Высшая математика. Программа, методические указания и задания для контрольной работы № 2 для студентов первого курса экономических специальностей дистанционного образования (стр. 2 )

- элементы определителя, при этом

- номер строки, - номер столбца, на пересечении которых находится элемент .

Определение1. Минором элемента определиназывается определитель (n-1)-го порядка, полученный путем вычеркивания -ый строки и -ого столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением (адъюнктом) элемента определиназывается произведение минора этого элемента на множитель

Определение 3. Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения, т. е.

(2)

Запись по формуле (2) называется разложением определипо элементам первой строки. Определение позволяет вычислить определитель, понижая его порядок последовательно до определителя второго порядка вида:

С помощью свойств определитель можно разложить по элементам любой строки и любого столбца и в любой строке (столбце) вместо элементов, кроме одного, можно получить элементы равные нулю. Это облегчит вычисление определителя. Этого можно достичь, используя очень важное свойство:

величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число .

2.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Формулы Крамера имеют вид: , где определитель системы составлен из коэффициентов при неизвестных, т. е.

определители составлены из определителя системы уравнений (1)

путем замены соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом из свободных членов .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. Для этого выбираем, например, первое уравнение за «ведущее». Из второго и третьего уравнения системы (1) вычитаем «ведущее», умноженное соответственно на . В итоге во втором и третьем уравнении члены, содержащие неизвестное , будут исключены. Система примет вид:

(2)

Аналогично, выбрав второе уравнение за «ведущее», исключаем неизвестные из уравнения системы уравнений (2). Система примет вид:

(3)

Из третьего уравнения системы (3) найдем неизвестные , из второго - , а из первого уравнения - .

Замечание. Системы линейных уравнений (1), (2) и (3) эквивалентны.

3. Линейно зависимые и независимые векторы. Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по единичному и произвольному базису.

Система векторов (1) линейно зависима, если равенство выполняется при условии, что хотя бы один из коэффициентов разложения . Если же это равенство выполняется при условии, когда все , то векторы линейно независимы.

Определение 1. Рангом n мерного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Определение 2. Любая система n линейно независимых векторов n – мерного пространства называется базисом этого пространства.

Из этого определения и теоремы о линейной независимости n векторов n – мерного пространства следует, что любая система n – мерных векторов образует базис n – мерного пространства, если определитель, составленный из координат, не равен нулю.

Например, единичные векторы n – мерного пространства образуют единичный базис.

Замечание. Ранг n – мерного пространства совпадает с размерностью пространства.

4. Матрицы, виды матриц. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица и ее вычисление.

Матрицей называется таблица, т. е.

- размерность матрицы, m – число строк, n – число столбцов в матрице.

- элементы матрицы,

i = 1,2,3 … m

k = 1,2,3 … n

Замечание. Матрица – это таблица, и смешивать ее с определителем нельзя!

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать соответственно как n – мерные векторы и m – мерные векторы.

Определение 1. Минором r – го порядка матрицы (1) называется определитель r – го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и r столбцов.

Определение 2. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее минора, отличного от нуля.

Определение 3. Рангом матрицы называется максимальные числа линейно независимых векторов – строк и векторов – столбцов.

Обозначается r (A)

Даны матрицы

Определение 4. Произведением матриц называется матрица , элементы которой равны сумме произведений элементов i – ой строки матрицы на соответствующие элементы k - го столбца матрицы .

Замечание. Произведение матриц существует, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В.

Пусть дана квадратная матрица

Определение 5. Квадратная матрица n – порядка называется неособенной (невыраженной), если её ранг равен n, т. е. определитель матрицы n – го порядка .

Определение 6. Матрица называется обратной матрицей для данной квадратной матрицы А, если выполняются условия:

А · = E и · А = Е, где

E – единичная матрица

Обратная матрица вычисляется по формуле

,где

– определитель матрицы

- алгебраические дополнения элементов определителя.

5. Матричная запись системы линейных уравнений и её решение с помощью обратной матрицы.

Систему n линейных уравнений с n неизвестными

можно записать в матричной форме:

, где A – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, X матрица – столбец, составленная из неизвестных и B матрица – столбец, составленная из свободных членов.

Умножим равенство слева направо на , получим - формула для решения системы уравнений с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим задачи.

Задача 1. Даны матрицы . Найти матрицу D=(2A-3B)C и вычислить её определитель.

Решение. При умножении числа на матрицу нужно это число умножить на каждый элемент матрицы, . Аналогично, найдем произведение

При вычитании матриц получим матрицу, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц 2А и 3В, т. е. Для нахождения произведения используем правило умножения матриц. (см. п. 4 определение 4)

Определители второго порядка вычисляются по формуле:

Задача 2. Выяснить, существует ли для данной матрицы А обратная матрица.

Решение. Обратная матрица вычисляется по формуле ,

где - определитель матрицы А, т. е. .

Вычисляем определитель матрицы А:

Обратная матрица не существует.

Задача 3. Найти матрицу, обратную для данной матрицы А. Сделать проверку.

Решение. Обратная матрица вычисляется по формуле (1)

где - определитель матрицы А. Вычислим определитель.

Т. к. определитель матрицы не равен нулю, то обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения по формуле

Найденные значения определителя и алгебраических дополнений подставим в формулу (1).

Для того чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно использовать определение, т. е. проверить, выполняются ли равенства ;. Найдем произведение :

Внимание! Найдите произведение .

Задача 4. Данную систему линейных уравнений решить методом Гаусса и матричным методом (с помощью обратной матрицы).

(1)

Решение. I Для системы уравнений (1) выберем за «ведущее» первое уравнение и будем исключать неизвестное из второго и третьего уравнений. Для этого к левой и правой частям второго уравнения прибавить соответственно левую и правую части первого «ведущего» уравнения, а из левой и правой части третьего уравнения вычесть соответственно левую и правую части первого уравнения. Система уравнений примет вид:

(2)

В полученной системе уравнений (2) за «ведущее» уравнение примем второе уравнение и исключим неизвестное из третьего уравнения. Для этого из левой и правой частей третьего уравнения вычтем соответственно левую и правую части второго уравнения.

Система уравнений (2) примет вид:

II Для решения с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений (1) в матричной форме, введя матрицы A, X,B. Матрица A составляется из коэффициентов при неизвестных, Х – матрица – столбец из неизвестных, В – матрица – столбец из свободных членов.

Тогда система уравнений примет вид: . Умножив равенство слева направо на обратную матрицу получим:

Вычислим обратную матрицу по формуле

( см. решение предыдущей задачи).

- обратная матрица существует. ( вычислен по правилу треугольника ).

Вычислим алгебраические дополнения по формуле .

Найдем матрицу Х:

Проверка. В данную систему уравнений вместо неизвестных подставить найденные значения.

Система решена верно, т. к. получили три тождества.

Задача 5. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. 1. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Три вектора в трехмерном пространстве линейно независимы, если определитель, составленный из координат этих векторов не равен нулю.

Составим и вычислим определитель третьего порядка и вычислим его по правилу треугольника.

Т. к. определитель , то векторы образуют базис.

2. Запишем разложение вектора по этому базису ( или представим вектор в виде линейной комбинации векторов базиса )

- неизвестные коэффициенты разложения, подлежащие определению.

Запишем векторное уравнение (1) в координатной форме:

(2)

От уравнения (2)перейдем к системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Для этого используем правило умножения числа на вектор, правило сложения векторов и условие равенства векторов в координатной форме.

Подпись:

Примем первое уравнение за «ведущее» и исключим неизвестное , из второго и третьего уравнений. Для этого ко второму и третьему уравнению прибавим первое, умноженное соответственно на 3 и (-4). Получим эквивалентную систему уравнений вида:

(4)

Будем исключать неизвестное . Для этого левую и правую части второго уравнения разделим на 7, а затем к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на 5.

Из третьего уравнения найдем . Подставим значение во второе уравнение последней системы и найдем . Значение подставим в первое уравнение и найдем . Найденные значения коэффициентов разложения подставим в равенство (1) и получим разложение вектора по базису векторов .

Координаты вектора в новом базисе:

Замечание. Чтобы проверить – правильно ли решена система уравнений (3), нужно найденные значения подставить в каждое уравнение системы. Если каждое уравнение обратится в тождество, то система решена верно.

Тренировочные задания.

I. Найти общее решение данных дифференциальных уравнений.

II. Элементы линейной и векторной алгебры.

1. Найти произведение матриц А и В, если это возможно:

2. Для данной матрицы А найти обратную матрицу. Сделать проверку.

3. Решить системы линейных уравнений:

4. Даны векторы в трехмерном пространстве. Доказать, что векторы образуют базис. Разложить вектор по этому базису.

ПРАВИЛА ВЫБОРА ВАРИАНТА.

Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависимости от двух последних цифр номера шифра личного дела студента. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каждая из которых – предпоследняя цифра номера шифра. В верхней строке по горизонтали размещены также цифры от 0 до 9, каждая из которых – последняя цифра шифра.

Пересечение вертикальной и горизонтальной линий определяет номера

заданий контрольной работы. Например, по последним двум цифрам номера шифра «78» находят вариант контрольной работы на пересечении строки с цифрой 7 и столбца с цифрой 8. для контрольной работы №2 это номера: 95,101,127,141,158,170,179,185.

ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА КОНРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

П Р Е Д П О С Л Е Д Н Я Я Ц И Ф Р А Ш И Ф Р А		Последняя цифра номера шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
	102	101	103	105	107	109	110	108	106	104
	114	116	118	120	115	117	119	111	113	112
	131	133	137	139	140	138	136	134	132	131
	153	155	157	159	160	158	156	154	152	151
	161	163	165	167	169	170	168	166	164	162
	172	171	175	173	177	174	180	178	176	179
	187	186	184	182	181	183	189	188	185	190
	1	92	93	94	95	96	97	98	99	100	91
	104	102	101	103	105	107	109	110	108	106
	126	128	130	125	127	129	121	123	122	124
	148	150	149	147	141	142	143	144	145	146
	155	157	159	160	158	156	154	152	151	153
	163	165	167	169	170	168	166	164	162	161
	171	173	177	175	179	172	178	176	174	180
	189	184	182	181	183	185	190	186	187	188
	2	93	94	95	96	97	98	99	100	91	92
	106	104	102	101	103	105	107	109	110	108
	118	120	115	117	119	111	113	112	114	116
	137	139	140	138	136	134	132	131	135	133
	157	159	160	158	156	154	152	151	153	155
	165	167	169	170	168	166	164	162	161	163
	173	175	179	177	180	171	176	174	172	178
	190	182	181	183	185	187	188	184	189	186

П Р Е Д П О С Л Е Д Н Я Я Ц И Ф Р А Ш И Ф Р А		Последняя цифра номера шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	3	94	95	96	97	98	99	100	91	92	93
	108	106	104	102	101	103	105	107	109	110
	130	125	127	129	121	123	122	124	126	128
	141	142	143	144	145	146	148	150	149	147
	159	160	158	156	154	152	151	153	155	157
	167	169	170	168	166	164	162	161	163	165
	175	177	180	179	178	173	174	172	171	176
	188	181	183	185	187	189	186	182	190	184
	4	95	96	97	98	99	100	91	92	93	94
	106	108	104	102	105	103	101	107	110	109
	115	117	119	111	119	112	114	116	118	120
	140	139	137	131	132	133	134	135	136	138
	158	156	154	152	151	153	155	157	159	160
	169	170	168	166	164	162	161	163	165	167
	177	179	178	180	176	157	172	171	173	174
	186	183	185	187	189	190	184	181	188	182
	5	98	99	100	91	92	93	94	95	96	97
	109	110	108	106	104	102	101	103	105	107
	127	129	121	123	122	124	126	128	130	125
	149	147	141	142	143	144	145	146	148	150
	160	158	156	154	152	151	153	155	157	159
	170	168	166	164	162	161	163	165	167	169
	179	180	176	178	174	177	171	173	175	172
	184	185	187	189	190	188	182	183	186	181
	6	96	97	98	99	100	91	92	93	94	95
	107	109	110	108	106	104	102	101	103	105
	119	111	113	112	114	116	118	120	115	117
	140	138	136	134	132	131	135	133	137	139
	156	154	152	151	153	155	157	159	160	158
	168	166	164	162	161	163	165	167	169	170
	180	178	174	176	172	179	173	175	177	171
	182	187	189	190	188	186	181	185	184	183

П Р Е Д П О С Л Е Д Н Я Я Ц И Ф Р А Ш И Ф Р А		Последняя цифра номера шифра
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	7	97	98	99	100	91	92	93	94	95	96
	105	107	109	110	108	106	104	102	101	103
	121	123	122	124	126	128	130	125	127	129
	143	144	145	146	148	150	149	147	141	142
	154	152	151	153	155	157	159	160	158	156
	166	164	162	161	163	165	167	169	170	168
	178	176	172	174	171	180	175	177	179	173
	181	189	190	188	186	184	183	187	182	185
	8	99	100	91	92	93	94	95	96	97	98
	103	105	107	109	110	108	106	104	102	101
	113	112	114	116	118	120	115	117	119	111
	134	132	131	135	133	137	139	140	138	136
	152	151	153	155	157	159	160	158	156	154
	164	162	161	163	165	167	169	170	168	166
	176	174	171	172	173	178	177	179	180	175
	183	190	188	186	184	182	185	189	181	187
	9	100	91	92	93	94	95	96	97	98	99
	101	103	105	107	109	110	108	106	104	102
	122	124	126	128	130	125	127	129	121	123
	143	144	145	146	148	150	149	147	141	142
	151	153	155	157	159	160	158	156	154	152
	162	161	163	165	167	169	170	168	166	164
	174	172	173	171	175	176	179	180	178	177
	185	188	186	184	182	181	187	190	183	189

Задачи для контрольных заданий

Контрольная работа № 2

Задачи 91-100

Найти общее решение дифференциального уравнения

91.

92. (1+

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

Задачи 101-110

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение

удовлетворяющее начальному условию: при

101. ,

102. ,

103. ,

104. ,

105. ( ,

106. , ;

107. ,

108. ,

109. ,

110. ,

Задачи 111-130

Дан степенной ряд . При заданных значениях a и b написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда, исследовать его сходимость на концах интервала и найти область сходимости.