«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ОФ ИМ СО РАН
профессор, д. ф.-м. н.
«___» ____________ 2010г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру
по специальности 05.13.18 -
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы»
(физико-математические науки)
I. Математический анализ
1. Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теоремы о неявных функциях, формула Тейлора).
3. Основные теоремы интегрального исчисления (теорема о замене переменных, теоремы о повторных интегралах, формулы Грина, Остроградского, Стокса).
II. Oсновы функционального анализа
1. Конечномерные вещественные пространства (характеризация открытых, замкнутых и компактных множеств).
2. Основные теоремы о сходимости последовательностей измеримых функций (теоремы Егорова).
3. Определение и основные свойства интеграла Лебега.
4. Основные нормированные пространства. Полнота, сепарабельность, критерий компактности, сильная и слабая сходимости.
5. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера. Ряды и интеграл Фурье.
6. Элементы теории линейных операторов. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема Хана-Банаха. Теоремы Фредгольма для вполне непрерывных операторов.
7.Линейные функционалы. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема Рисса о представлении.
8. Теоремы о неподвижной точке. Принцип Банаха, принцип Шаудера.
III. Основы теории функций комплексного переменного
1.Условия Коши-Римана. Конформные отображения, осуществляемые элемен-тарными функциями. Точки ветвления и римановы поверхности.
2. Комплексное интегрирование. Теорема Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера.
3. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки аналитической функции. Теорема единственности аналитической функции. Принцип модуля и аргумента для аналитических функций. Элементы теории вычетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.: Физматгиз. 1962, 1963.
2. , Фомин теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
3. Бицадзе теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1969.
IV. АЛГЕБРА
1. Основные понятия алгебры. Алгебраическая система. Изоморфизм. Группа. Кольцо. Поле. Поле комплексных чисел. Кольцо многочленов. Кольцо матриц. Группа подстановок.
2. Теория определителей. Основные понятия, свойства определителей.
3. Векторные пространства. Базис и ранг системы векторов. Изоморфизм любого пространства некоторому пространству строк. Преобразование координат вектора при смене базиса пространства. Фактор-пространство. Размерность суммы, пересечения, фактор-пространства.
4. Системы линейных уравнений. Теорема о ранге матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений (определение и отношение). Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений).
5. Многочлены. Делимость многочленов (алгоритмы деления с остатком, наибольший общий делитель, алгоритмы Евклида). Разложение на неприводимые множители. Корни и значения (теорема Безу, формула Тейлора, интерполяционный многочлен). Основная теорема о комплексных числах.
6. Линейные преобразования векторных пространств. Изоморфизмы с алгеброй матриц. Образ, ядро, ранг и дефект линейного преобразования. Невырожденные преобразования. Инвариантность пространства.
7. Квадратичные формы. Поведение квадратичной формы при линейной замене переменных. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции действительной квадратичной формы. Положительно определенные формы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курош высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
2. Мальцев линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
V. ГЕОМЕТРИЯ
1. Аффинные и ортонормальные системы координат. Формулы замены координат. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов.
2. Геометрические основы теории определителей . Одинаково и противоположно ориентированные реперы, ориентация пространства. Вычисление объема параллелепипеда, построенного по реперу, через координаты составляющих вектора. Геометрический смысл детерминанта матрицы Грамма. Векторное и смешанное произведение в 3-мерном ориентированном евклидовом пространстве.
3. Аффинные подпространства. Задание аффинного подпространства параметрическим уравнением и системой уравнений 1-й степени. Определение взаимного расположения, расстояний, углов по коэффициентам уравнений.
4. Аффинные и ортогональные отображения. Связь аффинных отображений с системами линейных уравнений. Существование и единственность аффинного отображения, имеющего заданные значения в заданных точках. Аффинные свойства фигур (прямолинейность, выпуклость, связность и т. п.). Инвариантные подпространства аффинных и ортогональных преобразований. Разложение аффиного отображения в произведение растяжения и ортогонального отображения.
5. Линии и поверхности 2-го порядка. Алгебраические поверхности. Пересечение алгебраической поверхности с прямой, условие касания. Линия второго порядка. Фокусы, асимптоты, оптические свойства. Строение поверхностей 2-го порядка. Алгоритмы отыскания канонического уравнения и главных осей поверхностей, заданной общим уравнением 2-й степени. Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) для определения аффинного типа поверхности 2-го порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Погорелов геометрия. М.: Наука, 1978.
2. Погорелов геометрия. М.: Наука, 1974.
VI. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и нормальной системы. Зависимость решения от начальных условий и от параметров.
2. Общая теория линейных систем. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейной однородной системы. Построение общего решения. Неоднородные линейные системы. Метод вариации произвольных постоянных. Линейное уравнение n-го порядка. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
3. Теория устойчивости. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теоремы об неустойчивости. Устойчивость по первому приближению.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петровский по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.
2. Понтрягин дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1974.
VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
1. Прямые и итерационные методы решения систем линейных уравнений с полными матрицами и матрицами специального вида. Одношаговые итерационные методы. Чебышевские одношаговые итерационные методы. Оптимальный набор чебышевских параметров и вычислительная устойчивость.
2. Методы сопряженных градиентов решения линейных систем и спектральных задач. Применение методов регуляризации, минимизации сглаживающего функционала и итерационных методов для решения вырожденных, несовместных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахвалов методы. М.: Наука, 1973.
2. , Рябенький схемы. М.: Наука, 1977.
3. Марчук вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
4. Самарский разностных схем. М.: Наука, 1977.
5. , Фаддеева методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.
VIII. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ
1. Математическая модель. Основные этапы математического моделирования. Модели оптимизации. Пакеты прикладных программ.
2. Линейное программирование. Прямая и двойственная задачи линейного программирования. Теоремы двойственности. Симплекс-метод.
3. Выпуклое программирование. Совпадение локального и глобального оптимумов в задаче выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
4. Целочисленное линейное программирование. Задача о рюкзаке. Метод отсечения, метод ветвей и границ.
5. Задачи оптимизации на графах ( задача поиска кратчайшей связывающей сети, задача о кратчайшем пути, задача коммивояжера).
ЛИТЕРАТУРА
1. , Астафьев в линейное и выпуклое программирование. М.:Наука, 1976.
2. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
3. Лотов в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, 1969.
4. Комбинаторная оптимизация. М. :Мир, 1985.
5. Введение в исследование операций. Т.1,2. М.: Мир, 1985.
6. , Гольштейн программирование. М.: Наука, 1969 .
IX. СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ
(Представляет в Комиссию руководитель аспиранта).
Колоколов
