вероятностей, функцию распределения, и случайной величины ξ, равномерно распределенной на [2;8].

№ 5. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

. Определить вид распределения. Вычислить , и . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина ξ попадет в интервал

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения

.

Доказать, что F(x) непрерывна. Найти плотность распределения вероятностей f(x), проверить выполнимость условия нормировки. Найти . Вычислить , и . Оценить вероятность и .

№ 2. Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения

Доказать, что F(x) непрерывна. Найти плотность распределения вероятностей f(x), проверить выполнимость условия нормировки. Найти . Вычислить , и .

№ 3. Непрерывная случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятностей

.

Определить постоянную С. Найти функцию распределения F(x). Вычислить , и .

№ 4. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

№ 5. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали ξ, которая распределена нормально с математическим ожиданием равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали а) большее 55 мм, б) меньше 40 мм.

№ 6. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Определить вид распределения. Вычислить , и .

Тест по теме «Случайные величины»

Вопрос 1.

Дискретной случайной величиной является величина

Ответ

ξ1 – ошибка округления при взвешивании, если цена деления весов 0,1 грамм

ξ2 – отметка, полученная на экзамене

ξ3 – время ожидания автобуса, если автобусы ходят с интервалом 10 минут

ξ4 – длина детали, помещаемой в кольцевидное отверстие размером 3 – 5 мм.

Вопрос 2.

Вероятность того, что дискретная случайная величина ξ – число раз выпадения герба при трехкратном подбрасывании монеты, равно 3

Ответ

3/8

1/3

1/8

2/9

Вопрос 3.

Способы задания дискретной случайной величины

Ответ

Функцией распределения

Плотностью распределения вероятности

Законом распределения

Математическим ожиданием

Вопрос 4.

Способы задания непрерывной случайной величины

Ответ

Функцией распределения

Плотностью распределения вероятности

Законом распределения

Математическим ожиданием

Вопрос 5.

Условие нормировки для дискретной случайной величины

Ответ

Вопрос 6.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины

Ответ

Вопрос 7.

Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение 3, если дан закон распределения этой величины

хi	1	2	3	4	5
рi	0,3	0,2	?	0,1	0,1

Ответ

0,1

0,2

0,3

0,4

Вопрос 8.

Понятие функции распределения случайной величины ξ

Ответ

Вопрос 9.

Вероятность того, что дискретная случайная величина ξ удовлетворяет условию , если ξ задана функцией распределения вероятностей:

Ответ

0,3

0,5

0,8

0,9

Вопрос 10.

Вероятность того, что дискретная случайная величина ξ удовлетворяет условию , если ξ задана функцией распределения вероятностей:

Ответ

0,1

0,2

0,3

0,5

0,6

Вопрос 11

График функции, которая может быть функцией распределения непрерывной случайной величины

Ответ

Вопрос 12.

Понятие плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины ξ

Ответ

Вопрос 13.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины ξ, функция распределения которой

Ответ

Вопрос 14.

Верное утверждение для плотности распределения вероятности f(x) непрерывной случайной величины

Ответ

f(x) – неубывающая функция

f(x) принимает только неотрицательные значения

f(x) обязательна непрерывна

f(x) принимает значения только из промежутка [0;1]

Вопрос 15.

Формула для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины

Ответ

Вопрос 16.

Формула для вычисления математического ожидания непрерывной случайной величины

Ответ

Вопрос 17.

Математическое ожидание случайной величины ξ, заданной законом распределения

хi	1	2	3
рi	0,2	0,5	0,3

Ответ

2,1

2

1

3

Вопрос 18.

Математическое ожидание случайной величины , если случайная величина ξ, задана законом распределения

хi	-2	3
рi	0,7	0,3

Ответ

-0,5

0,25

2,77

5,5

Вопрос 19.

Формула для нахождения дисперсии случайной величины ξ

Ответ

.

.

Вопрос 20.

Вероятностный смысл дисперсии случайной величины

Ответ

Дисперсия характеризует разброс значений с. в.

Дисперсия показывает среднее значение с. в.

Дисперсия показывает наиболее вероятное значение с. в.

Элементы мат. статистики. Выборочный метод

Теория

Оценкой генеральной средней (т. е. математического ожидания) признака является выборочная средняя, обозначаемая и вычисляемая по формуле:

,

где xi – варианта выборки, ni частота варианты xi, n – объём выборки.

Оценка генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Более удобна формула

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

.

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка: 4, 7, 5, 7, 7, 5, 7, 6, 7, 6.

1) Найти объём выборки. 2) Найти распределение частот и относительных частот, 3) Построить полигон частот и относительных частот.

№ 2. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Номер интервала	Частичный интервал xi – xi-1	Частота (т. е.сумма частот, Попавших в интервал)
1	2-7	5
2	7-12	25
3	12-17	6
4	17-22	10
5	22-27	4

№ 3. По условию задачи № 1 найти эмпирическую функцию распределения.

№ 4. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi	2	6	7	10
ni	6	12	8	14

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

№ 5. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi	1540	1550	1520
ni	5	9	2

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

№ 6. По условию задачи 4 найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии.

№ 7. По условию задачи 5 найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии.

Задачи для самостоятельного решения

№ 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка:

18, 14, 15, 16, 16, 18, 19, 20, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 14, 14, 14, 16, 17, 15.

1)  Найти объём выборки.

2)  Найти распределение частот и относительных частот.

3)  Построить полигон частот и относительных частот.

4)  Найти эмпирическую функцию распределения.

5)  Найти несмещенную оценку генеральной средней.

6)  Найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии.

7)  Найти интервальную оценку мат. ожидания (т. е. генеральной средней) с надежностью=0,99.

№ 2.

Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Номер интервала	Частичный интервал xi – xi-1	Частота (т. е.сумма частот, Попавших в интервал)
1	3-7	3
2	7-11	6
3	11-15	10
4	15-19	8
5	19-23	3
6	23-27	5