Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 4 )

Как показывает анализ, имеем дело с системой нелинейных алгебраических уравнений, которая может быть решена численным градиентным методом поиска экстремума целевой функции. Чтобы его применить, обозначим переменные следующим образом:

Составим целевую функцию в виде:

Минимизация целевой функции позволила получить следующий результат:

Если результат округлить с точностью до 0.003, получим:

Проверка ручного счета с помощью пакета программ matcad, позволила получить те же результаты:

Поставим полученную матрицу в формулу (10.4), будем иметь:

Подставим последнюю формулу в (10.3), получим:

Таким образом, оптимальное управление будет обеспечиваться согласно полученному закону. Отметим, что для проверки ручного счета было сделано обращение к пакету стандартных математических программ matcad, что удобно в проектировании, но неудобно в процессе выработки оптимального управления в режиме реального времени.

Задача 10.3. Система управления положением.

Движение антенны может быть описано дифференциальным уравнением:

(10.21)

Здесь J – момент инерции всех вращающихся элементов конструкции, включая антенну; В – коэффициент вязкого трения; τ(t ) – момент, развиваемый двигателем. Предполагается, что момент, развиваемый двигателем, пропорционален входному напряжению μ(t) , т. е.

τ(t) = k*μ(t) .

Определим переменные состояния:

Запишем дифференциальное уравнение состояния в виде:

или

(10.22)

где

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.23)

Определить оптимальное управление U(t) и устойчивость замкнутой системы.

Решение. В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем:

(10.24)

Подставляя (10.24) в (10.5), получим:

(10.25)

Пусть Рij, (i, j =1,2) обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая

Р12 = Р21, получим из (10.25) следующее выражение:

(10.26)

Из (10.26) получим следующие алгебраические уравнения:

(10.27)

Уравнения получены с учетом того, что матрица будет равна 0, если каждый элемент матрица будет равен нулю. Здесь были найдены все элементы матрицы 2*2, и каждый ее член был приравнен к 0. Четвертое уравнение окаалось выражденным случаем с нулевой правой частью. При этом было использовано правило произведения матриц:

Из (10.27) определим Р11, Р12, Р22. Будем иметь:

(10.28)

(10.29)

(10.30)

Определим матрицу F из соотношения (10.4). Получим:

(10.31)

Соотношение (10.31) с учетом (10.28) и (10.29) примет вид

Таким образом

μ(t) = − F ⋅ x(t

Подставим (10.31), (10.32) в (10.22). Получим:

или

(10.33)

Таким образом, оптимальная замкнутая система описывается уравнением

(10.33). Введем обозначение

(10.34)

Определим характеристический полином замкнутой системы. Получим:

Характеристическое уравнение имеет вид:

(10.35)

Определим корни характеристического уравнения. Будем иметь:

(10.36)

или

(10.37)

Следовательно, оптимальная замкнутая система устойчива.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.4. Рассмотрим спутник, который вращается относительно

своей оси симметрии. Угловое положение спутника в момент t обозначим

через ϕ(t) , а постоянный момент инерции спутника – через J. С помощью

газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент μ(t) ,

который рассматривается как управляющее воздействие системы. Трение

отсутствует. Определяя переменные состояния:

запишем дифференциальное уравнение состояния в виде:

(10.38)

где

X(t) = [X1 (t) X2 (t)], β = 1 \ J.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.39)

Определить оптимальный закон управления:

μ(t) = − F ⋅ x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.5. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.40)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.41)

Параметры α0, α1, ρ, b имеют значения:

α0 = 2; α1 = 1; ρ = 0,002; b = 0,787.

Определить оптимальный закон управления:

u (t) = − F ⋅ x(t)

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.6. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.41)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.42)

Определить оптимальный закон управления

u (t ) = − F ⋅ x(t )

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.7. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.43)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T.

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.44)

Определить оптимальный закон управления:

u (t ) = − F ⋅ x(t )

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

Задача 10.8. Система описывается дифференциальным уравнением

состояния вида:

(10.45)

где

x(t) = [x1 (t) x 2 (t)]T

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.46)

Определить оптимальный закон управления:

u (t ) = − F ⋅ x(t )

и проверить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.

11. Стохастическое линейное оптимальное регулирование

Теоретические сведения

Рассмотрим систему:

(11.1)

где x0 – стохастический вектор со средним значением

и матрицей дисперсий Q0 . Наблюдаемая переменная описывается выражением:

y (t) = Cx(t) + w2 (t), t ≥ t

Совместный случайный процесс w(t) = [w1 (t) w2 (t)]T является белым шу -

мом с интенсивностью:

(11.3)

Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения такого функционала:

u (t) = f [y (τ), t 0 ≤ τ ≤ t ], t 0 ≤ t ≤ t1 , (11.4)

при котором критерий:

(11.5)

достигает минимума. Здесь R1, R2 – симметрические весовые матрицы, такие, что R1 > 0, R2 > 0, t0 ≤ t ≤ t1.

Запишем решение задачи стохастического линейного регулирования

с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной

имеем:

(11.6)

где

(11.7)

Здесь P – решение уравнения Риккати:

(11.8)

Оценка x(t) получается как решение уравнения:

(11.9)

где

(11.10)

Матрица дисперсий Q является решением уравнения Риккати:

(11.11)

Решение типовых задач

Задача 11.1. Система управления положением описывается диффе-

ренциальным уравнением вида:

(11.12)

где Х (t) = [Х1 (t) Х2 (t)]Т; τ d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-

ся выражением:

(11.13)

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

(11.14)

определить u(t), K0.

Решение. В обозначениях (11.1) – (11.11) имеем

(11.15)

Подставляя (11.15) в (11.8), получим:

(11.16)

Пусть Рij, (i, j = 1,2) обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая Р12 = Р21, получим из (11.16)

(11.17)

Сложим элементы матриц друг с другом, соблюдая порядок равенства индексов элементов матриц. Составим уравнения на основе приравнивания к нулю элементов матрицы, получим следующие алгебраические уравнения:

(11.18)

Из (11.18) определим Р11, Р12, Р22. Будем иметь

(11.19)

(11.20)

(11.21)

Определим матрицу F0 из соотношения (11.7). Получим:

(11.22)

Соотношение (11.22) с учетом (11.19), (11.20) примет вид:

(11.23)

Таким образом:

(11.24)

Используя (11.11), определим Q. Пусть qij, (i, j = 1,2) обозначают элементы

матрицы Q. Тогда, учитывая q12 = q21, получим из (11.11) следующее уравнение:

или

(11.25)

Из (11.25) получим следующие алгебраические уравнения:

(11.26)

Из (11.26) определим q11, q12, q22. Получим:

(11.27)

(11.28)

(11.29)

где

(11.30)

Определим матрицу K0 из (11.10). Будем иметь:

(11.31)

Соотношение (11.31) с учетом (11.27), (11.28) примет вид:

(11.32)

Из (11.9) имеем:

(11.33)

Определим матрицу D вида:

D = A – K0C – BF0. (11.34)

Будем иметь:

Примем следующие численные значения параметров:

χ = 0,787 рад /В ⋅ с 2 ,

α = 4,6 с −1 ,

ρ = 0,00002 рад 2/ В 2 ,

γ = 0,1 кг −1 ⋅ м −2 ,

Vd = 10 Н 2 ⋅ м 2 ⋅ с,

Vm = 10 −7 рад 2 /с.

Имеем:

k11 = 40,36; k 22 = 814,34; P12 = 0,00568; P22 = 0,00047.

Характеристический полином матрицы D можно найти в виде

Характеристическое уравнение имеет вид:

S 2 + 59.5S + 1763.3 = 0 .

Найдем корни характеристического уравнения. Получим:

S1, 2 = −29,75 ± i59,27 .

Таким образом, система, описываемая уравнением (11.33), устойчива.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 11.2. Система описывается дифференциальным уравнением

вида:

где Х (t) = [Х1 (t) Х2 (t)]Т ; τ d (t ) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-

ся выражением:

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

Параметры имеют следующие значения:

β = 0.787; ρ = 0.002; γ = 0.1; Vd = 10; Vm = 10 −4 .

Определить матрицы F0, K0, проверить на устойчивость систему:

Задача 11.3. Система описывается дифференциальным уравнением

вида:

где Х (t) = [Х1 (t) Х2 (t)]Т; τ d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-

ся выражением:

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

Параметры имеют следующие значения:

β = 0.787; ρ = 0.002; γ = 0.1; Vd = 10; Vm = 10 −4 .

Определить матрицы F0, K0, проверить на устойчивость систему:

Задача 11.4. Система описывается дифференциальным уравнением

вида:

где Х (t) = [Х1 (t) Х2 (t)]Т; τ d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Предположим, что наблюдаемая переменная определяет-

ся выражением:

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

Параметры имеют следующие значения:

Определить матрицы F0, K0, проверить на устойчивость систему:

Задача 11.5. Система описывается дифференциальным уравнением

вида:

где τ d (t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vd. Наблюдаемая переменная определяется выражением:

где νm(t) – белый шум с постоянной скалярной интенсивностью Vm.

Критерий оптимальности имеет вид:

Параметры имеют следующие значения:

Определить матрицы F0, K0, проверить на устойчивость систему:

Литература

1. , Липатов указания к

практическим занятиям по курсу «Теоретические основы

автоматизированного управления». Пермь: Перм. гос. техн. ун-т. ,

2006. – 83с.

2. Прохорова оптимизация многомерных САУ на

основе модификации метода корневого годографа. Монография. М.:

РГСУ, 2010, - 84с.

3. , , Носов теория

конструирования систем управления. М.: Высшая школа, с. 388-393.