Эффективность системы (стр. 2 )

Обычно в качестве условных показателей эффективности используют нормированные показатели. Нормирование осуществляется показателем эффективности «главного» состояния, в котором все элементы системы исправлены. В этом случае показатель эффективности

(1.26)

где: .

При оценке эффективности вычислительных систем необходимо принимать во внимание, что с точки зрения пользователя работа ТКС может быть представлена как решение одного или нескольких потоков задач. Это характерно для режимов реального времени, разделения времени, пакетной обработки и др. В этих условиях наиболее естественным показателем качества функционирования ТКС является достоверность.

Под достоверностью ТКС обычно понимают количественную меру правильности выходных данных. При этом достоверность функционирования ТКС зависит не только от надежности аппаратурной части ТКС, но и от алгоритма обработки информационным процессом. Достоверность зависит также от характеристик входящего потока задач, их важности, допустимого времени решения. Если ТКС обрабатывает один поток задач, то достоверность ТКС обычно определяется как вероятность получения правильного результата, численно равная отношению количества правильно решенных задач за достаточно большой интервал времени [2].

При параллельной обработке нескольких потоков задач необходимо ввести обобщенный критерий достоверности, в качестве которого наиболее часто используют среднюю достоверность , численно равную взвешенной сумме достоверности решения задач всех потоков:

(1.27)

где весовой коэффициент, отражающий значимость задач го потока (весовые коэффициенты должны удовлетворять условию нормировки ); достоверность решения задач го потока.

Рассмотрим наиболее подробно описанные характеристики для восстанавливаемых (ВН) и невосстанавливаемых (НВН) изделий.

1.3.  Критерии и показатели надежности для невосстанавливаемых изделий

Вероятностные характеристики наработки являются показателями безотказности НВО. Их особенность состоит в том, что они определяются по результатам наблюдения за некоторым множеством экземпляров однотипных изделий, но используются в качестве показателей надежности каждого конкретного изделия. Поэтому в дальнейшем кроме вероятностного приводится и статистическое определение, которое можно использовать как один из способов статистической оценки искомой вероятностной характеристики.

Вероятность безотказной работы . Как отмечалось ранее

(1.28)

По статистическим данным об отказах вероятность безотказной работы определяют по формуле:

(1.29)

где число изделий в начале наблюдения; число отказавших за время изделий. В начальный момент времени , если при включении отказы невозможны, и , если при включении изделие может отказать. При увеличении времени вероятность монотонно уменьшается и для любых технических изделий асимптотически приближается к нулю.

Вероятность отказа есть вероятность того, что при заданных условиях эксплуатации в течение заданной наработки произойдет хотя бы один отказ, то есть

(1.30)

очевидно, что

(1.31)

Из (1.29) и (1.31) следует, что

(1.32)

Согласно (1.30) функцию можно трактовать как функцию распределения случайной величины .

Дифференциал функции называется элементом вероятности и представляет собой вероятность того, что отказ произойдет в бесконечно малой окрестности точки :

(1.33)

Частота отказов есть плотность распределения времени безотказной работы (наработки) изделий до первого отказа. Согласно вероятностному определению

(1.34)

При наблюдении за работой изделий можно определить частоту отказов как отношение числа отказавших за единицу времени изделий к общему числу изделий при условии, что отказавшие изделия не восстанавливаются:

где число отказавших изделий в интервале .

Интенсивность отказов . Согласно вероятностному определению

(1.35)

По статистическому определению, интенсивность отказов есть отношение числа отказавших в единицу времени изделий к среднему числу работоспособных на рассматриваемом отрезке времени изделий:

где .

Поскольку существует однозначная связь между функциями , достаточно задать лишь одну из них, чтобы по формулам связи найти все остальные, то есть в смысле полноты сведений о надежности изделия эти функции эквивалентны. Они определяются по статистическим данным о количестве отказов невосстанавливаемых изделий.

Если же до начала интересующего нас интервала времени изделие уже проработало в течение времени , то для оценки надежности необходимо вводить условные показатели при условии, что изделие уже некоторое время проработало безотказно. Рассмотрим ряд параметров, считая, что одна из функций известна.

Вероятность безотказной работы . Вероятность безотказной работы в интервале определяется как вероятность того, что отказа не будет в интервале при условии, что его не было в течение времени :

(1.36)

Прочие показатели надежности определяются по формулам

(1.37)

Средняя наработка до первого отказа есть математическое ожидание наработки до первого отказа . Используя определение элемента вероятности (1.33), можно записать:

(1.38)

Если функция дифференцируема при всех , то из (1.38) и (1.34) получим:

Заменяя в (1.38) на , интегрируя по частям и учитывая свойства функции , имеем

(1.39)

Отсюда следует, что средняя наработка до первого отказа равна площади под кривой на всей полуоси .

По результатам наблюдения за работой до отказа всех изделий можно составить следующую статистическую оценку средней наработки до первого отказа

где наработка до отказа го изделия.

Средняя остаточная наработка до отказа есть математическое ожидание случайной величины при условии, что . Используя функции (1.36) и (1.10), составим выражение для средней остаточной наработки до первого отказа:

(1.40)

При функции (1.36), (1.37) и (1.40) совпадают с (1.28), (1.31), (1.34), (1.35) и (1.38).

Показатели долговечности. При определении показателей долговечности вводятся следующие случайные величины: ресурс суммарная наработка изделия от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние, установленное в технической документации; срок службы календарная продолжительность службы изделия от начала его эксплуатации до перехода в предельное состояние. Различают средний, гамма–процентный и назначенный ресурсы (срок службы). Средний и гамма–процентный ресурсы (срок службы) – это соответственно математическое ожидание случайной величины и квантиль по уровню вероятности , выраженному в процентах. Назначенный ресурс (срок службы) – это суммарная наработка (календарная продолжительность), по достижении которой эксплуатация изделия прекращается независимо от его технического состояния. Остаточный ресурс (срок ) – это суммарная наработка от момента контроля технического состояния до перехода в предельное состояние. Аналогично вводится понятие остаточного срока хранения . Для случайных величин используются такие же характеристики. Показатели сохраняемости. Для оценки сохраняемости рассматривают характеристики случайной величины – срока сохраняемости, определяемой как продолжительность хранения и/или транспортирования изделия, характеризующих способность изделия выполнять заданные функции. В качестве показателя сохраняемости используют средний и гамма–процентный сроки сохраняемости.

1.4.  Критерии и показатели надежности для восстанавливаемых изделий

Эксплуатация данных изделий продолжается до тех пор, пока они не выработают ресурс или их эксплуатация становится нецелесообразной. Очевидно, что для подобных изделий необходимо знать параметры процесса функционирования после первого отказа. С этой целью в теории надежности изучаются характеристики следующих случайных величин наработки между отказами , времени восстановления после го отказа наработки до отказа , полного времени до го восстановления отказов до получения наработки , числа моментов восстановления за время , суммарной наработки в интервале , суммарного времени восстановления в интервале длительностью .

Характеристики этих случайных величин как раз и являются показателями надежности восстанавливаемых изделий. При формулировке определений будем использовать следующие обозначения: распределение наработки до го первого отказа, распределение времени до го восстановления, вероятность возникновения отказов до получения наработки , вероятность возникновения моментов восстановления за время . Рассмотрим теперь показатели надежности.

Показатели ремонтопригодности. К ним относится вероятность восстановления за время , вероятность того, что восстановление не закончится за время ; плотность распределения времени восстановления ; интенсивность восстановления ; среднее время восстановления соответствует формулам:

где число отказов, длительность го восстановления.

Среднее число отказов до наработки есть математическое ожидание случайной величины . Используя введенные ранее обозначения, можем записать

учитывая, что события и эквивалентны, получаем соотношение

Из (1.38) имеем

Из (1.39) следует, что дифференциал функции есть вероятность того, что в бесконечно малой окрестности точки произойдет отказ изделия, причем необязательно впервые. Статистическую оценку среднего числа отказов получают следующим образом. Пусть в начальный момент времени поставлено на эксплуатацию изделий. После отказа изделие ремонтируется или заменяется новым. Так происходит до тех пор, пока на каждом рабочем месте не будет достигнута наработка . Если суммарное число отказов всех изделий равно , то среднее число отказов

(1.40)

По форме правая часть (1.40) совпадает с (1.29). Однако и совершенно различные функции, так как в (1.29) рассматриваются невосстанавливаемые изделия, а в (1.40) – восстанавливаемые. В первом случае число работоспособных изделий уменьшается со временем, а во втором случае оно неизменно и равно . Поэтому при прочих равных условиях в (1.40) обычно больше, чем в (1.29), за счет повторных отказов изделий.

Среднее число моментов восстановления на интервале времени есть математическое ожидание случайной величины . Согласно определению:

(1.41)

Дифференциал функции есть вероятность того, что в бесконечно малой окрестности точки работоспособность изделия восстанавливается, причем необязательно впервые.

Параметр (интенсивность) потока отказов . Согласно вероятностному определению,

(1.42)

Если учесть формулу (1.39), то можно записать

(1.43)

где плотность распределения наработки до го отказа. Согласно статистическому определению, параметр потока отказов есть среднее число отказов восстанавливаемого изделия в единицу времени. Определяется этот параметр по формуле:

(1.44)

где: число отказов до наработки .

Параметр потока восстановлений есть среднее число моментов восстановления в единицу времени. Формулы для получают из (1.44) после замены в них числа отказов на число моментов восстановления. Так из (1.42) – (1.44) имеем

Средняя наработка на отказ . Согласно вероятностному определению, для периода от наработки до наработки средняя наработку на отказ по статистическим данным:

В частности, при имеем

Стационарное значение средней наработки на отказ

(1.45)

Если наблюдение за изделием проводится не до наработки , а в течение времени , то статистическая оценка средней наработки на отказ получается из выражения

где число отказов за время ; наработка от момента последнего восстановления до момента .

Показатели надежности являются комплексными, так как зависят от показателей безотказности и ремонтопригодности. Остальные показатели – единичные. Рассмотрим теперь другие комплексные показатели надежности восстанавливаемых изделий.

Нестационарный коэффициент готовности есть вероятность того, что изделие окажется в работоспособном состоянии в момент времени в периоде применения по назначению. Используя статистические данные, можно оценить нестационарный коэффициент готовности с помощью соотношения

(1.46)

где число работоспособных в момент времени изделий из общего числа изделий .

Коэффициент готовности (стационарный коэффициент готовности) . Если проанализировать зависимость нестационарного коэффициента готовности от времени, то можно заметить, что он изменится от 1 при до некоторого постоянного значения, называемого стационарным коэффициентом готовности, или просто коэффициентом готовности. Поскольку коэффициент готовности не зависит от времени, то его определяют как вероятность того, что изделие окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, за исключением планируемых периодов, в течение которых применение изделия по назначению не предусматривается. Стационарный период эксплуатации, когда становится достаточно близким к своему предельному значению , наступает по истечении некоторого промежутка времени, называемого переходным периодом. Строго математически переходной период длится бесконечно долго, так как функция приближается к только асимптотически, а поэтому

(1.47)

Из (1.46) и (1.47) следует, что для коэффициента готовности может быть использована статистическая оценка

где число работоспособных изделий из общего количества в произвольный момент времени стационарного периода эксплуатации.

В режиме МКЦП коэффициент готовности имеет также следующую трактовку – это вероятность успешного выполнения одного цикла работ очень малой длительности по заявке, поступающей в момент или в произвольный момент времени. Если заявка может появиться в случайный момент переходного периода , то используют среднее значение коэффициента готовности

Статистическую оценку этой характеристики находят по формуле:

где

и суммарная наработка и суммарное время восстановления го изделия в интервале ; число испытываемых изделий; суммарное число отказов за время . Очевидно, что при монотонно убывающей функции среднее значение коэффициента готовности . Кроме того, выполняется соотношение

(1.48)

где: средняя наработка на отказ; среднее время восстановления.

Для оценки надежности изделий, работающих в режиме МКЦП с длительностью одного цикла , используют комплексный показатель – коэффициент оперативной готовности в двух вариантах.

Нестационарный коэффициент оперативной готовности есть вероятность того, что изделие окажется в работоспособном состоянии и будет работать безотказно еще в течение заданного интервала времени (заданной наработки) . С увеличением зависимость от момента времени поступления заявки на выполнение работ уменьшается и функция асимптотически приближается к величине , называемой стационарным коэффициентом оперативной готовности, или просто коэффициентом оперативной готовности

Коэффициент оперативной готовности есть вероятность того, что изделие окажется работоспособным в произвольный момент времени, и начиная с этого момента будет работоспособным еще и в течение заданного времени (заданной наработки). Связь между показателями надежности выражается формулами:

; (1.49)

Вероятность отличается от вероятности безотказной работы , определенной формулой (1.25), так как до получения информации изделие некоторое время было работоспособным. Поэтому

где остаточное время безотказной работы.

Следующие два показателя надежности используют тогда, когда в изделии могут возникать скрытые отказы, то есть когда система контроля и диагностирования (СКД) не идеальна и не обеспечивает мгновенное и достоверное обнаружение отказов.

Коэффициент контролируемой готовности есть вероятность того, что, согласно показаниям СКД, изделие работоспособно в произвольный момент времени периода применения по назначению. С помощью средних значений интервалов можно найти по формуле:

где: средняя наработка на отказ; среднее время восстановления; среднее время пребывания в состоянии скрытого отказа. При тех же условиях коэффициент готовности

Отсюда следует, что .

Вероятность безотказного применения есть вероятность того, что до наработки скрытый отказ не проявится при условии, что его не было в начальный момент времени. Из определения следует формула связи

(1.50)

Сравнивая (1.50) и (1.49), получим:

(1.51)

Очевидно, что . Равенство имеет место только при . Для изделий, допускающих в процессе эксплуатации плановое техническое обслуживание, вводится еще один показатель – коэффициент технического использования.