Эффективность системы (стр. 3 )

Коэффициент технического использования есть отношение математического ожидания суммарного времени пребывания изделия в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к математическому ожиданию суммарного времени пребывания изделия в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период

Статистической оценкой при наблюдении за изделиями являются отношения:

где суммарные значения фактической наработки, времени восстановления и времени технического обслуживания го экземпляра изделия.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.  Дайте определения возможным функциональным состояниям сложной системы.

2.  Приведите определение надежности как комплексной характеристики.

3.  Перечислите единичные свойства надежности.

4.  Выведите выражение для основного уравнения надежности.

5.  Назовите комплексные показатели надежности. В чем их взаимосвязь с единичными показателями надежности?

6.  Наработка до отказа невосстанавливаемой ТКС подчиняется нормальному закону с параметрами .

Рассчитайте функции и для десяти значений наработки в пределах 0…20 тыс. часов и двух значений , тыс. часов, если тыс. часов.

7.  Среднее время восстановления подчиняется показательному закону распределения вероятностей с параметром интенсивности восстановления . Найдите функцию вероятности восстановления.

8.  Случайный индивидуальный ресурс подчиняется показательному закону распределения вероятностей с параметрами . Рассчитайте функцию вероятности недостижения предельного состояния в пределах до 100 тыс. часов. Далее рассчитайте средний ресурс, гамма – процентный ресурс и назначенный ресурс, если , .

9.  В специализированную лабораторию поступают в среднем 5 заявок на восстановление средства ЗИ за 6 часов. Найдите вероятность того, что на восстановление поступят не более двух заявок за 30 минут.

10.  При функционировании ТКС в случайные моменты возникают неисправности. Плотность распределения времени безотказной работы равна . При возникновении отказа он мгновенно обнаруживается и ТКС восстанавливается за время . Найти плотность и функцию промежутка времени между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что будет больше .

2.  РЕЗЕРВИРОВАНИЕ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

2.1.  Постоянное резервирование

Система последовательных элементов. Рассмотрим систему из последовательно соединенных элементов, не имеющих резерва. Пусть является вероятностью безотказной работы го элемента на интервале .

Найдем вероятность безотказной работы на интервале . Обозначив через событие, состоящее в том, что й элемент системы работает без отказа на указанном интервале времени, определим искомую вероятность безотказной работы на интервале системы последовательно соединенных элементов как вероятность пересечения событий [4]:

(2.1)

Но так как

то, применяя правило умножения для независимых событий, получаем

(2.2)

Вероятность отказа системы на интервале равна

(2.3)

где вероятность отказа на указанном интервале го элемента.

Если , то можно пользоваться приближенной формулой:

(2.4)

Из (1.10) и (2.2) следует

где интенсивность отказов го элемента системы и интенсивность отказов системы. Следовательно,

(2.5)

т. е. интенсивность отказов системы последовательно соединенных независимых элементов равна сумме интенсивностей отказов элементов.

Когда элементы системы однотипны и подчиняются одному и тому же закону распределения вероятностей безотказной работы , то из (2.2) следует:

(2.6)

Из (2.5) и (2.6) следует, что интенсивность отказов системы равна

(2.7)

где интенсивность отказов одного элемента. Конечно, формула (2.7) является частным случаем (2.5), когда .

Если задана вероятность безотказной работы последовательно соединенных элементов на интервале , то из (2.6) находим требуемую вероятность безотказной работы каждого элемента

(2.8)

Система параллельных элементов. Теперь рассмотрим систему, состоящую из параллельно соединенных элементов. Сохраним обозначения предыдущего пункта для вероятности безотказной работы го элемента системы на интервале и события, состоящего в том, что этот элемент работает безотказно на указанном интервале времени. Согласно определения параллельного соединения элементов вероятность безотказной работы системы параллельных элементов равна вероятности объединения событий [4]:

(2.9)

Обозначим через событие, противоположное , т. е. событие, состоящее в том, что й элемент отказал на интервале . Тогда

(2.10)

Если отказы элементов независимы, то, применяя правило умножения для независимых событий, получаем

и так как

то из (2.8) находим вероятность безотказной работы системы параллельных элементов на интервале

(2.11)

Вероятность отказа системы на интервале равна

(2.12)

где вероятность отказа го элемента на указанном интервале.

В частном случае, когда вероятности безотказной работы всех элементов этой системы одинаковы и равны , получим более простую формулу

(2.13)

Из этой формулы видно, что параллельное включение элементов является эффективным средством повышения надежности системы.

Можно решить обратную задачу: какова должна быть вероятность безотказной работы элемента, чтобы получить заданную вероятность безотказной работы системы параллельных элементов. Из (2.13) находим

(2.14)

Плотность вероятности момента первого отказа для системы параллельных однотипных элементов равна

отсюда следует, что интенсивность отказов системы равна

(2.15)

где интенсивность отказов одного элемента.

Раздельное резервирование системы. Предположим, что система состоит из неоднотипных элементов и рассмотрим общий случай раздельного резервирования системы (резервирования по группам). Обозначим через число элементов в й группе элементов системы. Если общее число групп равно , а основная система содержит последовательных элементов, то

(2.16)

Пусть общее число комплектов й группы элементов равно . Отказ этой группы возникает в том случае, если возникнут отказы во всех комплектах. Тогда вероятность отказа указанной группы равна (2.12)

(2.17)

где: (2.18)

и вероятность безотказной работы элемента с номером в последовательном соединении и с номером в параллельном.

Теперь нетрудно записать выражение вероятности безотказной работы системы, как произведения вероятностей безотказной работы отдельных групп. Используя (2.17), находим:

(2.19)

При имеет место общее резервирование системы, при котором система резервируется в целом. При резервирование осуществляется по элементам. Как будет показано далее, при отдельных условиях резервирование по элементам эффективнее общего резервирования. Однако по конструктивным соображениям от резервирования по элементам чаще всего приходится отказаться.

Резервирование системы однотипных элементов. Предположим, что все элементы системы однотипны, вероятность безотказной работы любого элемента системы равна и число последовательных элементов в каждой группе постоянно и равно (предполагается, что кратно Тогда вероятность безотказной работы одной цепочки в каждой группе, состоящей из последовательных элементов, будет равна . Если общее число комплектов каждой группы постоянно и равно , то для каждой из групп вероятность безотказной работы равна . Вероятность безотказной работы системы на интервале равна вероятности безотказной работы таких последовательных групп, т. е.

(2.20)

Конечно (2.20) является частным случаем (2.19) при и для всех . Кратность резервирования в этом случае целая и равна .

В частных случаях получаем:

1)  (общее резервирование)

(2.21)

2)  (резервирование по элементам)

(2.22)

Для высоконадежных элементов из (2.21) и (2.22) следует, что вероятность отказов системы равна:

при общем резервировании

при раздельном резервировании

Следовательно, отношение вероятностей отказов

постоянное и не зависит от .

Предположим, что требуемая вероятность безотказной работы резервированной системы на интервале равна . Из (2.20) находим необходимую для выполнения этого требования вероятность безотказной работы каждого элемента на указанном интервале времени:

(2.23)

При общем резервировании (

(2.24)

При резервировании по элементам

(2.25)

2.2.  Резервирование замещением

Нагруженное резервирование однотипных элементов. При резервировании замещением отказавших элементов - нагруженный и ненагруженный. Резервные элементы замещают отказавшие при помощи переключающих устройств. Пусть вероятность безотказной работы переключающего устройства, причем отказ переключателя обнаруживается только в момент отказа основного элемента. Предположим, что переключение происходит мгновенно. Рассмотрим резервирование по группам системы однотипных элементов при нагруженном режиме резервных элементов.

Вероятность безотказной работы основного комплекта одной группы элементов равна , а вероятность безотказной работы резервного комплекта этой группы с учетом переключающего устройства равна . Вероятность безотказной работы резервной системы равна

(2.26)

При общем резервировании

(2.27)

а при резервировании по элементам

(2.28)

Хотя при резервировании по элементам переключающих устройств на больше, чем при резервировании системы в целом, можно доказать, что (при использовании одинаковых переключающих устройств) при любом числе элементов основной системы резервирование по элементам всегда обеспечивает большую вероятность безотказной работы, чем общее резервирование системы, какова бы не была вероятность безотказной работы переключающего устройства.

Нагруженное резервирование неоднотипных элементов. Формулу (2.26) можно обобщить на систему, состоящую из неоднотипных элементов. Эта формула, как нетрудно доказать, имеет вид [4]:

(2.29)

где вероятность безотказной работы переключающего устройства, осуществляющего переключение на резерв й группы элементов системы.

Скользящее резервирование. Рассмотрим еще один метод резервирования при замещении в нагруженном режиме. До сих пор предполагалось, что каждый резервный элемент (или группа резервных элементов) закреплен за основным элементом (или группой основных элементов). При этом может потребоваться большое число резервных элементов. Иногда можно распорядиться более экономно, не закрепляя резервные элементы за основными, а использовать скользящее резервирование, при котором резервный элемент (или группа резервных элементов) замещает любой отказавший основной элемент (или группу основных элементов) системы.

Предположим, что система состоит из однотипных последовательно соединенных элементов и таких же резервных, каждый из которых может при помощи переключающего устройства замещать любой отказавший основной элемент системы (рис. 2.1). И основные, и резервные элементы находятся в нагруженном режиме, причем резервные элементы замещают отказавшие при помощи переключающего устройства, вероятность безотказной работы которого . Вероятность безотказной работы любого элемента равна .

 

Рис. 2.1. Система последовательно соединенных элементов

со скользящим резервированием

В этом случае система будет работоспособной до тех пор, пока из основных и резервных элементов работают безотказно не менее, чем элементов. Так как использование резервного элемента связано с безотказной работой переключающего устройства, то вероятность безотказной работы резервного элемента с учетом переключения равна . Вероятность безотказной работы системы со скользящим резервированием находим по формуле полной вероятности

(2.30)

Если ненадежность переключающего устройства можно не учитывать, т. е. если , то из (2.30) находим

(2.31)

так как

Формулу (2.31) можно переписать в виде

(2.32)

Автономные устройства с общим резервированием. Рассмотрим независимых, автономных идентичных устройств, использующих общий резерв, состоящий из устройств, каждое из которых может заменить при отказе любое из автономных устройств (рис. 2.2). Предположим, что резервные устройства находятся в нагруженном режиме и что переключающие устройства работают безотказно.

 

Рис. 2.2. Автономные устройства с общим резервированием

Представляет интерес проанализировать надежность одного (любого) из этих устройств, учитывая, что наличие или отсутствие резервного устройства при отказе зависит от того, как использовался резерв остальными устройствами. Обозначим через событие, состоящее в том, что при отказе интересующего нас устройства в момент будет в наличии резервное. Событие осуществляется в том случае, если при отказе фиксированного устройства среди остальных основных и резервных устройств отказано не более чем устройств. Тогда для замены интересующего нас отказавшего устройства найдется резервное.

Пусть вероятность безотказной работы каждого из устройств (основного и резервного) равна , Тогда

(2.33)

Вероятность безотказной работы одного (любого) устройства при рассмотренном способе резервирования равна:

(2.34)

Имея в виду, что

(2.35)

формулу (2.35) можно переписать в виде:

(2.36)

или с учетом (2.34):

(2.37)

Формула (2.37) определяет нижнюю границу вероятности безотказной работы устройства.

Дублирование в ненагруженном режиме. Рассмотрим сначала простейшую схему, состоящую из одного основного устройства и одного резервного в ненагруженном режиме. Пусть вероятности безотказной работы от момента включения до первого отказа этих устройств равны соответственно:

(2.38)

(2.39)

где и плотности вероятности моментов отказа основного и резервного устройств.

Предположим, что переключающее устройство работает безотказно и действует мгновенно. Обозначим через момент отказа основного устройства и через момент отказа резервного устройства. Вероятность безотказной работы , рассматриваемой системы на интервале , равна вероятности того, что , т. е.

(2.40)

где плотность вероятности момента отказа системы.

Определим плотность вероятности . Разобъем интервал на непересекающихся интервалов и пусть точка, принадлежащая интервалу , . Тогда вероятность того, что момент отказа системы будет находиться в интервале , будет равна в соответствии с формулой полной вероятности сумме произведений вероятности отказа основного устройства на интервале на вероятность отказа резервного устройства на интервале , т. е.

При получаем

(2.41)

Подставляя (2.41) в (2.40), находим вероятность безотказной работы системы

(2.42)

Преобразуем выражение (2.42), изменив порядок интегрирования на плоскости , находящейся выше заштрихованной линии на рис. 2.3. Если интегрировать сначала по , а затем по , то интеграл разбивается на два, соответствующих подобластям 1 и 2 на рис. 2.3.:

(2.43)

Но замена приводит второй интеграл к виду

(2.44)

где вероятность безотказной работы основного устройства.

Аналогичная замена в первом интеграле дает

(2.45)

где вероятность безотказной работы резервного устройства.

Подставляя (2.44) и (2.45) в (2.43), получаем

(2.46)

Формула (2.46) имеет простую вероятностную интерпретацию. Безотказность на интервале рассматриваемой системы обеспечивается объединением двух событий: либо основное устройство работало безотказно на указанном интервале времени, либо основное устройство отказало в какой–то момент внутри этого интервала, но резервное, включившись в этот момент, работало безотказно на оставшемся отрезке времени до момента . Полезно обратить внимание на то, что формула (2.46) по структуре аналогична формуле (1.47) для функции готовности.

 

Рис. 2.3. Пояснение к формуле (2.43)

Если учитывается ненадежность переключающего устройства и переключающее устройство может отказать только в процессе переключения с постоянной вероятностью , то в (2.46) функцию следует заменить на . В этом случае вероятность безотказной работы рассматриваемой системы будет равна:

(2.47)

Произвольное число ненагруженных устройств в ненагруженном режиме. Рассмотрим общий случай произвольного числа резервных устройств, находящихся в ненагруженном режиме. Сначала предположим, что переключающее устройство работает безотказно. Момент включения каждого устройства – случайная величина, представляющая момент отказа предыдущего устройства (пренебрегаем временем, необходимым для переключения и на вхождение элемента в нагруженный режим).

Пусть число резервных устройств . Обозначим через момент отказа го устройства, а через интервал времени между м и м отказом, интервал безотказной работы основного устройства . Ясно, что