Ю Г О - З А П А Д Н Ы Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

Кафедра высшей математики

Случайные события и случайные величины

Материалы к практическим занятиям

по разделу математики

«Теория вероятностей, математическая статистика»

Для студентов групп ПЭ-01, СМ-91, СМ-91б, УК-91

Курск

2011

План занятий по математике по разделу

«Теория вероятностей, математическая статистика»

№

Тема занятия

Дата занятия

ПЭ-01

СМ-91, -91б

УК-91

1

Элементы комбинаторики

10.02.2011

09.02.2011

17.02.2011

2

Классический подход к определению вероятности

24.02.2011

09.03.2011

03.03.2011

3

Геометрический и статистический подходы к определению вероятности

10.03.2011

Рассматривается на лабораторных занятиях 02.03.2011

17.03.2011

4

Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность и формула Байеса

24.03.2011

23.03.2011

31.03.2011

5

Повторные испытания

Тест по теме «Случайные события»

07.04.2011

06.04.2011

14.04.2011

6

Дискретные случайные величины

21.04.2011

20.04.2011

28.04.2011

7

Непрерывные случайные величины. Тест по теме «Случайные величины»

05.05.2011

04.05.2011

05.05.2011

(дата может быть изменена)

8

Элементы мат. статистики. Выборочный метод

19.05.2011

(возможна лабораторная работа)

18.05.2011

12.05.2011

9

Проверка статистических гипотез

02.06.2011

(возможна лабораторная работа)

01.06.2011

26.05.2011

10

Подготовка к коллоквиуму

На дополнит. занятии

На дополнит. занятии

На дополнит. занятии

Замечание. Защита модулей осуществляется вне аудиторных занятий.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для групп СМ-91, СМ-91б, УК-91

1 модуль

2 модуль

3 модуль

до 01.04.2011

до 06.05.2011

до 03.06.2011

Для группы ПЭ-01

1 модуль

2 модуль

Лабораторная (в случае проведения)

до 01.04.2011

до 06.05.2011

до 03.06.2011

Элементы комбинаторики

Формулы

Число сочетаний из n по k

Число сочетаний из n по k с повторениями

Число размещений из n по k

Число размещений из n по k с повторениями .

Число перестановок n элементов

Число перестановок n элементов с повторениями

Задачи для аудиторных занятий

№ 2.1 Даны элементы а, b, с. Записать все возможные размещения и сочетания из 3 по 2, перестановки 3-х элементов. Вычислить число размещений, сочетаний и перестановок.?

№ 2.2 Брошены две игральные кости. Чему равно общее число исходов испытания?

№ 2.3 Сколько существует трехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 3, 6, 8, если

а) каждая цифра входит в изображение числа только один раз,

б) цифры в записи числа могут повторяться?

№ 2.4 Сколько можно передать сигналов с помощью 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

№ 2.5 В торговом зале работает 8 продавцов-консультантов. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности кассира, упаковщика подарков и дежурного по залу?

№ 2.6 Из восьми продавцов-консультантов нужно выбрать трех упаковщиков подарков. Сколько возможно вариантов выбора?

№ 2.7 Сколько существует трехзначных чисел без повторяющихся цифр?

№ 2.8 Сколькими способами можно расположить на книжной полке 5 книг?

№ 2.9 Сколькими способами можно расположить на книжной полке 5 книг так, чтобы 2 определенные стояли рядом?

№ 2.10 На карточках написаны буквы к, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из трех букв можно составить?

№ 2.11 На карточках написаны буквы к, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из пяти букв можно составить?

№ 2.12 На карточках написаны буквы к, о, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из шести букв можно составить?

№ 2.13 В коробке 6 стандартных деталей и 4 не стандартные детали. Сколькими способами можно выбрать 3 детали.

№ 2.14 В коробке 6 стандартных деталей и 4 не стандартные детали. Сколькими способами можно выбрать 3 из них так, чтобы

а) они оказались стандартными,

б) только 2 из выбранных оказались стандартными,

в) хотя бы одна из них была стандартная.

№ 2.15 В коробке 8 синих, 7 красных и 6 зеленых шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы

а)все были красными,

б) только 3 из выбранных оказались синими,

в) хотя бы один из них был зеленый.

№ 2.16 Задача про зубы.

Задачи для самостоятельного решения

№ 2.1 Брошены три игральные кости. Чему равно число возможных исходов испытания?

№ 2.2 Из пункта А в пункт С можно добраться только через пункт В. Из А в В ведет 4 пути, из В в С – 6 путей. Сколько возможных путей из А в С?

№ 2.3 Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых используются только цифры 0; 1; 2; 3; 4, если

а) цифры в записи числа не повторяются,

б) возможны повторения цифр в записи числа.

№ 2.4 Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых используются только цифры 0; 1; 2; 3; 4, если

а) цифры в записи числа не повторяются,

б) возможны повторения цифр в записи числа.

№ 2.5 В президиум собрания избраны 5 человек. Из их числа необходимо выбрать двух человек для выступления. Сколько возможно вариантов?

№ 2.6 В президиум собрания избраны 5 человек. Из их числа необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколько возможно вариантов?

№ 2.7 Сколькими способами можно распределить 8 человек в двух четырехместных купе? (Задача заковыристая)

№ 2.8 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 человек?

№ 2.9 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 человек так, чтобы 2 определенных человека сидели рядом?

№ 2.10 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 3 девочек и 3 мальчиков так, чтобы никакие 2 мальчика и никакие 2 девочки не сидели рядом (то есть надо по принципу "мальчик-девочка").

№ 2.11 На карточках написаны буквы к, а, р, у, с, е, л, ь. Сколько всевозможных слов из четырех букв можно составить?

№ 2.12 На карточках написаны буквы к, а, р, у, с, е, л, ь. Сколько всевозможных слов из восьми букв можно составить?

№ 2.13 На карточках написаны буквы м, а, р, м, е, л, а, д, к, а. Сколько всевозможных слов из десяти букв можно составить?

№ 2.14 В коробке 7 шаров красного цвета и 3 шара зеленого цвета. Сколькими способами можно выбрать 4 шара из коробки?

№ 2.15 В коробке 7 шаров красного цвета и 5 шара зеленого цвета. Сколькими способами можно выбрать 4 шара из коробки так, чтобы

а) они все оказались красного цвета,

б) только 2 из них оказались красного цвета,

в) хотя бы один из них оказался красного цвета.

Классический подход к определению вероятности

Теория

Простейшим пространством элементарных исходов является пространство, в котором все исходы опыта

1)  равновозможны; 2) попарно несовместны; 3) образуют полную группу событий.

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов.

В этом случае для определения вероятности события можно воспользоваться классическим подходом, суть которого в том, что вероятность события А вычисляется по формуле:

,

где n – число элементарных исходов в пространстве Ω, k – число элементарных исходов, благоприятных событию А.

Задачи для аудиторных занятий

№ 1. Монета брошена два раза. Определить вероятность того, что герб выпадет по крайней мере один раз.

№ 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

А − сумма выпавших очков равна шести; B − сумма выпавших очков равна семи, а разность равна трем.

№ 3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик имеет окрашенных граней а) одну; б) две; в) три.

№ 4. В группе 10 студентов, из них 4 девочки. Для участия в викторине выбирают одного человека. Найти вероятность того, что выбрали девочку.

№ 5. В группе 10 студентов, из них 4 девочки. Для участия в викторине выбирают двух человек. Найти вероятность того, что выбрали девочек.

№ 6. В наборе из 15 конфет 9 шоколадных. Наудачу извлечены 5 конфет. Найти вероятность того, что среди них

1) все 5 шоколадные; 2) ровно 3 шоколадные; 3) по крайней мере одна шоколадная.

№ 7. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3. Найти вероятности следующих событий:

1) все выбранные карты – тузы; 2) среди них 2 туза; 3) среди них по крайней мере один туз.

№ 8. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

№ 9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня только, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№ 10. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№ 11. На восьми карточках написаны буквы И, Р, Д, А, З, Н, П, К. Карточки перемешаны и случайным образом разложены в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ПРАЗДНИК?

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. В классе учащиеся изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 15 человек, оба языка изучают 2 человека. Сколько человек изучают французский, если всего в классе 23 человека.

№ 2. Монета брошена три раза. Определить вероятность того, что герб выпадет а) один раз; б) два раза; в) хотя бы два раза.

№ 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна шести, а произведение равно восьми.

№ 4. Из 10 книг 6 в переплёте. Наудачу извлекают 4. Найти вероятность того, что

1) все 4 в переплёте; 2) 2 в переплёте; 3) хотя бы одна в переплёте.

№ 5. Из полного шахматного набора (32 фигуры) наудачу извлечены 3 фигуры. Найти вероятность того, что среди них:

1) один слон; 2) хотя бы один слон.

№ 6. Для праздника купили 6 красных, 5 желтых и 4 синих шаров. Мальчик наудачу выбрал и надул 5 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров:

1) все шары красные; 2) 3 красных и 2 желтых шара; 3) 2 красных, 1 желтый и 2 синих шара; 4) по крайней мере 1 шар желтый.

№ 7. Мальчик наугад составил музыкальную композицию, используя 5 различных нот. Какова вероятность того, что эта композиция: до, ля, ми, ре, си.

№ 8. Мальчик наугад составил музыкальную композицию, используя 5 нот, среди которых могли быть повторяющиеся. Какова вероятность того, что эта композиция: до, ля, ми, ре, си.

№ 9. Какова вероятность того, что при случайном расположении кубиков, на которых написаны буквы А, И, Р, П, Т, Я, Ц, Е, получится слово ТРАПЕЦИЯ?

№ 10 . Найти вероятность того, что в случайно названном четырехзначном числе все цифры четны.

№ 11. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 400 рублей каждая, три книги – по 100 рублей и две книги – по 300 рублей. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 500 рублей.

Геометрический и статистический подходы к определению вероятности (не для СМ-91)

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. После бури на участке между 20-м и 40-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Найти вероятность того, что разрыв произошел между 30-м и 35-м километрами линии.

№ 2. Внутрь круга радиуса r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг правильного треугольника.

№ 3. В шаре радиуса R помещен меньший шар радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший шар, попадет также и в малый шар.

№ 4. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 10 см. На плоскость наудачу брошена монета радиусом 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 5. Монета радиусом R случайным образом брошена на пол, вымощенный квадратным паркетом. Длина стороны квадрата l; (l>2R). Найти вероятность того, что монета окажется лежащей внутри некоторого квадрата.

№ 6. Два человека будут находиться в определенном месте между 10 и 11 часами. Каждый из них проведет там 20 минут. Какова вероятность того, что они встретятся, если приход каждого человека в течение указанного часа может произойти в любое время?

№ 7. Найти вероятность того, что произведение двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превышает 1/3.

№ 8. Из 50 выстрелов по цели было 43 попадания. Найти относительную частоту попаданий в цель.

№ 9. Установлено, что относительная частота всхожести семян равна 0,95. Какое количество семян из 200 высаженных может дать нормальные всходы?

___________________________________________________________________________________________

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Отрезок АВ разделен точкой С так, что АС:СВ=2:3. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, попадет на отрезок СВ.

№ 2. Внутрь круга радиусом r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг квадрата.

№ 3. На плоскость, которая разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 4. Найти вероятность того, что сумма двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 3, не превышает 4.

№ 5. Рабочий обслуживает 2 станка. Каждый из них требует внимания рабочего в течение 10 минут за один час. Найти вероятность того, что в течение часа один из станков потребует внимания рабочего в то время, когда он занят другим станком.

№ 6*. Точка (c;q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1). Найти вероятность того, что уравнение x2+cx+q=0 имеет два действительных корня.

№ 7. При проверке качества изделий из 200 проверенных было обнаружено 10 бракованных. Найти относительную частоту появления брака.

Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность и формула Байеса

Задачи

№ 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого 0,7, для второго 0,6. Найти вероятности следующих событий: А − мишень будет поражена; В − первый стрелок попадет, а второй нет; С − только один попадет по мишени.

№ 2. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа 1-ый станок потребует внимание рабочего равна 0,5, 2-ой станок − 0,6, 3-ий станок − 0,8. Найти вероятности следующих событий: А − два станка потребуют внимания рабочего; В − все станки потребуют внимания рабочего; С − по крайней мене один станок потребует внимания рабочего.

№ 3. Из шести мужчин и четырех женщин в командировку наудачу выбрали двух человек. Найти вероятности следующих событий: 1) вторым выбрали мужчину, если первый раз выбрали женщину, 2) вторым выбрали мужчину, если первый раз тоже выбрали мужчину, 3) оба раза выбрали мужчину.

№ 4. На пяти карточках написаны буквы К, К, А, А, С. Какова вероятность того, что при случайной раскладке этих карточек в ряд получится слово “КАСКА”? (Решить двумя способами)

№ 5. Из 25 вопросов студент знает 20. Найти вероятность того, что из трех заданных студенту вопросов он знает: А − все три вопроса; В − хотя бы один вопрос. (Решить двумя способами)

№ 6. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

№ 7. В тире 6 винтовок, 4 снабжены оптическим прицелом. Стрелок наудачу выбирает винтовку. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки без оптического прицела 0,72. Найти вероятность попадания в цель.

№ 8. Имеются 3 партии изделий: 25% − изделия первой партии, 40% − изделия второй, остальные − изделия третьей партии. Вероятность того, что изделие без дефекта для первой партии равна 0,8, для второй – 0,85, для третьей – 0,9. Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие оказалось без дефекта.

№ 9. На стоянке 2 машины. Подъезжает третья − легковая. Найти вероятность того, что первая отъехавшая машина − легковая, если равновозможны все предположения о первоначальных машинах.

№ 10. Имеются 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие − брак. Одно изделие из первой партии переложили во вторую. После чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность того, что извлечено бракованное изделие.

№ 11. По условию задачи 7 определить вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с оптическим прицелом (без прицела), если цель была поражена.

№ 12. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен, 3 человека (отличники) знают все 20 вопросов, 4 человека (хорошисты) знают 16 вопросов, 2 человека (троечники) знают 10 вопросов, 1 человек (двоечник) знает 5 вопросов. Студенту предложили 3 вопроса, на которые он ответил. Какова вероятность того, что он отличник?

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Два друга сдают экзамен. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8. Вероятность того, что второй сдаст экзамен, равна 0,6. Найти вероятности следующих событий:

А − только первый сдаст экзамен;

В – только один из них сдаст экзамен;

С − хотя бы один из друзей сдаст экзамен.

№ 2. Из аэропорта вылетели 3 самолета. Вероятность того, что самолеты не отклонятся от намеченного пути, для них соответственно равна 0,8; 0,75, 0,7. Найти вероятности следующих событий:

А − только 1-ый самолет не отклонится от намеченного пути;

В − два самолета будут придерживаться намеченного пути;

С − по крайней мере один самолет не отклонится от намеченного пути.

№ 3. Из колоды в 36 карт последовательно вытаскивают 2 карты. Найти вероятность того, что второй раз была извлечена “картинка” (то есть валет, дама, король или туз), если известно, что первый раз была извлечена 1) “картинка”, 2) не “картинка”.

№ 4. На семи карточках написаны буквы А, А, А, Б, Б, Н, Р. Какова вероятность того, что при случайной раскладке этих карточек в ряд получится слово “БАРАБАН”?

№ 5. Из 10 книг 6 в переплёте. Наудачу извлекают 4. Найти вероятность того, что

1)  все 4 в переплёте;

2)  хотя бы одна в переплёте.

№ 6. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,5, можно было ожидать, что ни на одной из граней не появится шесть очков?

№ 7*. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

1)  на каждой из выпавших граней появится три очка;

2)  на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков;

3)  на двух выпавших гранях появится шесть очков, а на третьей грани − другое число очков;

4)  на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани − другое число очков;

5)  на всех выпавших гранях появится разное число очков.

№ 8. В коробке находится 20 деталей 1-го сорта, 16 деталей 2-го сорта. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 1-го сорта, равна 0,05. Вероятность того, что деталь является бракованной, если она 2-го сорта, равна 0,2. Наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что она отличного качества.

№ 9. В специализированную больницу поступают в среднем 60% больных с заболеванием K, 40% − с заболеванием L, 20% − с заболеванием M. Вероятности полного излечения болезней K, L, M соответственно равны 0,5, 0,8, 0,7. Найти вероятность того, что поступивший в больницу больной будет выписан здоровым.

№ 10*. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй 4 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара. После этого из второй урны берут 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

№ 11. По условию задачи 2 определить вероятность того, что поступивший в больницу больной страдал заболеванием L, если известно, что он выписался здоровым.

№ 12. В семье три человека: мама, папа, сын. В будние дни посуду моет мама. На выходных папа и сын делят работу поровну. Вероятность того, что мама что-то разобьет при мытье посуды, равна 0,007. Вероятность того, что папа что-то разобьет, равна 0,049. Вероятность того, что сын что-то разобьет, равна 0,035. Была обнаружена разбитая тарелка. Найти вероятность того, что ее разбил папа.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3