Типовые задачи к государственному экзамену по математике с методикой преподавания (2013)

Типовые задачи к государственному экзамену по математике с методикой преподавания (2013).

Математический анализ

1.  Построить график функции и .

2.  Вычислить предел функции.

1) , 2) , 5)

3), 4) , 6)

3.  Исследовать на непрерывность, построить график функции

а) б)

4.  Найти производную функции:

а) б) .

5.  Определить углы, под которыми графики функций: , и пресекают ось абсцисс.

6.  Доказать тождество при .

7.  Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке ее пересечения с параболой .

8.  Найдите наибольшую площадь прямоугольника, две стороны которого лежат на координатных осях, а одна из вершин на параболе у=3 – х2.

9.  Вычислить неопределенный интеграл:

1) 2) 3)

10.  . Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями и .

11.  Вычислить определенный интеграл:

1) 2) ,

12.  Исследовать на сходимость ряд:

а) б) в) г)

13.  Исследовать на абсолютную или условную сходимость:

а) б)

14.  Найти область сходимости степенного ряда .

15.  Вычислить с точностью до 10-3 интеграл

Дифференциальные уравнения

1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти общее решение уравнения

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти общее решение неоднородного д. у. .

Геометрия

1. Доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин квадрата до прямой, проходящей через его центр, не зависит от выбора прямой. Найти эту сумму, если сторона квадрата равна .

2.Найти уравнения касательной плоскости и нормали поверхности, заданной в евклидовом пространстве параметрическими уравнениями

в точке М(0,3).

3. На плоскости Лобачевского доказать, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, меньше половины длины третьей стороны.

4. Найдите уравнение образа окружности при осевой симметрии, для которой точки (1,1) и (2,3) инвариантны в прямоугольной системе координат.

5. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 3. Найти расстояние от вершины А до плоскости BMN, где М и N - середины рёбер DC и D1C1 соответственно.

6. Найти объём шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью, заданной уравнением 2x + 3y + 6z – 18 = 0.

7. Найти координаты точки, симметричной точке А(0, 0, 2) относительно прямой, заданной каноническими уравнениями .

8.Составьте уравнения ортогональной проекции прямой ,

на плоскость .

Алгебра

1.  Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:

2.  Вычислить последние две цифры числа 2102.

3.  Доказать, что отображение x ® 3x является изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел.

4.  Найти , если А=

5.  Выполнить действия:

.

6.  Образует ли кольцо: K=, если операции определены как обычно.

7.  Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами.

8.  Решить сравнения: 1) 12xº16(mod 20), 2) 12xº15(mod 20).