Лекция № 3
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§1. Задача о скорости изменения физической величины
Постановка задачи.
Дано: некоторая физическая величина 
изменяется с течением времени 
по закону 
.
Найти: скорость 
изменения величины в момент времени 
.
Решение задачи. Зададим промежуток времени 
, начинающийся с момента . За этот промежуток времени изменится на величину
.
Средней скоростью 
изменения за время называется отношение
,
которое зависит от момента и промежутка (за исключением равномерного изменения ).
Средняя скорость широко используется в практике, но если нужно изучить изменение вблизи , то вводят следующее понятие.
Мгновенной скоростью изменения в момент времени называется предел при 
, то есть
.
Это определение охватывает многие физические понятия: скорость прямолинейного движения точки, угловая скорость, скорость изменения температуры тела и др.
§2. Определение и вычисление производной
Рассмотрим функцию 
. Фиксируем значение 
.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю
Обозначение производной: 
.
Замечание. Производная функции в фиксированной точке – это число. Но если 
– переменная величина, то производная 
– это функция от .
Операция отыскания производной называется дифференцированием функции.
Правило нахождения производной, которое опирается на её определение, называется правилом дифференцирования по шагам. Чтобы найти производную 
функции необходимо выполнить следующие действия:
1) задать приращение 
и найти приращенное значение функции 
;
2) найти приращение функции 
;
3) найти отношение 
;
4) найти производную 
.
Пример. Найти функции 
.
Решение. Так как 
, то:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Ответ. Если то 
или 
.
Частным значением производной называется значение производной в данной точке 
. Обозначается: 
.
Механический смысл производной. Если 
– уравнение прямолинейного движения точки, то 
– скорость движения.
В приложениях производная носит специальные названия.
Пусть функция 
– количество электричества, прошедшего за время через поперечное сечение проводника. Тогда 
– сила тока.
Пусть 
– масса части 
неоднородного стержня. Тогда 
– линейная плотность стержня.
Пусть 
– работа, совершенная за время . Тогда 
– мощность.
§3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Геометрический смысл производной
Касательной к графику функции в точке 
называется предельное положение секущей 
, когда точка 
графика неограниченно приближается к точке , двигаясь по графику.
Точки Пусть: Из рис.1 следует, что |
рис.1 |
лежат на графике функции 
– угол наклона секущей 
, 
к оси 
.
Если 
, то 
, а значит 
.
Следовательно,
.
Так как 
– это угловой коэффициент 
касательной к графику функции в точке , то
.
Отсюда вытекает геометрический смысл производной: 
– это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке 
.
Замечание. Если 
, то не существует.
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
.
Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, называется нормалью к графику функции в точке (рис.22).
В силу перпендикулярности нормали и касательной, имеем
Следовательно, уравнение нормали имеет вид
|
рис.2 |
.
.
§4. Производные функций
Рассмотрим функцию 
. Найдем её производную по шагам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Итак, получена формула 
.
Теорема 1. Если 
, 
– дифференцируемые функции, то
Доказательство.
В качестве примера рассмотрим вторую из формул, то есть найдем производную произведения 
, пользуясь правилом дифференцирования по шагам.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
n
Здесь 
, так как функция – дифференцируемая, а, следовательно, и непрерывная.
Формулы производных суммы и частного доказать самостоятельно.
Следствия.
1. 
. 2. 
.
Теорема 2. Производные тригонометрических функций имеют вид:
Доказательство формулы 3. Так как 
, то для нахождения производной 
воспользуемся формулой производной частного
.n
Рассмотрим функцию 
. Найдём её производную по шагам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Здесь были использованы: свойства логарифма
;
свойство непрерывности функции 
и второй замечательный предел 
.
Таким образом, получена формула
.
Если воспользоваться формулой 
, то получим
.
В частном случае 
получим 
.
5. Производная сложной функции
Функция называется сложной функцией переменной , если 
.
Переменная 
является промежуточной, а – независимой.
Примеры.
;
.
Функции 
, 
называются звеньями сложной функции. В данном случае сложная функция состоит из двух звеньев. Сложная функция может состоять из большего числа звеньев.
Например,
–
сложная функция, состоящая из трех звеньев.
Пример. 
.
Для дифференцирования сложной функции важно представить её в виде цепочки звеньев. Например,
.
Теорема 3. Если функции 
дифференцируемы, то
(правило цепочки).
Доказательство. Зададим приращение , тогда получит приращение 
, а получит приращение 
. Если , то 
, что следует из непрерывности функции 
, так как она дифференцируема.
По определению
.n
Примеры.
1) 
;
2) 
.
6. Производные степенной и показательной функций
Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмической производной функции называется производная от 
по переменной , т. е.
.
Зная логарифмическую производную, легко получить производную самой функции
.
Используем метод логарифмического дифференцирования для вывода производных от степенной и показательной функций.
Производная степенной функции
Рассмотрим степенную функцию 
.
Предположим, что 
. Тогда можно прологарифмировать функцию
.
Продифференцируем обе части равенства по
и выразим 
.
Таким образом, получена формула
.
Можно убедиться, что формула справедлива и в случае 
.
Частные случаи.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Производная показательной функции
Рассмотрим показательную функцию 
.
Прологарифмируем функцию
и найдем производные левой и правой частей
.
Отсюда выразим 
.
Итак,
.
В частном случае имеем 
.
7. Производная обратной функции
Если функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения 
и областью значений 
, то есть 
, то она имеет обратную функцию. Отображение 
определяет обратную функцию 
, для которой множество будет областью определения, а множество – областью значений.
Функция монотонная и непрерывная на 
имеет на этом интервале обратную функцию, а чтобы получить ее аналитическое выражение, надо равенство разрешить относительно : .
Примеры.
1) 
, обратная функция 
;
2) 
, обратная функция 
.
Теорема 4. Если функция и её обратная функция дифференцируемы и 
, то
(или 
).
Доказательство. Зададим приращение . Тогда получит приращение . Если , то 
, что следует из непрерывности дифференцируемой функции .
По определению производной
.n
8. Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций имеют вид:
9. Производная функции, заданной параметрически
Функция называется заданной параметрически, если она задается двумя функциями
выражающими переменные 
, через вспомогательную переменную , которая называется параметром.
Теорема 5. Если функции 
, 
дифференцируемы и 
, то
.
Доказательство. Зададим приращение вспомогательной переменной . Тогда получит приращение , а – . Если , то в силу непрерывности дифференцируемых функций и получим и . Тогда при имеем
.n
Пример. 
Решение. 
.
10. Производные высших порядков
Производная функции называется производной первого порядка или первой производной. Она является функцией от , а значит, тоже имеет производную.
Производная от первой производной 
называется производной второго порядка (второй производной) и обозначается
,
то есть 
.
Аналогично, производная третьего порядка 
обозначается также 
.
В общем случае, производная 
-го порядка – это производная от производной 
-го порядка
.
Механический смысл второй производной. Если функция – уравнение прямолинейного движения точки, а 
– скорость движения, то 
– это скорость изменения скорости, то есть ускорение 
. Таким образом, 
.
Пример. 
Решение. 
,
.
§4. Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в фиксированной точке .
По определению производной имеем 
. Тогда, используя связь переменной и её предела, получим
,
где 
– бесконечно малая величина при . Отсюда следует
. (1)
Пусть 
. Тогда в формуле (1), выражающей приращение дифференцируемой функции в виде суммы двух слагаемых, первое слагаемое есть произведение постоянной на бесконечно малую величину , а второе слагаемое есть произведение двух бесконечно малых величин 
и . Следовательно, в этой сумме большую часть составляет первое слагаемое, которое имеет своё название.
Дифференциалом функции называется произведение производной функции на приращение независимой переменной. Обозначается 
.
Таким образом,
.
Свойства дифференциала.
1. При фиксированном дифференциал зависит прямо пропорционально от с коэффициентом пропорциональности 
(следует из определения).
2. Дифференциал отличается от приращения на величину бесконечно малую более высокого порядка малости, чем при .
Действительно, используя (1), получим
.
Это означает, что разность 
является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем при .n
3. Если , то дифференциал и приращение являются эквивалентными бесконечно малыми величинами при .
Действительно, используя (1), получим
.
Это означает, что и эквивалентные бесконечно малые величины при .n
В силу перечисленных свойств дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.
Геометрический и механический смысл дифференциала
На графике функции Пусть
|
рис.3 |
рассмотрим две точки 
и 
(рис. 3).
,
.
Вывод: дифференциал – это приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента .
Из чертежа видно, что на малом отрезке , график функции и график касательной близки друг к другу, а значит график функции можно заменить на отрезок касательной. Это значит, что функция заменяется линейной функцией (уравнением касательной), что называется линеаризацией функции.
Механический смысл дифференциала. Пусть точка движется прямолинейно по закону 
, а 
– путь, пройденный точкой за время . Тогда дифференциал 
– это путь, пройденный точкой за время , если предположить, что движение равномерное, то есть 
на промежутке .
