Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 1 )

Самарский государственный архитектурно – строительный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ В ЗАДАЧАХ. ПРАКТИКУМ.

Специализированное учебно-методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов

Автор ПРОХОРОВА О. В.

Приводятся методические указания к 11 семнарским занятиям по курсу Моделирование систем. Каждое занятие включает в себя краткие теоретические сведения, иллюстрируемые решением типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения. Методические указания предназначены для студентов специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Москва 2012 г.

Оглавление

1. Определение математических характеристик случайных функций. 3

2. Определение вероятностных характеристик интеграла от случайного процесса. 9

3. Определение вероятностных характеристик производной от случайного процесса. 13

4. Определение спектральной плотности по корреляционной функции. 18

5. Определение дисперсии случайного процесса на выходе динамической системы.. 23

6. Формирующие фильтры.. 31

7. Цепи Маркова. 37

8. Определение матрицы М среднего времени перехода. 47

9. Каноническое разложение случайного процесса. 55

10. Задача детерминированного линейного оптимального управления. 59

11. Стохастическое линейное оптимальное регулирование. 82

Литература. 95

1. Определение математических характеристик случайных функций

Теоретические сведения

Пусть – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые слу-

чайные функции. Математическое ожидание (среднее значение) функции Y(x) от дискретной или непрерывной случайной величины х есть

- плотность распределения вероятностей величины х:

X – значение случайной величины х.

Свойства математического ожидания:

1) M [ϕ(t)] = ϕ(t).

2) M [ϕ(t) ⋅ X (t)] = ϕ(t) ⋅ m x (t).

3) M [X (t) + Y (t)] = m x (t) + m y (t).

4) M [X (t) ⋅ Y (t)] = m x (t) ⋅ m y (t ).

Пусть ϕ(t) – неслучайная функция, X (t) , Y (t) – независимые слу-

чайные функции, тогда дисперсия случайно величины X (t):

Свойства дисперсии:

1) D[ϕ(t)] = 0.

2) D[ϕ(t) ⋅ X (t)] = ϕ (t) ⋅ Dx (t).

3) D[X (t) + Y (t)] = D x (t) + D y (t).

4) D[X (t)] ≥ 0.

Пусть ϕ(t) – неслучайная функция, X (t) – случайная функция.

Корреляционной функцией называется математическое ожидание

произведения значений случайной функции X (t) для двух моментов вре-

мени t1 ,t 2.

Свойства корреляционной функции:

1.  K x (t1 , t 2) = K x (t 2 , t1 ).

Для стационарных процессов K x (τ) = K x (−τ), где τ = t1 − t 2 .

2.  K x (t, t) = Dx (t).

3.  Пусть Y (t) = ϕ(t) ⋅ X (t), тогда K y (t1 , t 2) = ϕ(t1) ⋅ ϕ(t 2) ⋅ K x (t1 , t 2).

4.  Пусть Y (t) = ϕ(t) + X (t), тогда K y (t1 , t 2) = K x (t1 , t 2).

5. Пусть Z (t) = X (t) + Y (t), тогда

K z (t1 , t 2) = K x (t1 , t 2) + K y (t1 , t 2) + K xy (t1 , t 2) + K yx (t1 , t 2).

6. Пусть Z (t) = a (t) *X (t) + b(t) *Y (t), где a (t), b(t) – неслучайные:

K z (t1 , t 2) = a (t1) * a(t 2 ) * K x (t1 , t 2) + b(t1 ) * b(t 2 ) * K y (t1 , t 2 ) +

+ a(t1) * b(t 2) * K xy (t1 , t 2 ) + b(t1 ) * a(t 2 ) * K yx (t1 , t 2 ).

Решение типовых задач

Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения

двух функций sin (t) ⋅ exp( α⋅t), где α = const.

Решение. Используем первое свойство математического ожидания,

так как обе функции неслучайные ⇒ M [sin(t) ⋅ exp(αt)] = sin t ⋅ exp( αt) .

Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-

ражения cos(α ⋅ t) ⋅ e(β⋅t)+ sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t), где α, β = const.

Решение. Сначала используем третье свойство математического

ожидания:

M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t) + sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)] =

= M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp (β⋅t)] + M [sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)].

Затем применим первое свойство математического ожидания:

M [cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t)] + M [sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t)] =

= cos(α ⋅ t) ⋅ exp(β⋅t) + sin(α ⋅ t) ⋅ cos(β ⋅ t).

Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:

cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1, где β = const.

Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четыре

слагаемых данного выражения есть неслучайные функции:

D [cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1] = 0.

Задача 1.4. Определить корреляционную функцию , где

.

Решение. Используем шестое и четвертое свойства корреля-

ционной функции:

Задача 1.5. Определить корреляционную функцию , где

,X (t), Y (t ) – независимые.

Решение. Используем четвертое свойство корреляционной функции:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.6. Определить математическое ожидание произведения

Задача 1.7. Определить математическое ожидание выражения:

Задача 1.8. Определить математическое ожидание выражения:

exp( αt) ⋅ cos(β t ) ⋅ X (t ), где α, β = const.

Задача 1.9. Определить дисперсию следующего выражения:

exp( α⋅t) cos(β t ), где α, β = const.

Задача 1.10. Определить дисперсию следующего выражения:

exp(α⋅t) cos(β ⋅ t ) X (t ), где α, β = const.

Задача 1.11. Определить дисперсию следующего выражения:

(exp(α⋅t) + cos(β ⋅ t ) + t *t + 1) X (t ), где α, β = const.

Задача 1.12. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

Задача 1.13. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) , где

Задача 1.14. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) , где

z (t ) = sin(α ⋅ t ) cos(β ⋅ t ) X (t ) + e α⋅t + e β⋅t.

Задача 1.15. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = sin(α ⋅ t) cos(β ⋅ t) X (t) + exp(α⋅t) + exp(β⋅t) + t + 1.

Задача 1.16. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2) .

z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) + cos( w ⋅ t )Y (t ).

Задача 1.17. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = a ⋅ X (t) + b ⋅ Y (t), X, Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .

Задача 1.18. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2), где

z (t) = a ⋅ X (t) − b ⋅ Y (t), X, Y – стационарные процессы, τ = t1 − t 2 .

2. Определение вероятностных характеристик интеграла от случайного процесса

Теоретические сведения

Пусть

где X (t), Y (t) – случайные процессы. Тогда математическое ожидание my(t) определяется по формуле:

(2.1)

Корреляционная функция этого процесса:

(2.2)

Дисперсия случайного процесса Y (t):

(2.3)

Решение типовых задач

Задача 2.1. Случайный процесс задан следующим выражением:

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса.

Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-

ся выражением (2.1) и вторым свойством математического ожидания:

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением (2.2) и четвертым свойством корреляционной функции:

Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:

Задача 2.2. Пусть случайный процесс задан следующим выражением

Требуется опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса, если заданы:

Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-

ся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожи-

дания:

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением

(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:

Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемсявыражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.3. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию.

Задача 2.4. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию, если известны:

Задача 2.5. Случайный процесс X (t) имеет характеристики

Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса Y (t)

3. Определение вероятностных характеристик производной от случайного процесса

Теоретические сведения

Пусть

где X (t),Y (t) – случайные процессы. Тогда математическое ожидание данного случайного процесса Y (t) определяется по формуле:

(3.1)

Корреляционная функция данного случайного процесса Y (t):

(3.2)

Если τ = t1 − t 2 , то корреляционная функция:

(3.3)

Решение типовых задач

Задача 3.1. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию.

Решение. Используя свойства математического ожидания и выраже-

ние (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:

Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), опреде-

лим корреляционную функцию:

Задача 3.2. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция определена:

Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса Y(t).

Решение. Для τ < 0 корреляционная функция имеет вид:

Для τ ≥ 0 корреляционная функция имеет вид:

Для любого τ корреляционная функция имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.3. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию, если известно, что

Задача 3.4. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция процесса X(t) определена следующим образом:

Определить корреляционную функцию случайного процесса Y (t).

Задача 3.5. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция процесса X(t) определена следующим образом:

Определить корреляционную функцию случайного процесса Y (t).

4. Определение спектральной плотности по корреляционной функции

Теоретические сведения

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

(4.1)

Интересным является распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия процесса вычисляется по формуле:

(4.2)

Функция характеризует распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле случайному процессу x(t), реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

(4.3)

или

где через ω переобозначена частота f. ω - характерное обозначение частоты в теории автоматического управления.

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной Sx(f) определяет Кx(τ):

(4.4)

или

Здесь приняты следующие обозначения: - двусторонняя спектральная плотность случайного процесса X (t) , – корреляционная функция случайного процесса X (t), .

Если полагать в формулах (4.3) и (4.4) соответственно f = 0 и τ = 0, получим

(4.5)

(4.6)

Формула (4.6) с учетом (4.2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади по всей кривой спектральной плотности. Размерную величину Sx(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − df / 2 до f + df / 2. Под x(t) может пониматься случайный ток или напряжение. Поэтому Sx(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину Sx(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

.

(4.7)

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

.

(4.8)

Чем «шире» спектр Sx(f) тем «уже» корреляционная функция kx(τ), и наоборот.

Решение типовых задач

Задача 4.1. Корреляционная функция случайного процесса X (t) имеет вид:

Определить спектральную плотность случайного процесса X(t).

Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):

Исходя из условий задачи, представим этот интеграл в виде суммы двух

интегралов:

Вычислим

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.2. Корреляционная функция задана в виде

Построить график , определить спектральную плотность .

Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде

Определить спектральную плотность .

Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде

Найти спектральную плотность .

5. Определение дисперсии случайного процесса на выходе динамической системы

Теоретические сведения

Рассмотрим схему на рис.5.1.

X(t) Y(t)

Рис. 5.1

Здесь – передаточная функция динамической системы; –

спектральная плотность случайного процесса X (t); – дисперсия слу-

чайного процесса Y (t).

Дисперсия на выходе системы определяется по формуле:

.

(5.1)

где – спектральная плотность процесса Y (t) . определяется по

формуле:

.

(5.2)

Чтобы вычислить интеграл (5.1), необходимо привести его к виду стандартного интеграла:

.

(5.3)

где

.

(5.4)

Интеграл при n = 1,2,3 определяется соотношениями:

.

(5.5)

.

(5.6)

.

(5.7)

Математическое ожидание случайного процесса Y (t) вычисляется через

математическое ожидание случайного процесса X (t) и передаточную

функцию W (0):

.

(5.8)

Решение типовых задач