Глава 5.
Основы теории управления.
Основы Теории Управления
Введение.ТУ - наука о методах определения законов управления объектами, допускающими их реализацию теми или иными средствами (так автоматическое управление объектом осуществляется с помощью технических средств автоматики, а автоматизированное управление при этом предполагает участие в управлении объектом людей).
Пример:
· Летящий самолет есть объект, законы управления которым в автоматическом режиме характеризуют его полет по заданной траектории. Эти законы реализуются с помощью автопилота (совокупности измерительных приборов, преобразующих и вычислительных устройств).
· В общественном производстве объектом управления является все народное хозяйство.
В дальнейшем, под управлением понимается совокупность действий, выбранных на основании определенной информации и направленных на поддержание или улучшение функционирования объекта (объектом может быть изделие, процесс и т. д.).
Очевидно, что процесс управления, как выработка и осуществление целенаправленных управленческих воздействий на объект, включает в себя:
- Сбор Хранение Передачу Обработку необходимой информации; Принятие и реализацию соответствующих решений.
Методы управления объектом различны в зависимости от задач и отличаются от технологических операций и процессов объекта управления.
Основные функции управления объектом реализуются ручными, механизированными, автоматизированными и автоматическими методами.
Примечания:
· При ручных методах управляющий объектом человек затрачивает физические и умственные силы.
· Использование механизированных методов (копание ковшом экскаватора) предполагает использование человеком «оборудования», которое полностью или частично заменяет его физический труд, необходимый для управления.
· При автоматизированном методе управления объектом применяются оборудования, обеспечивающие полную замену физического труда и частичную замену умственного труда.
· Автоматическое управление позволяет полностью заменить физический и умственный труд.
Говорят, что совокупность средств управления и объекта управления образует систему управления (СУ). В этом плане говорят об автоматической и автоматизированной СУ. В читаемом курсе предполагается, что математическое описание поведения объекта управления задано операциями управления вида:
- включение;
- переключение;
- выключение;
- измерение параметров объекта (контроль),- изучено в других видах дисциплин.
Будем изучать операции по поддержанию заданного закона изменения параметров управляемого объекта.
Замечание:
Основное внимание уделяется и характеру связи (структуре) реальной системы.
Предмет, цель курса.Предметом изучения курса ОТУ являются кибернетические системы (КС), представляющие собой абстракцию сложных управляющих систем под информационным углом зрения.
В этом плане та или иная КС - множество взаимосвязанных элементов, способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею. Состояние элемента в такой системе может меняться самопроизвольно и под действием сигналов из вне или может формировать выходные сигналы.
Целью курса является приобретение знаний и умений использование в инженерной практике основных положений ТУ:
- принципы построения СУ;
- особенности проектирования СУ.
Задачами курса является:
· Описание СУ функциональными и структурными схемами.
· Методика составления операторных уравнений и определение передаточных функций.
· Виды частотных характеристик, применяемых при синтезе и анализе СУ.
· Критерий устойчивости линейных систем.
· Основные способы определения переходных процессов в системе.
· Точность СУ в установившемся режиме.
Содержанием курса является:
- модели СУ;
- методы анализа и синтеза законов управления в СУ.
Основные понятия: управление, управляемость, объект управления, качество управления, устойчивость, инвариантность модели, наблюдаемость, адаптивность, СУ, идентификация моделей.
Концептуальный базис и логика построения читаемого курса.Исходными будем считать понятия:
- сложная система (СС);
- КС;
- Кибернетический элемент (КЭ)
- Управляющая подсистема.
Основные производные понятия:
- объект;
- рефлексная система;
- фундаментальные принципы управления в автоматических системах;
- обобщенная СУ;
- функциональная СУ.
Сложная система.
СС - неоднородная система большого числа взаимосвязанных элементов (неформальное понятие, т. к. нет его строгого математического определения).
Примеры:
- мозг человека;
- ЭВМ;
- СУ в человеческом обществе;
- Нервная система
- Экологическая система и т. п.
Одним из наиболее трудных моментов математического описания системы является формализация понятия сложности. При этом следует отметить, что понятия «СС» и «большая система» не синонимы, т. к. последний термин охватывает системы, обладающие одним свойством - большая.
Реальные СС могут обладать сложностью не только мощностью элементов, но и многообразием форм связи, сложность функционирования и иерархичность. Это означает Для простых классов УС формализация сложности дискретных автоматов является машина Тьюринга.
КС и КЭ.
КС - сложная система, изучаемая с информационной точки зрения (согласно Глушкову КС есть множество взаимосвязанных элементов системы, способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею).
КС сводится в простейшем случае к одному элементу.
 |
|
X(t) Y(t)
~ xm(t) yk(t)
Элемент КС в общем случае есть картеж пяти компонент: <X, Y,Z, f,g>, где
X(t)=<x1(t),…,xm(t)> - вектор, компоненты которого задаются с индексами (m-мерный) – вектор входа.
Y(t)=<y1(t),…,yк(t)>- вектор выхода, компоненты которого - сигналы с выходных полюсов.
Z(t)= <z1(t),…,zn(t)>- внутренние состояния КЭ (вектор фазовых координат).
Для детерминированных элементов, функции состояний и выходов в общем случае записываются следующими соотношениями:
- обозначение сужения вектора функции Z(t) на область задаваемую системой полуоткрытых интервалов (τ1,t),…,(τn, t), где τi= τi(t), τi<t.
При задании КЭ предполагается известным его начальное состояние z0=z(0), а также, возможно, и начальное выходное состояние y0=y(0).
Примечание: Для стохастических (вероятностных) КЭ аргументы функционалов f и g дополняются случайными функциями:
Многоэлементные КС строятся из конечного набора элементов путем отождествления выходных сигналов одних элементов с входными сигналами других.
Формально такие отождествления задаются системой равенств:
p r
Xi(t)=Yj(t), где p, rÎM M - множество элементов.
p
Xi(t)- i-ая компонента входного сигнала р-го элемента.
r
Yj(t)- j-ая компонента выходного сигнала р-го элемента.
Примечания:
· Систему с переменной структурой можно свести к системе с постоянной структурой введением дополнительных коммутативных элементов.
· Кибернетический аспект рассмотрения систем является чисто информационным, т. е. состояние элементов и их взаимодействие описывается системой кодов, прежде всего для установления меры их различия, а не для измерения тех или иных их физических характеристик. Так при наличии электронной схемы лишь двух уровней напряжения U1 и U2 их можно задать кодами 1 и 0 не зависимо от их истинного номинала.
· КС свойственна самоорганизация и самообучение (адаптация, накопление опыта), а система с управлением обладает свойством целеустремленности).
· Двух элементную КС часто представляют в виде
x(t)
|
|
 | |
 |  |
 |
Uос
Графа, вершинами которого являются:
- УС - управляющая подсистема
- ОУ - объект управления (управляемая подсистема)
- Uп - вектор управления каналом прямой связи
- Uос - вектор управление каналом обратной связи.
- x(t)- внешнее воздействие окружающей среды (помехи и т. д.)
· Эффективное исследование СС классическими дедуктивными методами оказывается практически невозможным. Классический эксперимент, как метод исследования таких систем применим в ограниченном пределе (а в ряде случаев натурные эксперименты либо невозможны, либо чересчур сложные). Именно поэтому основным методом исследования в КС является машинный эксперимент, в чистом виде основанный на использовании имитационных методов.
· Система математически может описываться различными моделями. Каждая переменная модели, выражающая определенную характеристику модели, часто задается в виде множества конкретных значений, которые эта переменная принимает. Состояние системы в данный момент времени есть картеж, каждая компонента которого есть конкретное значение определенной системы. Именно в этом случае говорят, что система может быть описана множеством состояний.
Пример: если состояние описывается картежом вида X=<x1,x2,…,xm>, где xi – существенные переменные модели, каждая из которых может принимать n значений, то матрица размерностью m*n представляет собой описание данной системы.
Язык соответствий позволяет определить КС как реляционную q=<X, Y,S,>, где X –множество входов, Y- множество выходов, S - законы, устанавливающие связь между элементами X и Y.
Аналитическое описание представляет собой систему уравнений, характеризующих преобразования, выполняемые ее элементами и системой в целом в процессе ее функционирования. В непрерывном случае применяется системы (язык) диф. Уравнений, а в дискретном случае - язык разностных уравнений.
Графическим описанием системы является язык графов, вершины которого являются элементами системы, а ребра связаны.
Часть КС, осуществляющая управление в системе называется управляющей подсистемой (блоком, устройством). Управляющая подсистема (УП) имеет структуру и обладает функциональными свойствами, отражающие ее информационную природу. Понятие УП относится к числу понятий, которые невозможно полностью объяснить, используя только математические конструкции. Поэтому для интуитивного представления этого понятия приведем примеры физических СУ:
-ЭВМ - соединение элементов, выполняющие конкретные команды.
- Шахматная позиция, задаваемая положением фигур и набором допустимых ходов одного из игроков.
Каждый из упомянутых объектов выступает как единство некоторых схем и определенных свойств или функций. В этом плане УП есть картеж
U=<S, F,Ин, К>, где
S - схема
F - функции
Ин- связанная с S и F информация
К- координаты расположения схемы.
Это означает, что различные объекты могут быть описаны языком УС (т. е. с информационной точки зрения множество объектов разбивается на классы эквивалентности)
ОУ КС - КЭ, состояние которого обусловлено целенаправленным управляющим воздействием на него со стороны СУ. В этом плане, согласно ГОСТ «управление объектом»- совокупность воздействий из вне, предусмотренных алгоритмом функционирования объекта. Состояние ОУ в каждый момент времени зависит от предшествующих его состояний управляющих воздействий и дестабилизирующих факторов окружающей среды.
Примерами неформальных (т. е. физических) УС могут быть:
- Нервная ткань, представляющая определенную структуру из нейронов и осуществляющую преобразование раздражений, идущих из внешней среды в определенные (управляющие) воздействия на ОУ;
- ЭВМ, являющаяся соединением электронной базы и способная выполнять данный перечень команд;
- Шахматная позиция, задаваемая расположением фигур на доске и набором допустимых ходов одного из партнеров.
Две модели УС изоморфны (неотличимы), если они имеют одинаковые схемы и выполняют одинаковые функции.
Если УС в СУ является человек, то говорят о ручном управлении объектом, если же УС в СУ есть аппаратно-программный комплекс, то говорят о САУ, если же в управлении объектом участвуют и оператор и аппаратно-программные средства, то говорят об АСУ.
Это так называемое ручное управление объектом (с привлечением ЭВМ)
Это так называемое САУ
Это так называемое АСУ
Если ОУ (процесс, явление и т. д.) конкретизировать по отношению к УС, то говорят о ручной, автоматической и автоматизированной СУ.
Говорят, что ОУ есть динамическая система, если математическое описание его состояний под воздействием есть дифференциальное уравнение вида 
В настоящее время известны и широко используются два функциональных принципа управления:
1)принцип разомкнутого управления, включающий в частности, принцип управления по возмущению ( иначе называется принципом компенсации );
2)принцип замкнутого управления ( иначе называется принципом управления с ОС).
В рамках этих фундаментальных структур в зависимости от возможности их изменения ( в частности как параметров так и связей ) различают фундаментальные методы управления - адаптивные и неадаптивные.
Иначе указанные принципы (т. е. структуры и методы) управления проиллюстрируем на примерах типовых структур СУ
Замечание:
На практике эти принципы в конкретной реализации СУ могут комбинироваться .
a) Типовые структуры СУ
1. Структурная схема СУ, реализующая принцип разомкнутого управления.
 |
В таких СУ близость алгоритма функционирования ОУ 
и задаваемого (желаемого) функционирования обеспечивается только конструкцией и подбором физических закономерностей, действующих в функциональных компонентах разомкнутой системы.
Примерами реализации разомкнутого принципа управления является:
- система управления световой гирляндой (рекламой, );
- схемы программного управления ОУ ( стрелкой кварцевых часов, , копирования при изготовлении ключей по форме шаблона и др.)
2.Структурная схема С. У., реализующая принцип разомкнутого управления по возмущения (принцип компенсации).
 |
Uвх Uз Uбл
Примерами компенсации принципа управления является управление постоянством хода механического хронометра при изменении температуры окружающей среды ( с тем, чтобы сохранить постоянство длины маятника, использующий неметалический стержень с разными коэффициентами теплового расширения).
3.Структурная схема СУ, реализующая принцип замкнутого управления.
 |
Uвх Uз Uбл
Управление с ОС есть управление в функции фазовых координат ОУ, т. е. когда следствие нарушение желаемого функционирования ОУ превращается в причину восстановления нарушенного процесса. Иначе: в СУ с ОС происходит воздействие результатов функционирования ОУ на характер протекания этого функционирования. Основная идея управления с ОС заключается в использовании отклонений параметров ОУ от требуемого состояния для формирования управляющих воздействий.
Примерами реализации принципа замкнутого управления в электронике могут быть:
-генераторы (т. е. СУ с положительной ОС);
-усилители (т. е. СУ с отрицательной ОС).
Примечание:
1) В СУ замкнутого типа возникает возможность управления неустойчивым ОУ, что невозможно в разомкнутых СУ
2)В СУ широко используется частный вид принципа управления с ОС регулирование (т. е. управление в функции рассогласования вход-выход):
Здесь: О. Р.-объект регулирования
У. Р.-устройство регулирования
У. С.-управляющая система
4 Обобщенная функциональная схема СУ
 |
ξ(t)
|
|
|
|
|
| |  |
ЭС- элемент сравнения
ПЭ- преобразующий усилитель
У- усилитель
ИЭ- исполнительный элемент
ОСм- местная ОС
ОСг- главная ОС
Необходимость введения задающего элемента объясняется тем, что задающее воздействие, поступающее на ЭС1 может отличаться от входной величины по двум причинам:
- эти воздействия связаны друг с другом по функциональной зависимости или просто отличаются масштабом.
- задающие воздействия содержат в себе случайные возмущения (помехи, шумы и т. п.)
Усилитель и ИС входят в основной контур схемы. ПЭ и ОСм вводятся в систему для придания ей лучших динамических свойств, т. е. для коррекции системы (в этом плане их называют последовательным и параллельным звеньями соответственно). Их наличие является необязательным, однако тогда система будет иметь низкие показатели.
В том случае, когда КС в процессе функционирования способна изменять свое поведение или состояние (приспосабливаться) при непредвиденном изменении свойств, цели управления, сохраняя свою работоспособность, то ее называют адаптивной или приспосабливаемой системой.
Способы адаптации:
- самонастраивающаяся;
- самообучающаяся;
- самоорганизующаяся.
В самонастраивающихся системах могут изменяться параметры; в самоорганизующихся - структура, в самообучающихся- алгоритм функционирования по мере накопления опыта управления для обеспечения оптимальности поведения системы.
5. Фазовые пространства
Для изучение различного рода движений (фазовых траекторий) динамической системы целесообразно ввести пространство ее состояний.
5.1. Основные понятия и определения
Состояние системы- характеристика системы на данный момент ее функционирования, т. е картежи переменных.
Состояния бывают:
- начальное (начальное условие) Х0
- промежуточное (рабочее)
- конечное (цель управления) Xt
- допустимое
- текущее
Рабочее состояние
Фазовое пространство- абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы.
Предполагается, что это пространство снабжено естественной метрикой (выполняется правило треугольника). В этом плане фазовое пространство есть реляционная система, несущим множеством которой является множество всех состояний системы, а отношением - метрика.
где p≥1, β≥0 p,βÎD.
Если n=1,2,3 то можно говорить соответственно об одномерном, двумерном и трехмерном пространстве состояний конечно мерной системы. Как частный случай приведенной метрики наиболее часто используется метрика с р=2 и β=1.
Пример:
Соответствующая система из n материальных точек движущихся в трехмерном пространстве полностью характеризуется значением 3*n обобщенных координат и 3*n обобщенных импульсов.
Фазовая траектория- траектория, описываемая во времени движением в фазовом пространстве (т. е. геометрическое место перемещений фазовой точки).
Y(t)=<y1(t), y2(t),…,yn(t)>
Неподвижная точка- точка фазового пространства, соответствующая состоянию покоя динамической системы. Если дифференциальное уравнение описывает процессы в какой-то динамической системе, то ее точка равновесия представляет собой решение однородной системы уравнений:
Yi(t)=ai=const (i=1..n)
fi(y1(t),…,yn(t))=0
В зависимости от количества решений однородного уравнения, заданная система может иметь разное число точек равновесия. В зависимости от поведения фазовых траекторий в окрестности точки равновесия, последние могут быть устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.
Эволюция динамической системы – задание значений фазовым координатам в начальный момент времени и эволюционного оператора, преобразующего начальное состояние в состояние в момент времени t:
Y(t=t0)=Y(0)
Тем самым в фазовом пространстве выделяются фазовая траектория, проходящая через начальную заданную точку.
Фазовый портрет- совокупность всевозможных фазовых траекторий при разных начальных условиях.
Очевидно, что различные фазовые траектории одной и той же динамической системы не пересекаются в фазовом пространстве. В противном случае, выбирая точку пересечения за начальное условие, можно получить, что из одной точки начинаются более одной фазовой траектории, что противоречит теореме Коши.
5.2. Процесс управления динамической системой.
- пара векторных функций <U(t), Y(t)>, управления и соответствующей базовой траектории.
Примечание:
Фазовый портрет системы дает возможность провести анализ поведения системы, получив следующие сведения:
- переходный процесс для заданной совокупности начальных условий;
- тип переходного процесса;
- величину перерегулирования;
- устойчивость;
- автоколебание (амплитуда и частота);
- возможные режимы работы;
- рекомендации по корректировки системы.
5.3. Примеры расчетов по методам фазовых траекторий в двумерном пространстве состояний
а) Фазовый портрет линейной системы (консервативного звена)
Производим разделение переменных:
Интегрирование первого равенства дает уравнение фазовой траектории:
Постоянную интегрирования С можно определить из начальных условий. Через каждую точку плоскости проходит только один эллипс, отвечающий определенному значению С. Эллипсы не пересекаются, но имеют один общий центр (особая точка). Вся фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга эллипсами. Т. к. известно, что исходное уравнение имеет решением незатухающие колебания с круговой частотой w, то фазовой траекторией, имеющей форму подобных эллипсов с общим центром отвечают незатухающие колебания системы.
x=dy/dt
y
б) Для системы с отрицательным статизмом, т. е. 
, фазовые траектории, описываются уравнением семейства равносторонних гипербол, отнесенных к главным осям x=dy/dx, y.
, в этом случае, точка равновесия - седло.
6. Основные языки представления моделей объектов управления в пространстве состояний.
Языковые модели ОУ
 |  |
Аналитические Топологические
 |  |  |  |
Детер - Стахасти - Опера - Векторные Скалярные
минированные ческие торные
6.1. Аналитические модели ОУ
а) Детерминированные.
Если воздействия на ОУ являются известными (детерминированными, не случайными, регулярными), то их можно представить в виде известных функций времени, а модель ОУ как детерминированную управляющую подсистему в форме Коши (векторного диф уравнения и вектора начальных условий):
y¢=f(y, u,t)
y(t0)=y0, 
- точка в n- мерном пространстве управления, 
- управляющее воздействие.
При этом пространство размерности 
и R² являются непрерывными пространствами состояний.
f - заданная векторная функция векторных предметов состояний и управления, и скалярного времени.
fÎF - множество функций, где F - класс функций, допускающих существование решения уравнений в форме Коши.
Примечание:
В практике проектирования САУ широко используется частный случай модели ОУ в следующей форме:
здесь: f(y, t)- векторная функция векторного аргумента состояния и скалярного времени
j(y, t)- матричная функция размера n*r аргументов y и t.
Если ОУ рассматривается как линейная модель, то используют ее запись в виде:
здесь А и В - матрицы коэффициентов соответственно размера n*n и n*r.
б) Стохастические (вероятностные) модели.
Для описания движения стохастического ОУ используются модели в форме Ито и Ланжевена.
· Форма Ито:
x - вектор состояний; f - вероятностная функция векторов x, u и скаляра t.
w(t)- q - мерный Винеровский случайный процесс (модель броуновского движения частиц жидкости); g(x, t)- матрица функции размера n*q.
· Форма Ланжевена:
, x(t)- q - мерный случайный процесс типа «белого шума» (т. е. присутствуют все гармоники); математически - производная q - мерного Винеровского процесса с нулевым математическим ожиданием M[x(t)]=0 и ковариационной матрицей 
d(t)
t
Примечания:
1. Уравнение, как математическая модель ОУ является записью задачи о разыскании таких элементов хÎХ, что f(x)=j(x), где f: X®Y – отображение множества X в множество Y. В том случае, когда Х и Y являются множествами функций, то в зависимости от характера отображения (оператора) языком модели могут быть диф уравнения (как обыкновенные так и в частных производных) и интегральные функции.
2. Система с дискретным временем (как детерминированная так и вероятностная) описывается разностными уравнениями.
3. система управления называется детерминированной, если процессы в ней взаимосвязаны так, что можно проследить цепь причин и следствий. В таких системах каждому значению входного воздействия на ее любой элемент отвечают вполне определенные значения выходных координат системы.
4. В установившемся процессе (т. е. в статике, статическом режиме) детерминированная СУ описывается алгебраическими уравнениями.
6.2. Примеры аналитических моделей физических детерминированных линейных стационарных систем:
А.) Транзисторный усилитель со сложной коррекцией.
В квазилинейном режиме на низких частотах усилитель можно описать системой уравнений переменных состояний:
= 
* 
+ 
* U(t)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
