Лекция № 4
Интегральное исчисление функций одной переменной
§1. Первообразная функция
Основная задача, изученная в теме «Производная», состояла в следующем: дана функция 
, требуется найти ее производную 
.
Рассмотрим теперь обратную задачу: дана функция , требуется найти такую функцию 
, для которой заданная функция является производной, то есть 
.
Решению этой важной задачи и посвящена изучаемая тема «Неопределенный интеграл».
Функция называется первообразной для функции , если выполняется равенство
.[1]
Например, для функции 
первообразной является функция 
, для 
– 
, для 
– 
, для 
– 
и т. д.
Изучая производную, мы видели, что каждая дифференцируемая функция имеет одну производную. Иначе обстоит дело с первообразными. Для функции 
первообразными являются функции 
, 
, 
, то есть все функции вида 
, где C – постоянная.
Таким образом, если функция имеет одну первообразную, то она имеет множество первообразных. Это множество описывают следующие две теоремы.
Теорема 1. Если функция является первообразной для функции , то функция 
, где C – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции .[2]
Доказательство. По условию теоремы . Тогда
. n[3]
Теорема 2. Если функции 
и 
– две первообразные для функции , то их разность 
есть величина постоянная.
Доказательство. По условию имеем 
, 
. Отсюда
.
Тогда из необходимого и достаточного условия постоянства функции следует, что 
, где C – постоянная. n
Из доказанных теорем следует вывод: если функция – некоторая первообразная для функции , то функция , где C – произвольная постоянная, описывает множество всех первообразных для функции .
Первообразные существуют не для каждой функции. Отметим лишь (без доказательства), что всякая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную.
§2. Неопределенный интеграл. Основная таблица интегралов
Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается
.
Смысл этого обозначения будет раскрыт в теме «Определенный интеграл». Здесь 
– знак интеграла, – подынтегральная функция, 
– подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.
Итак, по определению 
, если , C – произвольная постоянная. Например,
, 
, 
.
Нахождение неопределенного интеграла для заданной функции называется интегрированием функции.
Геометрический смысл неопределенного интеграла – это совокупность кривых, получаемых путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси Oy. [4] Например, |
рис. 1 |
– совокупность парабол (рис. 1).
Свойства неопределенного интеграла
Теорема 3. 
.
Доказательство. Так как , где , то
. n
Теорема 4. 
.
Доказательство. Используя определение дифференциала и теорему 3, получим
. n
Теорема 5. 
или 
.
Доказательство теоремы следует из определения неопределенного интеграла. n
Теоремы 3-5 доказывают, что знаки дифференциала и интеграла уничтожают друг друга.
Теорема 6. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
.
Доказательство. Найдем производные правой и левой частей равенства, используя доказанные выше свойства,
,
.
Так как производные равны, то функции в левой и правой частях равенства отличаются друг от друга лишь на произвольную постоянную. Эту постоянную в равенстве не пишут, так как знак неопределенного интеграла уже включает в себя произвольную постоянную. В таком смысле понимается любое равенство между неопределенными интегралами. n
Теорема 7. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 6:
,
. n
Основная таблица интегралов
1. | 6. |
2. | 7. |
3. | 8. |
4. | 9. |
5. | 10. |
,
,
,
,
,
,
.Все формулы вытекают из таблицы производных. Обоснования требует лишь формула 2. Докажем ее.
Так как
то
Следовательно, 
при любых x, за исключением 
.
§3. Непосредственное интегрирование
Приступим теперь к изучению методов интегрирования. Первый метод – метод непосредственного интегрирования основывается на таблице интегралов, свойствах интегралов и следующей теореме.
Теорема 8. Об инвариантности формул интегрирования. Каждая формула интегрирования сохраняет свой вид, если в нее вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию этой переменной. То есть, если
,
то
,
где 
– дифференцируемая функция переменной x.
Доказательство. По условию теоремы , где – первообразная для , то есть . Следовательно 
.
Рассмотрим сложную функцию 
, . В силу инвариантности формы дифференциала имеем 
. Значит
. n
Рассмотрим применение метода непосредственного интегрирования. Возьмем табличный интеграл 
. В силу доказанной выше теоремы можно записать
, 
,
.
Таких применений табличного интеграла можно привести много. Однако в задачах не встречаются интегралы, записанные в виде 
, 
, 
. Их надо сначала привести к такому виду, а затем воспользоваться табличной формулой.
Рассмотрим такие примеры.
1. Найти 
.
Решение.
Чтобы воспользоваться табличным интегралом 6: 
, нужно под знаком дифференциала получить 3x. Так как 
, то умножим и разделим подынтегральное выражение на 3. Получим
.
Использовав свойства интеграла и введя новую переменную 
, найдем
.
2. Найти 
.
Решение.
Воспользуемся табличной формулой 2. Так как 
, то, умножив и разделив подынтегральное выражение на 2 и введя новую переменную 
, получим
.
В дальнейшем переменную u можно не писать.
3. Найти 
.
Решение.
Воспользуемся табличной формулой 4. Так как 
, то имеем
.
4. Найти 
.
Решение.
Так как 
, то, используя табличную формулу 1 при 
, получим
.
5. Найти 
.
Решение.
Воспользуемся табличным интегралом 1 при 
и формулой 
. Получим
.
6. Найти 
.
Решение.
.
7. Найти 
.
Решение.
.
Полученную формулу
следует запомнить, как табличный интеграл.
8. Найти 
.
Решение.
.
Полученную формулу
также следует запомнить, как табличный интеграл.
§4. Интегрирование по частям
Пусть 
и 
– дифференцируемые функции переменной x. Найдем дифференциал от их произведения 
. Проинтегрировав обе части этого равенства, получим
.
Формула
называется формулой интегрирования по частям.
Чтобы применить эту формулу, подынтегральное выражение представим в виде произведения 
. Тогда вычисление исходного интеграла сведется к нахождению двух других интегралов: 
и 
. Поэтому необходимо так выбрать выражения u и 
, чтобы два новых интеграла оказались более простыми, чем исходный.
Примеры.
1. Найти 
.
Решение.
Положим 
, 
. Тогда 
, 
(берем первообразную при 
). Используя формулу интегрирования по частям, получим
.
2. Найти 
.
Решение.
Положим 
.
Тогда
.
Метод интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций. Например, в интегралах вида
, 
, 
, 
– целое,
выбирается 
, а в интегралах вида
, 
, 
в качестве u берутся функции 
, 
, 
, соответственно (Почему?).
С помощью интегрирования по частям берутся также интегралы от основных элементарных функций, которых нет в таблице:
, 
, 
.
Формулу интегрирования по частям в одном примере можно применять несколько раз.
§5. Определенный интеграл
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
Прежде, чем перейти к постановке и решению задачи, дадим определение.
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными прямыми 
, 
и графиком функции 
(рис. 1).
рис. 1
Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными прямыми , и графиком функции , 
, 
.
Решение задачи. В частном случае, когда 
, криволинейная трапеция является прямоугольником с основанием 
и высотой C, а ее площадь находится по формуле 
.
Больший интерес представляет общий случай, когда функция отлична от постоянной, то есть .
Основание трапеции – отрезок 
оси Ox разобьем произвольным образом на n частей: 
, 
, длины которых обозначим через 
. Проведем через точки деления прямые, параллельные оси Oy. Тогда криволинейная трапеция разобьется на n полосок.
Выберем произвольно точки 
, и найдем значения функции в этих точках: 
.
Найдем площадь 
каждой k-ой полоски приближенно, считая полоску прямоугольником с высотой 
и основанием . Тогда
,
а площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле
.
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Она зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек 
.
Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка к нулю, получим точную формулу для площади криволинейной трапеции
.
Определение определенного интеграла
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при 
, не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок – отрезком интегрирования.
Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции можно записать, что
.
Эта формула дает геометрический смысл определенного интеграла.
Если при , то – это площадь криволинейной трапеции с основанием , ограниченной графиком функции .
§6. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 9. Если F(x) – какая-то первообразная непрерывной функции , то справедлива формула
Эта формула называется формулой Ньютона–Лейбница.
Введем знак «двойной подстановки»:
.
Тогда формулу Ньютона–Лейбница можно записать в виде
.
Эта формула используется для вычисления определенного интеграла . Сначала находится первообразная для подынтегральной функции , а затем вычисляется разность 
.
Примеры.
1. 
.
2. 
.
[1] Двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать основные определения.
[2] Двойными вертикальными чертами слева и справа абзаца будем отмечать формулировки теорем.
[3] Знак n читается так: «Что и требовалось доказать».
[4] Тонкой двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать геометрический, механический или физический смысл рассматриваемых понятий.
