Дифференциальное исчисление

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. Производная и дифференциал числовой функции одной переменной.

Рассмотрим функцию одной переменной . Выберем в области определения произвольную точку и зафиксируем ее. Дадим этой точке приращение и образуем новую точку – . Вычислим приращение функции

(2.1.1)

Составим отношение приращений функции к приращению аргумента . Если существует предел этого отношения при , то этот предел называется производной числовой функции одной переменной и обозначается

(2.1.2)

Применим к соотношению (2.1.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)

(2.1.3)

Умножим равенство (2.1.3) на

. (2.1.4)

В правой части формулы (2.1.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.1.4) можно переписать в виде

(2.1.5)

Главная и линейная часть формулы (2.1.5) обозначается

, (2.1.6)

и называется дифференциалом числовой функции одной переменной.

Применим формулу (2.1.6) для функции

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Формула (2.1.6) принимает симметричный вид

, (2.1.7)

и мы получаем еще одно широко используемое обозначение производной

. (2.1.8)

Иногда используют формулу

.

Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций одной переменной.

Теорема 1. Для дифференцируемости числовой функции одной переменной необходимо и достаточно, чтобы для этой функции существовала конечная производная.

Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция одной переменной непрерывна в этой точке.

2.2. Геометрический смысл производной и дифференциала числовой функции одной переменной.

Выясним, что означает производная и дифференциал функции одной переменной с точки зрения геометрии.

Из прямоугольных треугольников и находим

.

Здесь – угол наклона секущей линии. Если то и секущая линия будет стремиться занять положение касательной линии . Тогда,

. (2.2.1)

Таким образом, геометрический смысл производной функции одной переменой состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной линии к графику функции в заданной точке.

Из прямоугольного треугольника находим

. (2.2.2)

Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции одной переменной состоит в том, что он равен приращению ординаты касательной линии к графику функции в заданной точке.

Из курса физики известен физический смысл производной функции. Если есть функция пути по времени, то производная этой функции есть скорость движения рассматриваемого объекта.

2.3. Сводка правил для вычисления производной.

В школьном курсе математики рассматривались следующие формулы, ис­пользуемые при вычислении производных функции одной переменной. Все эти формулы необходимо запомнить.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. ;

13. ,

14. , .

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь функцию двух переменных . Выберем в области определения произвольную точку и зафиксируем ее. Дадим сначала первой переменной точке приращение и образуем новую точку – . Вычислим приращение функции

. (2.4.1)

Такое приращение называется частным приращением по переменной . Составим отношение приращений (2.4.1.) к приращению аргумента . Если существует предел этого отношения при , то этот предел называется частной производной числовой функции двух переменных по и обозначается

. (2.4.2)

Следует отметить, что в отличие от производной функции одной переменной, выражение не отношение дифференциалов а единый слитный символ.

Из определения частной производной по видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменная и выражения зависящие только от считаются константами.

Применим к соотношению (2.4.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)

(2.4.3)

Умножим равенство (2.4.3) на

. (2.4.4)

В правой части формулы (2.4.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.4.4) можно переписать в виде

(2.4.5)

Главная и линейная часть формулы (2.4.5) обозначается

, (2.4.6)

и называется частным дифференциалом числовой функции двух переменных по .

Дадим теперь второй переменной точке приращение и образуем еще одну новую точку – . Повторяя описанную выше процедуру, получим

, (2.4.7)

второе частное приращение функции по , вторую частную производную функции по

, (2.4.8)

и второй частный дифференциал по

, (2.4.9)

Из определения частной производной по видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменная и выражения, зависящие только от считаются константами.

Сумма двух частных дифференциалов образует полный дифференциал

(2.4.10)

Применим формулу (2.4.10) для функции

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Применение формулы (2.4.10) для функции дает

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Формула (2.4.10) принимает симметричный вид

. (2.4.11)

Помимо частных приращений функции существует еще и полное приращение функции, когда приращения получают одновременно оба аргумента

(2.4.12)

Можно показать, что полное приращение функции и полный дифференциал связаны между собой соотношением

(2.4.13)

Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций двух переменных.

Теорема 1. Если обе частные производные числовой функции двух переменных непрерывны в некоторой точке, то функция дифференцируема в этой точке.

Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция двух переменных непрерывна в этой точке.

Пример.

Вычислить частные производные функции и полный дифференциал функции

.

Решение.

,

.

2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.

Рассмотрим график функции двух переменных . Таким графиком будет некоторая поверхность в пространстве. Выберем на ней произвольную точку , причем .

Пересечем поверхность плоскостью . Результатом такого пересечения будет пространственная кривая, которую описывает функция одной переменной . Угловой коэффициент касательной линии к графику функции в точке равен частной производной

. (2.5.1)

При пересечении поверхности плоскостью , получаем

. (2.5.2)

Таким образом, геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов наклона касательных линий к графику функции в заданной точке.

Рассмотрим уравнение плоскости

. (2.5.3)

Эта плоскость проходит через точку и содержит в себе обе касательные линии. В сечении получаем уравнение касательной , а в сечении получаем уравнение касательной . Таким образом, плоскость (2.5.3) является касательной плоскостью. Вводя обозначения , получаем

(2.5.4)

Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных состоит в том, что он равен приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции в заданной точке.

Совершенно аналогично получаются соответствующие результаты для числовой функции нескольких переменных .

Частное приращение функции выражается формулой

.

Частные производные записываются в виде

.

Формулы для частных дифференциалов имеют вид

.

Полное приращение функции равно

.

Полный дифференциал представляет собой сумму всех частных дифференциалов

.

Полное приращение функции и полный дифференциал связаны соотношением

.

2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.

Рассмотрим сложную функцию двух переменных

. (2.6.1)

Если исключить из соотношений (2.6.1) переменные , то получится обычная функция двух переменных . Сложные функции вводят вместо обычных функций, как правило, для того, чтобы упростить громоздкую структуру исходной функции.

Установим правила дифференцирования сложных функций. Дадим приращение первому аргументу . Тогда обе функции получат соответствующие частные приращения . Применяя к функции формулы (2.4.11) и (2.4.13) получим

(2.6.2)

Разделяя первое соотношение (2.6.2) на , переходя к пределу при и учитывая, что , находим первую формулу для производной сложной функции

. (2.6.3)

Совершенно аналогично находится вторая формула для производной сложной функции

. (2.6.4)

Вычислим теперь с помощью формул (2.6.3), (2.6.4) полный дифференциал функции

.

Таким образом, получаем

. (2.6.5)

Это равенство выражает свойство инвариантности формы полного дифференциала, состоящее в том, что структура формулы для полного дифференциала одинакова как для независимых переменных , так и для произвольных функций .

Правила дифференцирования, выражаемые формулами (2.6.3), (2.6.4), остаются справедливым и для большего числа переменных. Например, для сложной функции

,

производная по переменной имеет вид

.

Если случайно окажется, что, например, , то для корректности записи производной приходится использовать вместо символа символ

.

Для сложной функции

,

производная по переменной будет иметь вид

.

Здесь другие обозначения не требуются (фактически мы имеем функцию одной переменной), а сама производная в этом случае называется полной производной.

2.7. Вычисление производных неявных функций.

Решением уравнением

, (2.7.1)

является числовая функция одной переменной

. (2.7.2)

Если функцию (2.7.2) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.1).

Выясним, как вычисляется производная функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.2) в уравнение (2.7.1) получается верное равенство или тождество

. (2.7.3)

Применяя к тождеству (2.7.3) правило дифференцирования сложной функции, получаем

.

Решая это уравнение относительно искомой производной, получаем

. (2.7.4)

Пример.

Найти производную функции определяемой уравнением

.

Решение:

,

.

Решением уравнением

, (2.7.5)

является числовая функция двух переменных

. (2.7.6)

Если функцию (2.7.6) практически невозможно вычислить, то говорят, что функция задана неявно с помощью уравнения (2.7.5).

Выясним, как вычисляются частные производные функции заданной неявно. При подстановке решения (2.7.6) в уравнение (2.7.5) получается верное равенство или тождество

. (2.7.7)

Применяя к тождеству (2.7.7) правило дифференцирования сложной функции, получаем

,

Решая эти уравнения относительно искомых производных, получаем

(2.7.8)

Пример. Вычислить для функции определяемой уравнением .

Решение:

Составим уравнение – . Вычислим производные по формулам (2.7.8)

.

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков для числовой функции одной переменной.

Пусть для функции найдена производная . Эта функция в свою очередь тоже может иметь производную, которую обозначают

,

и называют производной второго порядка от функции .

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка

.

Начиная с производной четвертого порядка, вместо штрихов используют натуральные числа, заключенные в скобки

. (2.8.1)

Множество всех функций, имеющих непрерывные производные на интервале до порядка n включительно, называют – класс функций .

Пример. Вычислить для функции .

.

Рассмотрим формулу для производной произведения двух функций

.

Продифференцируем ее

.

Вычислим третью производную

.

Очевидно, что производные более высоких порядков от произведения двух функций сохраняют структуру, соответствующую формуле бинома Ньютона и общая формула будет иметь вид

. (2.8.2)

Формула (2.8.2) называется формулой Лейбница.

Пример. Вычислить производную третьего порядка от функции .

Решение:

Вычислим теперь производные высших порядков для функции, заданной параметрически:

Используя правила дифференцирования сложной и обратной функции и учитывая, что

,

получим

. (2.8.3)

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.

Обычный дифференциал или дифференциал первого порядка имеет вид

.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка

. (2.8.4)

Здесь величина считается константой по отношению к переменной .

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка

. (2.8.5)

Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала n–1 порядка

. (2.8.6)

Теперь производную функции n–го порядка можно обозначать следующим образом

. (2.8.7)

Рассмотрим сложную функцию одной переменной

.

Вычислим ее дифференциал

. (2.8.8)

Помимо прочего формула (2.8.8) выражает свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка. Выясним, сохраняется ли это свойство для дифференциалов более высоких порядков.

.

Эта формула показывает, что свойство инвариантности дифференциала второго порядка уже нарушено, поскольку величина .

2.9. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

Для числовой функции двух переменных частными производными высших порядков будут частные производные от частных производных первого порядка

.

Частных производных второго порядка может быть образовано четыре

.

Пример.

Для функции найти частные производные до второго порядка включительно.

В приведенном примере оказалось, что смешанные производные совпадают

. (2.9.1)

Такое совпадение не является случайностью. Можно строго доказать, что порядок дифференцирования по различным переменным подчиняется закону коммутативности

.

Полный дифференциал функции имеет вид

.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от полного дифференциала

.

Эту формулу похожую на формулу для квадрата суммы можно записать символически

. (2.9.2)

Можно показать, что дифференциал n–го порядка (дифференциал от дифференциала n–1 порядка) вычисляется по формуле

. (2.9.3)

Можно так же показать, что дифференциалы высших порядков для сложных функций не обладают свойством инвариантности формы.